2023-2024学年人教A版必修第二册 第六章　解三角形中的综合问题 学案

解三角形中的综合问题题型一解三角形与三角恒等变换的综合【例1】已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＋c＝2b.（1）求证：B≤π3（2）若C＝2A，试求a∶b∶c.解（1）证明：由余弦定理的推论得cosB＝a2＋c2－（a＋c2）22ac＝3a2+3c2－（2）在△ABC中，由a＋c＝2b，结合正弦定理可得sinA＋sinC＝2sinB，∵C＝2A，∴B＝π－A－C＝π－3A，∴sinA＋sin2A＝2sin3A，即sinA＋2sinAcosA＝2（sinAcos2A＋cosA·sin2A）＝2[sinA（2cos2A－1）＋2sinAcos2A]，∵sinA＞0，∴1＋2cosA＝2（2cos2A＋2cos2A－1），整理得8cos2A－2cosA－3＝0，解得cosA＝34或cosA＝－1∵C＝2A，∴0＜A＜π3∴cosA＝34由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c代入a＋c＝2b，得2b2＋2c2－2（2b－c）2＝3bc，整理得b＝56c∴a＝23c故a∶b∶c＝23c∶56c∶c＝4∶5通性通法对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理（A＋B＋C＝π）展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的），进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝6，b＝2c，cosA＝－14（1）求c的值；（2）求sinB的值；（3）求sin（2A－B）的值.解：（1）由余弦定理的推论知，cosA＝b2＋c2－a22bc＝（2）由（1）知，b＝2c＝2，由cosA＝－14，知sinA＝15因为asinA＝bsinB，所以sin（3）因为cosA＝－14＜0，所以A为钝角，B为锐角，从而cosB＝6因为sin2A＝2sinAcosA＝－158，cos2A＝2cos2A－1＝－78，所以sin（2A－B）＝sin2AcosB－cos2AsinB＝题型二解三角形与三角函数的综合【例2】已知函数f（x）＝3sinωxcosωx－sin2ωx＋12，其中ω＞0，若实数x1，x2满足｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值为π（1）求ω的值及f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）＝－1，a＝3，求△ABC周长的取值范围.解（1）f（x）＝3sinωxcosωx－sin2ωx＋12＝32sin2ωx－1－cos2ωx2＋12＝32sin2ωx＋12cos2ωx显然f（x）的最大值为1，最小值为－1，则｜f（x1）－f（x2）｜＝2时，｜x1－x2｜的最小值等于T2，则T2＝π2，则2π2ω＝令2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝－π12＋kπ2，k∈Z，则f（x）的对称中心为（－π12＋kπ2，（2）f（A）＝sin（2A＋π6）＝－1，2A＋π6＝－π2＋2kπ，k∈Z，又A∈（0，π），则A由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC＝332＝2，则b＝则周长为a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin（π3－B）＝3＋sinB＋3cosB＝3＋2sin（B＋π3又0＜B＜π3，则π3＜B＋π3＜2π3，则3＜2sin（B＋故周长的取值范围为（23，2＋3］.通性通法正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f（x）＝sin（x＋B）＋cos（x＋B）tanC，且f（5π6）＝－（1）求角A；（2）若△ABC的面积为3，且sinB＋sinC＝62，求a的值解：（1）f（x）＝sin（x＋B）cosC＋∵f（5π6）＝－1cosC，∴－sin（5π6－A）cos又0＜A＜π，∴－π6＜5π6－A＜5π6，∴5π6－A＝（2）∵△ABC的面积S＝12bcsinA＝12bc·32＝3，∴bc设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知bsinB＝csinC＝asinB＝b2R，sinC＝c2R，a＝3R，sinB＋sinC＝62⇒b＋由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosπ3，∴a2＝（b＋c）2－3bc∴3R2＝6R2－12，∴R＝2，∴a＝23.题型三解三角形中的中线问题【例3】在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcosB＋C2＝a（1）求A；（2）若a＝19，BA·AC＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长.解（1）cosB＋C2＝cos（π2－A2）＝sinA2，∴bsin由正弦定理得：sinBsinA2＝sinAsinB∵sinB≠0，∴sinA2＝sinA∴sinA2＝2sinA2cosA2，∵A∈（0，π），A2∈（0，π2），∴sinA2≠0，得cosA2＝∴A＝2π（2）∵BA·AC＝3，∴bccos（π－A）＝3，得bc＝6，由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bccosA＝13，∵AD＝12（AB＋AC∴｜AD｜2＝14（AB＋AC）2＝14（c2＋b2＋2bccosA）＝∴｜AD｜＝72，即AD的长为7通性通法求解三角形中线问题的常用方法（1）中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（BD2＋AD2）；（2）向量法：AD2＝14（b2＋c2＋2bccosA已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asinB＝3bcosA.（1）求角A的大小；（2）若BC边上的中线AD＝7，且c＝4，求b的值.解：（1）由asinB＝3bcosA及正弦定理可得sinAsinB＝3sinBcosA，因为A，B∈（0，π），则sinB＞0，可得sinA＝3cosA＞0，则tanA＝3，因此A＝π3（2）因为AD＝12（AB＋AC所以2AD＝AB＋AC，所以4AD2＝（AB＋AC）2＝AB2＋AC2＋2AB即28＝c2＋b2＋2bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc，即b2＋4b－12＝0，解得b＝2（负值舍去）.题型四解三角形中的角平分线问题【例4】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosB＋C2＝asinB.若a＝23，BA·AC＝32，AD是△ABC的角平分线，解易知A＝2π3，由BA·AC＝32，得cbcosπ3＝32，∴bc＝3，又∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝（b＋c）2－2bc＋bc＝12，可得b＋c＝12+3＝15，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴12bcsin2π3＝12b·AD·sinπ3＋∴AD＝bcsin2π3（通性通法求解三角形角平分线问题的常用方法在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c：（1）利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD；（2）内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC＝BD（3）等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝2bccosA2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cb＝1＋tanAtanB.内角A的角平分线交BC于点M，若BM＝2CM，则A.23 B.C.12 解析：A由条件有，2sinCsinB＝1＋sinAcosAsinBcosB＝1＋sinAcosBsinBcosA＝sinBcosA＋sinAcosBsinBcosA＝sin（A＋B）即cosA＝12，又A∈（0，π），则A＝π3，由AM为∠CAB的角平分线，则ABAC＝BMCM＝2，即AB＝2AC，且∠CAM＝∠BAM＝π6，在△ACM中，cos∠CAM＝AC2＋AM2－CM22·AC·AM＝32，即AC2＋AM2－CM2＝3AC·AM①，cos∠CMA＝CM2＋AM2－AC22·CM·AM，在△ABM中，cos∠BMA＝BM2＋AM2－AB22·BM·AM＝4CM2＋AM2－4AC24·CM·AM，由∠题型五解三角形中的最值（范围）问题【例5】△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.（1）求角A；（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值.解（1）由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA.②由①②得cosA＝－12.因为0＜A＜π，所以A＝2（2）由正弦定理及（1）得ACsinB＝ABsinC＝BCsinA＝23，从而AC＝23sinB，AB＝23sin（π－A－B）＝3cos故BC＋AC＋AB＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋23sin（B＋π3）又0＜B＜π3，所以当B＝π6时，△ABC周长取得最大值3＋2通性通法解三角形中的最值（范围）问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值（范围）.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝34（a2＋b2－c2）（1）求角C的大小；（2）求sinA·sinB的最大值.解：（1）由题意可知12a