信号与系统基础-第2章

第2章系统第2章|主要内容2.1系统的概念2.2系统的激励、响应与状态2.3系统的分类2.4LTI系统的模型2.5LTI系统的分析方法32.1系统的概念问题引入：人类生产实践中的很多工作或任务可认为是由某个“系统”完成。那么，什么是系统？如何分析研究系统？解决思路：从实践中提炼系统概念→寻找共性，将系统分类→找出系统的基本分析研究方法。研究结果：将系统分为线性和非线性、时变和非时变、连续和离散等16种。给出了“建模-求解”的系统基本分析方法和加、减、乘、延时、微分和积分等6种基本运算。核心内容：一个LTI系统可以用线性常系数微分或差分方程描述。对系统的分析，其实质就是解方程。42.1系统的概念对“系统”的研究，通常分为两个主题：一个是“分析”，另一个是“综合”。“系统分析”

主要研究一个给定系统的激励与响应的关系；

“系统综合”

则主要讨论构造怎样的系统能够满足给定的激励与响应的关系。52.1系统的概念本课程的“系统”：能够对信号进行某种特定处理的电路、设备或算法的总称。系统：相互独立又彼此联系，能够共同实现一些特定功能的若干元素的集合就是系统。1.系统的定义（2-1）6主要内容讨论给定的简单系统对基本信号的传输、变换或处理特性。主要目的是为设计或搭建实际通信系统或控制系统提供理论支持和方法指导。同时，也是为专业课程“通信原理”和“控制原理”等的学习奠定基础。本课程的研究结果可以适用于或推广到其他相似系统，比如机械系统等。所谓“相似系统”是指具有相同数学模型的真实系统，比如，一个LC电路和一个机械单摆就是相似系统。2.1系统的概念2.系统分析的内容及目的72.2系统的激励、响应与状态“激励（excitation）”即外部对系统施加的能量或作用。“响应（response）”就是系统对“激励”的反应或结果。电源为系统的激励。为系统响应。电容电压（2-3）82.2系统的激励、响应与状态如果在开关合上前不为零，比如，那么系统响应又如何呢？（2-4）92.2系统的激励、响应与状态此时的响应由两部分构成。是由电容在时刻前存储的电压（能量）第二部分是由时刻后的外激励造成的。产生的；第一部分这样，就引出一个新概念——系统状态（systemstate）。系统状态：一组必须知道的最少数据，利用这组数据和时接入的激励，就能够完全确定以后任何时刻的响应。102.2系统的激励、响应与状态起始状态

系统状态初始状态

激励接入前一刹那系统的状态。激励接入后一刹那系统的状态。112.2系统的激励、响应与状态时刻上系统的响应是系统在起始时刻上的状态和的输入的函数。可以表示为这样，简记为（2-5）（2-6）12系统在后任意时刻的响应由起始状态和区间上的激励共同决定。可见，系统在某一时刻的状态，可以告诉我们关于当时系统的全部信息。结论：2.2系统的激励、响应与状态系统分析要关心系统过去、现在和未来的情况。132.3系统的分类2.3.1简单系统与复杂性系统具有单输入信号和单输出信号的系统（SISO系统）通常被称为简单系统，而相应的多输入信号多输出信号系统（MIMO）就被称为复杂系统，它们的示意图如图2-1所示。本课程主要分析简单系统。142.3系统的分类输出输入都是连续时间信号的系统就是连续时间系统，简称连续系统，记为CT系统。输出输入都是离散信号的系统就是离散时间系统，简称离散系统，记为DT系统，也称为数字系统。2.3.2连续系统与离散系统152.3系统的分类2.3.3线性系统与非线性系统把由线性元件（比如线性电阻、电感和电容等）构成的系统称为线性系统（linearsystem）。包含有非线性元件（比如二极管等）的系统就是非线性系统（non-linearsystem）。162.3系统的分类线性特性包含两部分内容，即齐次性和可加性。齐次性：若则可加性：若则线性特性：注意：若系数，就会得出零输入必然导致零输出的结论。（2-7）（2-9）（2-8）172.3系统的分类注意：国外一些教材把齐次性（homogeneity）和可加性（additivity）统一称为叠加性（superposition），即“线性”也就是“叠加性”。182.3系统的分类

根据线性特性可以给出线性系统的基本定义：

响应与激励之间满足线性特性的系统就是线性系统。

该定义被很多人认可并出现在不少教材及专著中，而线性特性也就可以作为判断系统是否线性的依据并被称为线性条件。而零输入导致零输出的结论可直接用于判别一个系统是非线性系统。显然，线性条件的应用不需要了解系统内部结构而只需进行外部测量即可。192.3系统的分类

该定义有一个不足，即只考虑了系统在一个外部激励下的响应情况，而很多线性系统的响应还可能包含一个与激励无关而由内部起始状态产生的响应。因此，根据该定义，这类系统会被判为非线性系统并被称为“增量线性系统”，即这类系统的响应可认为是一个满足线性条件的系统响应与一个增量响应之和，比如可写为，其中，是满足线性特性系统的响应，是增量响应。

基本定义下的线性系统只是增量线性系统的一个子集或是增量线性系统在增量为零时的一个特例。202.3系统的分类美国人B.P.拉斯在其1974年所著的《信号系统和控制》一书中给出了线性系统的另一种定义：一个系统是线性的，当且仅当它满足响应分解性、零状态线性和零输入线性。为方便计，我们把该定义简称为“拉斯定义”。212.3系统的分类（1）响应分解性:系统响应是由两个不同的激励和而产生的，即系统的全响应应当是第二个激励不为零而第一个激励为零时的响应和第二个激励为零而第一个激励不为零时的响应两部分之和。被称为零输入分量或零输入响应，被称为零状态分量或零状态响应。（2-10）222.3系统的分类零输入响应系统响应零状态响应输入为零，只由起始状态引起的响应。起始状态为零，只由输入产生的响应。232.3系统的分类

可以用一个生活实例加深对式（2-10）的理解：比如，昨天你不小心左脚踢到了一块石头，今天仍然很疼（这就是神经系统的零输入响应）；可你今天仍然倒霉，左脚又被掉下的水杯砸了一下（造成零状态响应），这时你是“雪上加霜”，由石头带来的“疼”和由杯子造成的“痛”共同构成的“全响应”让你“疼痛不已”！

24一个系统是线性的，当且仅当它具有分解性、零状态线性和零输入线性。（2）零状态线性：

即若则有（3）零输入线性：

即若则有一个系统是非线性的，如果它不是线性的。2.3系统的分类252.3系统的分类一个线性系统的全响应与激励之间不满足线性关系，与起始状态之间也不满足线性关系。

在拉斯定义下，增量线性系统就是线性系统，而满足基本定义的线性系统其实就是拉斯定义下零输入响应为零时的系统。显然，拉斯定义是基本定义的推广，比基本定义更全面。

线性系统在应用中有一个很重要的特性，即响应与激励是同频信号。换句话说，就是响应不会产生与激励不同的频率分量。该特性也就是“电路分析”课程中“交流稳态电路”可以采用相量分析计算的理论基础。26（1）利用分解性可以很容易地计算出系统全响应的两个分量（令输入信号为零可以求出零输入响应，令起始状态为零可以求出零状态响应）。系统是线性的有何价值？或者说，有什么好处呢？（2）如果激励可以分解为许多简单函数（信号）的代数和：根据零状态线性，可得零状态响应为2.3系统的分类（2-13）（2-14）272.3系统的分类【例题2-1】设一线性系统起始状态为和，即起始状态为{1，2}时的，若起始状态增加为原来的5倍，求零输入响应。零输入响应为【解】起始状态增加5倍即变成{5，10}，则根据零输入线性可得零输入响应为。【例题2-2】设一线性系统起始状态为{1，2}时的零输入响应为，起始状态为{4，1}。求起始状态为{5，3}时的零输入响应。时的零输入响应为【解】显然，起始状态{5，3}是起始状态{1，2}和{4，1}的叠加，所以，其对应的和的叠加，即为。零输入响应也是282.3系统的分类【例题2-3】判断下列系统是否为线性系统。（1）（2）（3）

（4）（5）

（6）【解】（1）因为，所以该系统不满足线性条件，是非线性系统。（2）因为，所以该系统满足线性条件，是线性系统。292.3系统的分类（3）该系统满足分解特性和零输入线性，但不满足零状态线性，是非线性系统。（4）该系统满足分解特性和零状态线性，但不满足零输入线性，是非线性系统。（5）该系统不满足分解特性，是非线性系统。（6）该系统满足分解特性、零输入线性和零状态线性，在拉斯定义下是线性系统。302.3系统的分类2.3.4时变系统与时不变系统参数不随时间变化而为一个常数或激励与响应的特性不随时间的起点变化而变化的系统叫做常参数系统或时不变系统。（2-15）312.3系统的分类若一个系统既满足线性条件又满足时不变条件，就被称为线性时不变系统，记为LTI系统。LTI系统具有微分和积分特性，即则有若（2-16）（2-17）322.3系统的分类【例题2-4】判断系统是否为时不变系统。后的表达式为而激励时移后所对应的响应为显然，因此该系统是时变系统。【解】响应时移332.3系统的分类非线性系统由于没有上述线性系统的三个特性，使得其分析和研究变得很困难，不但没有一个简单的分析方法而且得不到通解。幸运的是许多非线性系统可以用工作在有限范围内的线性系统来近似，从而为非线性系统的研究找到了一条捷径。可见，线性系统的分析与研究方法对非线性系统也是非常重要的。响应分解、线性和时不变特性为线性系统的分析开辟了许多好途径。

像“卷积”、“卷和”和“变换域分析”这样一些分析方法就是建立在这些特性的基础之上。因此，“系统的线性和时不变特性”是系统分析的灵魂。342.3系统的分类如果一个系统在某时刻的输出只决定于该时刻和该时刻以前的输入，而与未来的输入无关，则该系统就称为因果系统。或者说，因果系统的输出不能领先于输入，未加激励不会产生响应。简单地理解，就是先有“因”后有“果”。2.3.5因果系统与非因果系统

，

，不满足因果条件的系统就是非因果系统（non-causalsystem）。非因果系统物理上一般是不可能实现的。（2-18）352.3系统的分类【例题2-5】判断下列系统是否为因果系统。（1）（2）（3）（4）【解】根据因果系统的定义，我们假设，将代入各系统表达式，有（1）。激励和均在响应之前，故该系统是因果系统。（2）。在之前存在且先于，故该系统是非因果系统。362.3系统的分类（3）。因为激励在响应之后，即，时刻的响应不仅与前面的激励有关，还与它后面出现的激励有关，故是非因果系统。（4）。令，有，显然，响应在激励之前，系统非因果。【例题2-6】判断下列系统是否为线性、时不变、因果系统。（1）

（2）

（3）【解】（1）该系统是一个线性、时不变、因果系统。372.3系统的分类（2）系统满足线性和因果特性。但因为，所以不满足时不变特性。故该系统是一个线性、因果、时变系统。（3）系统满足线性条件。假设，则若，则可见，激励延迟了1，而响应只延迟了0.5，响应在激励之前出现，不满足因果特性。另外，因为，则有，不满足时不变特性。故该系统是一个线性、非因果、时变系统。382.3系统的分类若系统在时刻的响应不仅与时刻的激励有关，而且还与区间的状态有关，则这种系统称为动态系统。若系统在时刻的响应仅与时刻的激励有关，而与区间的状态无关，则这种系统称为静态系统。2.3.6动态系统与静态系统只由电阻元件组成的系统就是即时系统（因为电阻不能存储能量）；

而包含储能元件（如电容、电感、磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统就是动态系统。392.3系统的分类注意：“电路分析”课程中的正弦稳态电路在形式上虽然包含动态元件，但因为其激励是正弦型信号，其稳态响应只决定于当前的激励，所以不是动态系统。因此，判断一个系统是否动态，除了看系统是否包含动态元件外，还要看激励信号的形式以及关注的响应类型。通常，静态系统的时域数学模型为代数方程，而动态系统则为微分方程或差分方程。40只有信号正向（从输入端到输出端）传输或变换的系统叫开环系统，也称为无反馈系统；既有正向传输或变换也有反向传输或变换的系统叫闭环系统，也称为反馈系统。2.3.7开环系统与闭环系统2.3系统的分类41对任意一个起始不储能系统，如果有界输入产生有界输出，则该系统称为稳定系统。可表示为若系统输入有界而输出无界（无限），则称为不稳定系统。通常，正反馈系统是不稳定系统，负反馈系统是稳定系统。2.3.8稳定系统与非稳定系统2.3系统的分类(2-19)42若一个系统在不同的激励下会导致不同的响应，就被称为可逆系统（invertiblesystem）。反之，就是不可逆系统。2.3.9可逆系统与非可逆系统比如，是可逆系统。而就是不可逆系统，因为和导致同样的。2.3系统的分类43可逆系统有一个重要特性：若一个系统是可逆的，则一定存在一个逆系统与之对应。当原系统与逆系统级联后，逆系统的响应就等于原系统的激励，也就是等效总系统的输出与输入相同。可逆系统的概念很重要，比如在通信系统中，编码器就必须是可逆系统。2.3系统的分类442.3系统的分类

通过上述内容可知，一个系统可以具有多类性，比如可以既是线性系统，又是时不变系统和因果系统。而在诸多各类系统中，线性时不变因果系统是最基本和最重要的系统，是分析和研究其他系统的基础。因此，本课程主要讨论线性时不变因果系统，简记为LTI系统。

注意：若不加说明，上述关于各种连续系统的概念或定义也适合于相应的离散系统。452.4LTI系统的模型能够全面反映系统特性的数学表达式叫作系统的数学模型，简称模型。而寻求这种数学表达式的过程叫作系统建模。2.4.1LTI系统的数学模型一个阶连续LTI系统的数学模型一个阶离散LTI系统的数学模型（2-20）（2-21）462.4LTI系统的模型建立电系统数学模型的基本依据是电网络的两个约束特性：(1)元件特性约束，即表征元件特性的关系式。表2-1即为常用元件的约束关系式。(2)网络拓扑结构，即由网络结构决定的电压、电流约束关系。它们以基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）表示。2.4.2LTI系统的建模472.4LTI系统的模型基尔霍夫定律（2-22）（2-23）482.4LTI系统的模型【例题2-7】图2-12是一个简单的三阶电系统。其中为激励信号，为响应，H，，F。试写出系统的微分方程（数学模型）。【解】应用KCL写出节点电流方程对网孔Ⅰ、Ⅱ应用KVL分别列写方程492.4LTI系统的模型由以上两式可得（2-24）再列写元件的电压、电流关系，并代入元件参数，得（2-25）502.4LTI系统的模型因此将式（2-28）、（2-27）代入式（2-26）得系统微分方程

（2-26）

（2-27）注意：微分（差分）方程的阶数就是系统的阶数，也就是系统中包含独立储能元件的个数。512.4LTI系统的模型综上所述，电系统建模的具体步骤是：（1）根据元件约束特性（伏安特性）写出各元件的伏安关系式。（2）将各元件的伏安关系式代入网络约束关系式中（KCL和KVL），得到若干个代数方程和微分方程。（3）将得到的所有方程通过消元方法整理成只包含激励与响应的关系式，就得到系统的数学模型。

对于本课程而言，电系统的数学模型就是常系数线性微分方程或差分方程。522.4LTI系统的模型2.4.3LTI系统的框图模型人们分别把加法（减法）、乘法、延时、微分、积分等运算抽象为一个“运算系统”或“运算器”并用框图表示。系统的数学模型是利用加法、减法、乘法、微分等运算将激励和响应联系起来的。

如果能把这些运算图形化，也就是用图形表示运算操作，那么就可以用图形将激励与响应联系起来。53利用这些基本运算“图元”，就能够将由微分方程表示的抽象晦涩的“数学模型”变为直观易懂的“图形模型”。这种利用框图图形进行系统描述的方法被称为系统的“框图模拟法”。2.4LTI系统的模型框图模拟法542.4LTI系统的模型【例题2-8】给定一个二阶系统模型，试用运算模型模拟该系统。【解】解微分方程的基本原则就是用积分将原函数取出。为此，我们将原式变形为分析可知，方程右边应该是一个加法器将三项求和，加法器的输出就是二阶项，而二阶项积分一次就变成一阶项，再积分一次就变成原函数，然后将两次积分后的结果乘以相应的系数反馈到加法器即可。据此，可得图2-14所示的系统模拟框图。552.4LTI系统的模型56上述例题说明，一个系统除了可用微分方程数学模型表示外，还可用框图模型描述。但要注意，框图模型不是一种与数学模型不同的新系统模型，而仅仅是数学模型的图示化。

也就是说，数学模型是根本。根据数学模型，系统可有多种描述形式。2.4LTI系统的模型5