2023-2024学年人教A版必修第二册 第十章　概 率 学案

第十章概率一、数学抽象数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中，往往是从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表述的思维过程.在本章中主要体现在判断互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念上.培优一互斥事件、对立事件与相互独立事件的判断【例1】（1）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（）A.A与B，A与C均相互独立B.A与B相互独立，A与C互斥C.A与B，A与C均互斥D.A与B互斥，A与C相互独立（2）从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A.① B.②④ C.③ D.①③解析（1）有放回地摸球，第一次摸球与第二次摸球之间没有影响.（2）③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.答案（1）A（2）C二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在本章中主要体现在有关概率的计算上.培优二古典概型【例2】（1）从1，2，4，6这四个数字中随机地取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数是4的倍数的概率为（）A.13 B.23 C.14 （2）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（－1，1）的夹角θ＞π2的概率是（A.12 B.C.712 D.解析（1）所有两位数有：12，14，16，21，24，26，41，42，46，61，62，64共12个，其中是4的倍数的两位数有12，16，24，64共4个，所以所求概率为P＝412＝13.（2）由题设，向量（m，n）的可能组合有36种，要使向量（m，n）与向量（－1，1）的夹角θ＞π2，则（m，n）·（－1，1）＝n－m＜0，即m＞n，满足条件的情况如下：m＝2时，n∈{1}；m＝3时，n∈{1，2}；m＝4时，n∈{1，2，3}；m＝5时，n∈{1，2，3，4}，m＝6时，n∈{1，2，3，4，5}，综上，共有15种，故向量（m，n）与向量（－1，1）的夹角θ＞π2的概率是1536＝5答案（1）A（2）D培优三事件的相互独立性【例3】在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112；乙、丙两人都回答正确的概率是14（1）求乙答对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解（1）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C.设乙答对这道题的概率P（B）＝x，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件，由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P（AB）＝P（A）·P（B）＝（1－34）×（1－x）＝解得x＝23所以乙答对这道题的概率为P（B）＝23（2）设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P（C）＝y.由（1），并根据相互独立事件的概率公式，得P（BC）＝P（B）·P（C）＝23×y＝14，解得y＝甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P（ABC）＝P（A）·P（B）·P（C）＝（1－34）×（1－23）×（1－因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率为P（M）＝1－596＝91三、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.在本章中主要体现在实际问题的概率求解中.培优四概率与统计的综合【例4】2023年“五一”国际劳动节期间，我市某学校部分学生前往某面包生产作坊，通过社会实践了解到某种面包的成本单价为2元，经过保鲜加工后全部装箱（每箱100个，平均每个面包的加工费为1元），然后以每箱400元的价格整箱出售.根据面包的保鲜特点制定如下促销策略：若每天下午2点之前所生产的面包没有售完，则对未售出的面包以每箱200元的价格出售（降价后能把剩余面包全部处理完毕，且当天不再生产该种面包），根据作坊要求每天最多生产6箱.（1）若某天该作坊加工了6箱该种面包，且被6家不同的门店购买，其中在下午2点之前售出的有4箱.现从这6家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，求恰好一家是以400元购买的门店，另一家是以200元购买的门店的概率；（2）该作坊统计了100天内该种面包在每天下午2点之前的销售量X（单位：箱），结果如下表（视频率为概率）：X（箱）456频数（天）204040求每天生产6箱该种面包的平均利润.解（1）设这6家不同的门店分别是A，B，C，D，E，F，其中2点以前购买的门店是A，B，C，D，2点以后购买的门店是E，F，从这6家不同的门店中任选2家有15种选法：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）.其中恰好一家是以400元价格购买的门店，另一家是以200元价格购买的门店的有8种：（A，E），（A，F），（B，E），（B，F），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F）.根据古典概型的概率公式得所求的概率为P＝815（2）每天生产6箱该种