2023-2024学年人教A版必修第二册 10-1-2　事件的关系和运算 学案

10.1.2事件的关系和运算新课程标准解读核心素养了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算数学抽象、数学建模在掷骰子试验中，定义如下事件：C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；C4＝{出现4点}；C5＝{出现5点}；C6＝{出现6点}；D1＝{出现的点数不大于1}；D2＝{出现的点数不大于3}；D3＝{出现的点数不大于5}；E＝{出现的点数小于5}；F＝{出现的点数大于4}；G＝{出现的点数为偶数}；H＝{出现的点数为奇数}.问题（1）在上述事件中，事件C1与事件C2的并事件是什么？（2）事件D2与事件G及事件C2间有什么关系？（3）事件C1与事件C2间有什么关系？（4）事件E与事件F间有什么关系？

知识点两个事件的关系和运算事件的关系和运算含义符号表示图形表示包含A发生，B一定发生A⊆BB包含A，A也包含BA＝B（两事件相等）事件的关系和运算含义符号表示图形表示并事件（和事件）A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件（积事件）A与B同时发生A∩B或AB事件的关系和运算含义符号表示图形表示互斥（互不相容）A与B不能同时发生A∩B＝⌀互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝⌀，A∪B＝Ω提醒互斥事件与对立事件的区别与联系：①区别，两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事件A发生，则事件B就不发生；（ⅱ）若事件B发生，则事件A就不发生；（ⅲ）事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个；②联系，互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.对于三个事件A，B，C至少有一个发生如何用符号表示？同时发生如何表示？提示：至少有一个发生可表示为A∪B∪C（或A＋B＋C）；同时发生可表示为A∩B∩C（或ABC）.1.打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示（）A.全部击中 B.至少击中1发C.至少击中2发 D.以上均不正确解析：BA＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B.2.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A＝{至少1枚正面朝上}，事件B＝{至多2枚正面朝上}，事件C＝{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（）A.C＝A∩B B.C＝A∪BC.C⊆A D.C⊆B解析：D记事件D＝{1枚硬币正面朝上}，事件E＝{2枚硬币正面朝上}，事件F＝{3枚硬币正面朝上}，则A＝D∪E∪F，B＝C∪D∪E，显然C≠A∩B，C≠A∪B，C⊆B，C不含于A.故选D.3.掷一颗骰子，若事件A：出现奇数点，则A的对立事件为.

解析：掷一颗骰子，事件A：出现奇数点，则A的对立事件为出现偶数点.答案：出现偶数点题型一事件的包含关系的判断【例1】在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系：（1）BH；（2）DJ；

（3）EI；（4）AG.

解析因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.答案（1）⊆（2）⊆（3）⊆（4）＝通性通法判断事件之间的关系，主要判断表示事件的两集合间的包含关系.掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A＝“3次正面向上”，B＝“只有1次正面向上”，C＝“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系.解：当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C.题型二事件的运算【例2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球，1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.问：（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？解（1）对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个均为红球，故C∩A＝A.通性通法进行事件运算时应注意的问题（1）进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析；（2）在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.1.从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，设“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为（）A.1；6 B.4；2C.5；1 D.6；1解析：C从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}.其中事件A包含的样本点有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个.事件B包含的样本点有：（1，3），（2，4），共2个.所以事件A∪B包含的样本点有：（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；事件A∩B包含的样本点有：（2，4），共1个.故选C.2.（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则（）A.S⊆R B.R∩G＝MC.R∪G＝M D.M＝N解析：CDS＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，则R⊆S，A不正确；R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，R∩G＝⌀，B不正确；R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，R或G表示摸的两个球的颜色相同，即R∪G＝M，C正确；M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，由对立事件的定义知M＝N，D正确.故选C、D.题型三互斥事件与对立事件的判断【例3】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为（）A.一个是5点，另一个是6点B.一个是5点，另一个是4点C.至少有一个是5点或6点D.至多有一个是5点或6点（2）（多选）一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A.2个小球不全为红球B.2个小球恰有1个红球C.2个小球至少有1个红球D.2个小球都为绿球解析（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且都不是6点”包含16个样本点，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”，故选C.（2）从装有红色、绿色和蓝色小球各2个的口袋内，一次任意取出2个小球，这两个小球可能为2个红色球、2个绿色球、2个蓝色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色、1个蓝色1个绿色共6种情况，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有：2个小球恰有1个红球；2个小球都为绿球，而2个小球不全为红球与事件2个小球都为红色是对立事件；2个小球至少有1个红球包括2个红色球、1个红色1个蓝色、1个红色1个绿色，则选项C与“2个小球都为红色”不互斥.故选B、D.答案（1）C（2）BD通性通法辨析互斥事件与对立事件的思路（1）从发生的角度看：①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生；②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.（2）从事件个数的角度看：互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.1.某人在打靶中，连续射击3次，至多有一次中靶的互斥不对立事件是（）A.至少有一次中靶 B.三次都不中靶C.恰有两次中靶 D.至少两次中靶解析：C至多一次中靶包含没有中靶和恰有一次中靶，至少一次中靶，包含恰有一次，两次，三次中靶三种情况，两者都包含了恰有一次中靶，故不是互斥事件，A错误；三次都不中靶包含于至多有一次中靶，故不是互斥事件，B错误；恰有两次中靶，与至多有一次中靶不可能同时发生，但不对立，属于互斥不对立事件，C正确；至少两次中靶与至多有一次中靶为对立事件，故D错误.故选C.2.袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中，是对立事件的为.

解析：①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.答案：②1.抛掷一枚骰子，记“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（）A.A⊆BB.A＝BC.A∪B表示向上的点数是1或2或3D.A∩B表示向上的点数是1或2或3解析：C由题意，可知A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.2.一个射手进行一次射击，事件A：命中环数大于8；事件B：命中环数大于5，则（）A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件C.A⊆B D.A⊇B解析：C事件A：命中环数大于8即命中9或10环；事件B：命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A⊆B.故选C.3.（多选）从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”.下列结论正确的有（）A.A＝B