2023-2024学年人教A版必修第二册 8-2　立体图形的直观图 学案

8.2立体图形的直观图新课程标准解读核心素养能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图直观想象、数学抽象图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体.问题你能画出一个长方体吗？

知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法1.直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤提醒对斜二测画法的再理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”.知识点二空间几何体直观图的画法1.画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z'轴.2.画底面：平面x'O'y'表示水平平面，平面y'O'z'和x'O'z'表示竖直平面.3.画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.4.成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.提醒画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若角A的两边分别平行于x轴，y轴，则在直观图中角A'＝（）A.45° B.135°C.45°或135° D.90°解析：C在画直观图时，角A'的两边依然分别平行于x'轴，y'轴，则∠x'O'y'＝45°或135°.故选C.2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是（）解析：C正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB边上的中线的实际长度为.

解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A'C'＝3，BC＝2B'C'＝4，计算得AB＝5，所求中线长为52答案：5题型一平面图形的直观图的画法【例1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.解画法：（1）如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线OE为y轴，两轴交点O为原点，建立直角坐标系，在图②中画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.（2）在图②中，以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y轴上取O'E'＝12OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD（3）连接B'C'，D'A'，并擦去辅助线x'轴和y'轴，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③所示.通性通法画平面图形的直观图的技巧（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系.（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝2cm，在y'轴上截取O'A'＝12OA（3）连接A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为正△ABC的直观图，如图②所示.题型二空间几何体的直观图的画法【例2】用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.解（1）画轴.如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝32cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'.（4）成图.顺次连接A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.通性通法画空间图形的直观图的原则（1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直；（2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变；（3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半；（4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.解：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图.（2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.（3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于四棱锥的高.（4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图.题型三直观图的还原与计算【例3】如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6cm，O'C'＝2cm，C'D'＝2cm，则原图形的形状是，其面积为cm2.

解析如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O'D'＝2×22＝42（cm），CD＝C'D'＝2cm，所以OC＝OD2＋CD2＝（42）2＋22＝6（cm），所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形.S四边形OABC＝OA×OD答案菱形242通性通法1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝24S或S＝22S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积1.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（）A.等腰三角形 B.钝角三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形解析：D因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.2.已知等边△ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（）A.34a2 B.38C.68a2 D.616解析：D法一建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由直观图画法，知A'B'＝AB＝a，O'C'＝12OC＝34a.过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'，则C'D'＝22O'C'＝68a.所以△A'B'C'的面积是S＝12·A'B'·C'D'＝12·a·6法二S△ABC＝34a2，又S△A'B'C'＝24S△ABC，所以S△A'B'C'＝24×34a2＝1.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成（）A.平行于z'轴且长度为10cmB.平行于z'轴且长度为5cmC.与z'轴成45°且长度为10cmD.与z'轴成45°且长度为5cm解析：A平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A.2.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形是（）解析：A根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A.3.（多选）关于斜二测画法所得到的直观图，下列说法正确的是（）A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形解