2023-2024学年人教A版必修第二册 第十章　概率与其他知识的综合问题 学案

概率与其他知识的综合问题题型一概率与函数、方程的综合问题【例1】（1）已知A＝{1，2，3}，B＝{x∈R｜x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是（）A.29 B.C.89 （2）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是.

解析（1）因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9（如下表所示）.ba1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）因为A∩B＝B，且B至多有两个元素，所以B可能为⌀，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}.当B＝⌀时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1，2，3；a＝2，b＝2，3；a＝3，b＝3.当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1.当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b.当B＝{1，2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2.当B＝{2，3}，{1，3}时，没有满足条件的a，b.综上，符合条件的结果有8种.故所求概率为89（2）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，（a，b）的所有样本点为（2，3），（2，8），（2，9），（3，2），（3，8），（3，9），（8，2），（8，3），（8，9），（9，2），（9，3），（9，8），共12个，其中log28＝3，log39＝2为整数，所以logab为整数的概率为16答案（1）C（2）1通性通法对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程（组）的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.有一道关于“冰糖葫芦”的题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的冰糖葫芦，冰糖葫芦有两种，一种是5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子.若小摊上山楂共640个，小桔子共360个，现从小摊上随机选取一个冰糖葫芦，则这个冰糖葫芦是5个山楂的概率为（）A.0.3 B.0.4C.0.5 D.0.6解析：B设5个山楂的冰糖葫芦有x个，2个山楂、3个小桔子的冰糖葫芦有y个，则5x+2y=640，3y=360，解得x=80，y=120，故样本点总数为80＋120＝200题型二概率与统计的综合问题角度一：古典概型与统计的综合问题【例2】某高校为了“制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力”的方案，需了解全校学生的阅读情况，现随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：时）并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数a（精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在[6.5，7.5），[7.5，8.5）内的学生中抽取6名参加座谈会.①你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；②从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在[7.5，8.5）内的概率.解（1）∵0.03＋0.1＋0.2＝0.33＜0.5，0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，∴中位数a∈[8.5，9.5），由0.03＋0.1＋0.2＋（a－8.5）×0.35＝0.5，解得a＝0.（2）①应从每周阅读时间在[6.5，7.5）内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在[7.5，8.5）内的学生中抽取4名.理由：每周阅读时间在[6.5，7.5）内与每周阅读时间在[7.5，8.5）内是差异明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，∵两者频率分别为0.1，0.2，∴应按照1∶2的比例进行名额分配.②设从每周阅读时间在[6.5，7.5）内的学生中抽取的2人为A1，A2，从每周阅读时间在[7.5，8.5）内的学生中抽取的4人为B1，B2，B3，B4，从这6人中随机抽取2人的所有样本点有15个，分别为（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）.设“至多有1人每周读书时间在[7.5，8.5）内”为事件A，则A中有9个样本点，分别为（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）.∴至多有一人每周阅读时间在[7.5，8.5）内的概率为P（A）＝915＝3角度二：相互独立事件的概率与统计的综合问题【例3】某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小.（结论不要求证明）解（1）记“该校男生支持方案一”为事件A，“该校女生支持方案一”为事件B，由于所有学生对活动方案是否支持相互独立，则由表中数据可知抽取的男生总人数为200＋400＝600，支持方案一的有200人，则估计该校男生支持方案一的概率P（A）＝13抽取的女生总人数为300＋100＝400，支持方案一的有300人，故估计该校女生支持方案一的概率P（B）＝34（2）记“从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，这3人中恰有2人支持方案一”为事件C，则事件C包含“一名男生支持，一名男生不支持，一名女生支持”“两名男生支持，一名女生不支持”，由（1）可知P（C）＝2×（1－13）×13×34＋13×13×（1（3）p0＞p1.通性通法解决概率与统计综合问题的一般步骤为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2，4，3个监测站，并以9个监测站测得的AQI的平均值为依据播报该市的空气质量.（1）若某日播报的AQI为119，已知轻度污染区AQI平均值为70，中度污染区AQI平均值为115，求重度污染区AQI平均值；（2）如图是2023年6月份30天的AQI的频率分布直方图，6月份仅有1天AQI在[140，150）内.①某校参照官方公布的AQI，如果周日AQI小于150就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率作为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；②环卫部门从6月份AQI不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两天中AQI在[170，200）内的概率.解：（1）设重度污染区AQI平均值为x，根据题意得119×9＝70×2＋115×4＋3x，解得x＝157.故重度污染区AQI平均值为157.（2）①AQI在[140，170）内的有8900×30×30＝8（天AQI在[170，200）内的有5900×30×30＝5（天AQI在[200，230）内的有2900×30×30＝2（天所以6月份AQI不小于150的共8＋5＋2－1＝14（天）.即能参加户外活动的概率为P＝1－1430＝8②由①知AQI在[170，200）内的有5天，编号设为a，b，c，d，e，AQI在[200，230）内的有2天，编号设为m，n，从7天中抽取两天有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，m），（a，n），（b，c），（b，d），（