2023-2024学年人教A版必修第二册 8-4-2　空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系新课程标准解读核心素养借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义逻辑推理、直观想象在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，如图所示，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行.问题你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？

知识点一空间中直线与直线的位置关系1.异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线；（2）异面直线的画法.2.空间两条直线的位置关系位置关系特点相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线在同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点分别在不同平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示：不一定.分别在两个平面内的直线，既可能是平行直线，也可能是相交直线，还可能是异面直线.知识点二直线与平面、平面与平面的位置关系1.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示2.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）符号表示α∥βα∩β＝l图形表示1.直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点，正确吗？提示：不正确，当直线a与平面α相交时，有一个公共点，也称为直线a在平面α外.2.观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1，线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？提示：直线A1B在平面ABB1A1内，与平面CDD1C1平行，与其余四个面相交.1.在空间中，互相平行的两条直线是指（）A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个平面内，但没有公共点的两条直线D.在同一平面内没有公共点的两条直线解析：D由平行线的定义可知D正确.2.已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A.a∥bB.a与b异面C.a与b相交 D.a与b无公共点解析：D因为直线a∥平面α，所以直线a与平面α无公共点，而直线b⊂平面α，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点.故选D.3.若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a和b的位置关系是.

解析：因为平面α∥平面β，则平面α与平面β没有公共点，而a⊂α，b⊂β，于是得直线a和b没有公共点，所以直线a和b是异面直线或是平行直线.答案：平行或异面题型一直线与直线位置关系的判断【例1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中：（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是；

（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是；

（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是；

（4）直线AB与直线B1C的位置关系是.

解析（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.（2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.（3）直线D1D与直线D1C相交于点D1.（4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.答案（1）平行（2）异面（3）相交（4）异面通性通法1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线；（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交；（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）.1.已知空间中两条不重合的直线a，b，则“a与b没有公共点”是“a∥b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：B“直线a与b没有公共点”表示两条直线a∥b或者a与b是异面直线，所以“a与b没有公共点”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B.2.（多选）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系可能是（）A.平行 B.相交C.异面 D.无法判断解析：ABC如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和c可以平行、相交或异面.题型二直线与平面位置关系的判断【例2】给出下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α；③若直线a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α.其中说法正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3解析对于①，直线a在平面α外包括两种情况，即a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，故①说法错误；对于②，∵直线a∥b，b⊂平面α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，故②说法错误；对于③，当a⊂α时，α内也存在无数条直线与直线a平行，故③说法错误.答案A通性通法直线与平面位置关系的判断（1）空间直线与平面位置关系的判断是解决问题的突破口，这类问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型（如正方体、长方体等）也是解决这类问题的有效方法；（2）要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.若a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（）A.b∥α B.b与α相交C.b⊂α D.以上三种情况都有可能解析：D若a，b是异面直线，且a∥平面α，则根据空间中线面的位置关系可得，b∥α，或b⊂α，或b与α相交.题型三平面与平面位置关系的判断【例3】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是（）A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定解析如图所示，a⊂α，b⊂β，a∥b.由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行.答案C（变条件）本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面.由图知这两个平面可能平行，也可能相交.通性通法1.平面与平面位置关系的判断方法（1）平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.2.常见的平面与平面平行的模型（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；（2）长方体的六个面中，三组相对面平行.1.（多选）以下四个命题中正确的有（）A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交解析：CD当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以A、B错误.2.已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α与β的位置关系是.

解析：因为a∥α，a∥β，所以平面α与β相交（如图①）或平行（如图②）.答案：平行或相交1.直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面 D.以上都有可能解析：D图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面.故选D.2.若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（）A.l与β相交 B.l与β平行C.l在β内 D.无法判定解析：B∵α∥β，l⊂α，可得l∥β.故选B.3.“直线l与平面α没有公共点”是“直线l与平面α平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：C若直线l与平面α没有公共点，那直线l与平面α只能平行，故充分性成立；若直线l与平面α