2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-3　第一课时　平面与平面垂直的判定 学案

8.6.3平面与平面垂直第一课时平面与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系数学抽象2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义逻辑推理3.归纳出平面与平面垂直的判定定理数学运算如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉.问题你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？

知识点一二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.2.相关概念二面角的棱二面角的面记法AB（l）α，β二面角α-AB-β；二面角α-l-β；二面角P-l-Q；二面角P-AB-Q3.二面角的平面角（1）定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角；（2）范围：0°≤α≤180°；（3）直二面角：平面角是直角的二面角.二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；（2）画法：（3）记作：α⊥β.2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言a⊂α，a⊥β⇒α⊥β图形语言提醒判定定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.“过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面”对吗？提示：不止一个，事实上有无数个，过平面外一点可以作平面的一条垂线，过该垂线可以作出无数个平面，由平面与平面垂直的判定定理可知这些平面都与已知平面垂直，所以过平面外一点，可以作无数个与已知平面垂直的平面.1.如图所示的二面角可记为（）A.α-β-l B.M-l-NC.l-M-N D.l-β-α解析：B根据二面角的记法规则可知B正确.故选B.2.在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是（）A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D3.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面（）A.有1个B.有2个C.有无数个D.不存在解析：C由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.题型一二面角大小的计算【例1】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.（1）求二面角A-PD-C的大小；（2）求二面角B-PA-C的大小.解（1）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的大小为90°.（2）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B-PA-C的大小为45°.通性通法求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.提醒作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点做平面角的顶点.在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（）A.12 B.C.33 D.解析：B由A-BCD为正四面体，取CD的中点E，连接AE，BE（如图），则AE⊥CD，BE⊥CD，AE∩BE＝E，∴CD⊥平面ABE，∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，则AE＝BE＝32，AB＝1，在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝HEAE，由AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝36，∴cos∠AEB＝1题型二平面与平面垂直的证明【例2】如图所示，在四面体A-BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.证明法一（定义法）因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D，连接AD，SD，如图所示，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝22a，BD＝BC2＝2在Rt△ABD中，AD＝22a在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二（判定定理法）因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC.又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.通性通法证明面面垂直常用的方法（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.1.如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.证明：∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝32，M，N分别是棱A1C1，AC的中点，E在侧棱AA1上，且A1E＝2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，则AA1⊥BN.因为N是棱AC的中点，△ABC为正三角形，则BN⊥AC.因为AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA1C1C，ME⊂平面AA1C1C，BN⊥ME.又AB＝4，AA1＝32，A1E＝2EA，所以EA＝2，A1E＝22，因为A1EA1M＝ANAE＝2，∠NAE＝∠EA所以Rt△A1EM∽Rt△ANE，故∠A1EM＝∠ANE，∠A1EM＋∠AEN＝∠ANE＋∠AEN＝90°，则有∠MEN＝90°，故EN⊥ME.因为EN∩BN＝N，所以ME⊥平面BEN，又ME⊂平面MEB，所以平面MEB⊥平面BEN.1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3解析：A根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误.所以①②③都不正确.故选A.2.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角（）A.相等 B.互补C.相等或互补 D.关系无法确定解析：D如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.3.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，BD⊥AD，且△BCD是锐角三角形，那么必有（）A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BCDD.平面ABC⊥平面BCD解析：C∵AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.故选C.4.如图所示，AB是☉O的直径，PA垂直于☉O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为.

解析：∵PA