《信号与系统》课件第4章 连续信号的频域分析

第4章连续系统的频域、复频域分析第4章连续系统的频域、复频域分析对于连续信号、系统，利用系统频域函数分析系统的方法，称为频域分析法或傅立叶变换法。用拉普拉斯变换进行分析，是信号、系统的复频域分析，具有方便、快捷等优点，对于一些特殊信号，无法使用傅立叶变换，而只能使用拉普拉斯变换才能完成分析。4.1连续系统的频域分析法LTI系统的频域分析的内容主要包括求出表征系统频率特性的频率响应特征量和在频域求解信号通过系统的输出。利用系统频域函数分析系统的方法，称为频域分析法或傅立叶变换法。4.1.1信号通过线性系统

系统可以看作是一个信号处理器，当信号通过线性系统时，会产生两种结果：输出信号失真和不失真。系统对于信号的作用可分为两类：一类是信号的传输；另一类是波形变换。

因此对系统的不同用途有不同的要求：信号的传输要求无失真传输；而波形变换（如滤波）则利用失真实现。4.1.1信号通过线性系统1.基本信号作用于LTI系统的响应对周期信号：

，其基本信号为对非周期信号：

，，其基本信号为

傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。

在频域分析中，信号的定义域为（–∞，∞），而t=-∞时总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常写为。4.1.1信号通过线性系统1.基本信号作用于LTI系统的响应设LTI系统的冲激响应为，当激励是角频率ω基本信号时，其响是信号

与系统的冲激响应的卷积：（4.1.1）而上式积分正是的傅里变换，记为常称为系统的频率响应函数。即：（4.1.2）反映了响应

的幅度和相位，代表了系统对信号的处理结果。4.1.1信号通过线性系统2.一般信号作用于LTI系统的响应

同样，一般信号作用于LTI系统时，系统输出的响应在时域是该信号与系统响应函数的卷积，在LTI系统的时域分析中信号与系统的关系如图4-1-1所示。图4-1-1LTI系统的时域分析4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法2.一般信号作用于LTI系统的响应

对于输入信号

，系统的零状态相应等于输入信号时域与系统单位冲激响应的卷积积分，即（3.6.22）式表示的：如果和的傅里叶变换均存在，则由傅里叶变换的时域卷积定理可得：（4.1.3）其中称为系统的频率响应函数，简称频率响应。

对于周期信号和非周期信号，频域分析系统零状态响应都是适用的，时域分析和频域分析之间的关系如图4-1-2所示。4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法2.一般信号作用于LTI系统的响应因此，频率响应定义为系统零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即：频率响应是一个复函数，极坐标形式为：||是w的偶函数，θ(w)是w的奇函数。（4.1.4）其模||称为幅度响应、幅频响应（或幅频特性）；其相角称为相位响应、相频响应（或相频特性）。它反映了输入序列的频谱经系统后所发生的变化规律。4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法例4-1-1描述某LTI系统的方程为(1)求该系统的冲激响应；(2)当输入信号

时，求系统的零状态响应。解：(1)在零状态条件下，对方程两端取傅立叶变换，得整理，得：

由上式得：两边取傅立叶逆变换，得：4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法(2)输入信号

的傅立叶变换为：故将进行傅里叶逆变换，求得系统的零状态响应为：4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法1.周期信号激励下系统的零状态响应

根据叠加定理，周期性激励信号作用于系统产生的响应，等于各谐波分量单独作用于系统产生的响应之和。而各谐波分量单独作用于系统产生的响应可由正弦稳态电路向量法求解。角频率为

的激励向量用和表示，系统响应向量用表示，这种情况的系统频率响应函数又可用响应向量与激励向量之比来定义，（4.1.4）式可表示为：（4.1.5）例4-1-2求周期性激励信号下的稳态响应。

如图4-1-3(a)所示方波电压信号作用于(b)所示的RL电路，R=10W，L=10mH，试求电阻R上的稳态电压

。4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法解：首先将方波电压源展开为傅里叶级数

可见激励源谐波的频率越高，激励源谐波的振幅越小，5次谐波振幅只有基波的5%。因此，忽略其他更高次谐波对

的结果影响不大。(1)5V直流电压源作用时，由于

，在直流稳态条件下，电感相当于短路，所以(2)基波电压

作用时，为基波角频率。由图4-1-3(b)所示电路可得电路的系统频率响应函数为电压源的各次谐波分量分别为：......4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法系统频率响应函数在各谐波频率上的值分别为电阻电压

各次谐波代表向量分别为4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法相应的可以写出电阻电压中各次谐波对应的时间函数分别为：最后可以利用叠加定理得到电阻上的电压表达式4.1.2频率响应H(jw)与频域分析法2.非周期信号激励下系统的零状态响应

例4-1-3已知某连续系统的

，求输入的零状态响应。解：输入信号

的傅里叶变换为：再求得

的傅里叶变换为：然后求得零状态响应

的傅里叶变换：对进行傅里叶反变换得到系统的零状态响应：4.1.3无失真传输时域无失真传输的条件：无失真传输是指线性系统输出响应的波形与输入激励的波形完全相同，只有幅度的大小和出现时间的先后可以不同，而没有波形上的变化，如图所示。用公式表示为：

（4.1.6）图4-1-4时域无失真传输

频域无失真传输的条件：对上述公式取傅里叶变换，并利用时移特性，可得其频谱关系为：4.1.3无失真传输系统要实现无失真传输，对系统的要求是：要求幅度是与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。相位特性与

成正比，是一条过原点的负斜率直线。如图4-1-5所示。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。即，对的要求：图4-1-5频域无失真传输

上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。4.1.3无失真传输

失真是指输出波形相对输入波形的样子已经发生畸变，改变了原有波形的形状。通常失真又分为两大类：一类是线性失真，另一类为非线性失真。

线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成：幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化，但不产生新的频率成分。而非线性系统产生的非线性失真是指信号产生了新的频率成分。4.1.4理想低通滤波器滤波器是指一个系统对于不同频率成分的正弦信号进行选择，有的频率分量可以通过，有的频率分量予以抑制。理想低通滤波器的频率响应

无失真传输要求传输信号时尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。理想滤波器是指让允许通过的频率成分顺利通过，而不允许通过的成分则完全被抑制掉。具有如图4-1-6所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器，

称为截止角频率，即在全部频带范围内，幅频特性应为一常数，相频特性应为一过原点的直线，斜率为。图4-1-6理想低通滤波器4.1.4理想低通滤波器该滤波器对低于的频率成分无失真地传输，而高于的频率成分完全抑制。使信号通过的频率范围[-]之内部分称为通带，阻止信号通过的频率范围（-)之外部分叫阻带。理想低通滤波器的频率响应可写为：（4.1.8）它可以看作是宽度为2的门函数:（4.1.9）2.理想低通滤波器的冲激响应：

由于冲激响应

是频域响应函数的傅里叶逆变换，因而可得理想滤波器的冲激响应为：根据傅立叶变换得：（4.1.10）4.1.4理想低通滤波器2.理想低通滤波器的冲激响应：图4-1-7理想低通滤波器的冲激响应

理想低通滤波器的冲激响应与激励信号波形的对照，波形的峰值比输入延迟了

，同时可看出冲激响应在之前就出现了，这在物理上是不满足因果关系的，因为输入信号是在时刻才加入的，因而理想滤波器实际上是无法实现的。4.1.4理想低通滤波器3.理想滤波器的冲激响应从时域卷积分析方法可以推导出理想滤波器的阶跃响应：（4.1.11）经推导，可得（4.1.12）其中，称为正弦积分如图4-1-8所示。4.1.4理想低通滤波器3.理想滤波器的冲激响应图4-1-8函数特点4.1.4理想低通滤波器4.物理可实现系统的条件LTI系统是否为物理可实现，时域与频域都有判断准则。就时域特性而言，一个物理上可实现的系统，其冲激响应在

时必须为0，即也就是说响应不应在激励作用之前出现。就频域特性而言，若系统的幅频特性

满足平方可积，即（4.1.16）且满足（4.1.17）上述两个条件称为“佩利(Paley)—维纳(Wiener)”准则。4.1.5连续系统频域分析的方法连续系统频域分析，求出频率响应函数即可得到系统的响应。频率响应一般有以下的求法：1.直接对冲激响应进行傅立叶变换，H(jw)=F[h(t)]。2.从输入激励、输出响应求出转移函数，H(jw)=Y(jw)/F(jw)：由微分方程求响应，对微分方程两边取傅里叶变换。也可以由电路直接求出响应。例4-1-4由微分方程求频率响应某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=f(t)，求时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换，得：j

Y(j

)+2Y(j

)=F(j

)则由于←→，故有取傅立叶逆变换得：4.1.5连续系统频域分析的方法例4-1-5由电路直接求出低通滤波电路的H(jw)、系统响应幅和频特性。如图4-1-10所示，由一个电阻和一个电容组成的一个最简单、最基本的RC低通滤波电路，R=1MΩ，C=1uF，若激励电压为单位阶跃函数ε(t)，以Uc(t)为输出，求其响应y(t)。解：系统输入电压

是交流激励信号，信号从电容两端输出，所以输出电压，画出电路时域模型如图4-1-11所示，电路频域模型如图4-1-12所示。图4-1-12图4-1-11（1）输出电压

，即为阻抗与容抗的分压，则该系统的转移函数H(jw)为：图4-1-10（4.1.18）4.1.5连续系统频域分析的方法（2）由于，则输出响应的频谱函数为：由于

的取样性质，并把第2项展开，得则（3）输出电压V0与输入电压Vi的电压比（即幅度增益gam）为：4.1.5连续系统频域分析的方法由于系统输入电压就是交流激励信号，输出电压，根据（4.1.18）式，有

电阻R=1MΩ，电容C=1μF，RC=1。画出这个滤波器振幅与频率的关系图。

解：振幅使用semilogy命令绘制对数标度频率响应。相位的取值范围小，可以使用线性标度，用semilogx来画相位响应图。

程序代码如下：R=1000000;C=1.0E-6;%10kohms,1uFf=1:100;w=2*pi*f;res=1./(1+j*w*R*C);gam=abs(res);phase=angle(res);subplot(2,1,1);semilogy(f,gam);title('幅度响应');xlabel('(Hz)');ylabel('AmplitudeRatio');gridon;subplot(2,1,2);semilogx(f,phase);title('相位特性');xlabel('(Hz)');ylabel('Phase(rad)');gridon;4.1.5连续系统频域分析的方法

得到的结果如图4-1-12所示，可见在低频部分增益较大，高频部分电压衰减的多。图4-1-12低通滤波电路的频率响应4.2拉普拉斯变换4.2.1拉普拉斯变换的产生和发展

傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面是十分方便和有效的，如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、采样、滤波等，傅立叶变换是一种非常重要的变换方法。在应用这一方法时，信号

必须满足狄里赫利条件。但在工程实际中存在一定的局限性。

十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside,1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力工程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的数学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉斯变换（LT：LaplaceTransform），简称拉氏变换“LT”。4.2.2拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换的定义

我们将傅里叶变换推广为拉普拉斯变换，引入拉普拉斯变换的概念。根据傅里叶变换的定义可知：（4.2.1）如果给信号乘以实指数函数（即衰减因子），再对其取傅里叶变换。（4.2.2）根据式（4.2.1），则有

（4.2.3）4.2.2拉普拉斯变换的定义式（4.2.3）与式（4.2.2）构成了一组新的变换对，称为双边拉普拉斯（Laplace）变换。

在连续时间系统分析中，往往分析开关动作后系统的响应，不失一般性，设开关在t=0时刻的动作，由此得出单边拉普拉斯变换对定义为：（4.2.4）4.2.2拉普拉斯变换的定义2.拉普拉斯变换的特点

单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换的收敛域不同，双边拉氏变换要和收敛域一起，才能和原函数一一对应。如果不特别强调，则讨论的都是单边拉氏变换。单边拉氏变换下限为0-，这样考虑到0时刻可能发生冲激。对因果信号，单边拉普拉斯变换与双边拉普拉斯变换相同。3．收敛域的特点

双边拉普拉斯变换只有在式（4.2.2）存在时才成立，使该式存在的所有s值的集合称为拉普拉斯变换

的收敛域（regionofconverge，简记为ROC）。例4-2-1求双边拉普拉斯变换。（1）因果信号：（2）反因果信号：（3）求双边信号

的双边拉普拉斯变换。4.2.2拉普拉斯变换的定义解：（1）将代入到式（4.2.2）式，有

对于因果信号，仅当

时，其双边拉普拉斯变换存在，其收敛域如图4-2-1(a)所示。(a)4.2.2拉普拉斯变换的定义解：（2）将

代入到式（4.2.2）式，有

对于反因果信号，仅当

时，其双边拉普拉斯变换存在，其收敛域如图4-2-1(b)所示。

(b)4.2.2拉普拉斯变换的定义解：

（3）X3(s)的双边拉普拉斯变换为X1(s)+X2(s)，则当

时，其收敛域为的一个带状区域，如图4-2-1(c)所示。当时，X1(s)和X2(s)没有共同的收敛域，因而X3(s)不存在。(c)收敛域的特点如下：（1）收敛域为条状，平行于轴；（2）收敛域不包含拉氏变换有理式的极点；（3）为有限区间的函数，而且Ｓ平面中至少有一点使拉氏变换收敛，则收敛域为全平面；（4）为右边函数收敛域在的右边；（5）为左边函数收敛域在的左边；（6）为双边信号收敛域为条状。4.2.3单边拉普拉斯变换(4.2.5)(4.2.5)式即为单边拉普拉斯变换的定义式，其中

称为的单边拉普拉斯变换(或象函数)，称为的单边拉普拉斯逆变换(或原函数)。单边拉普拉斯变换的逆变换为

(4.2.6)4.2.4常见信号的拉普拉斯变换1.单位阶跃信号已知信号

，根据拉普拉斯变换的定义：当s的实部

时，，故：2.冲激函数例4-2-2

冲激函数的拉普拉斯变换求

的拉普拉斯变换。解：>>symst;>>x=dirac(t);>>Xs=laplace(x)结果为：Xs=14.2.4常见信号的拉普拉斯变换3.指数函数例4-2-3

指数函数的拉普拉斯变换求

的拉普拉斯变换，其中a为任一实数或复数。解：>>symsta;>>x=exp(-a*t);>>Xs=laplace(x)结果为：Xs=1/(a+s)，即：（4.2.11）4.斜坡函数即（4.2.13）4.2.4常见信号的拉普拉斯变换5.正弦信号、余弦信号>>symstw;>>x=sin(w.*t);>>X=laplace(x)X=w/(s^2+w^2)

正弦信号（4.2.14）余弦信号>>symstw;>>x=cos(w.*t);>>X=laplace(x)X=s/(s^2+w^2)（4.2.15）4.3拉普拉斯变换的性质4.3.1线性设

和的拉普拉斯变换分别为和，即则有：（4.3.1）a1和a2是任意常数，与傅里叶变换的线性性质一样，拉普拉斯变换也包含齐次性与可加性。证明：4.3拉普拉斯变换的性质4.3.1线性例4-3-1线性性质应用应用线性性质求

的拉普拉斯变换。解

：由于

，根据欧拉公式，利用线性性质，得正弦函数的拉普拉斯变换为：（4.3.2）4.3拉普拉斯变换的性质4.3.1线性例4-3-2已知信号，求其象函数。解：因为

，根据拉普拉斯变换的线性性质可得（4.3.3）4.3.2微分特性1.时域微分：时域微分性质：若则

（4.3.4）例4-3-3

微分性质应用应用微分性质求

的拉普拉斯变换。解

：由于

，则（4.3.8）4.3.2微分特性2.s域微分：若

，则（4.3.10）重复运用上述结果，还可得（4.3.11）例4-3-5求函数

的象函数。解：因为则利用复频域微分性质得（4.3.12）4.3.3积分特性1.时域积分若

，则（4.3.13）若

为因果信号，则g(0-)=0，积分的拉普拉斯变换为（4.3.14）可推广至多重积分：（4.3.15）4.3.3积分特性2.复频域积分若

，则（4.3.18）例4-3-7求函数

的象函数。解：由于

，利用s域积分性质得（4.3.19）4.3.4移位特性1.时域移位（时移特性）若

，则（4.3.21）例4-3-9设，求，和的拉普拉斯变换。解：由常用拉普拉斯变换对可知：，，根据延时性质可得：（4.3.22）（4.3.23）（4.3.24）4.3.4移位特性2.s域移位（频移特性）（4.3.26）该性质说明，

乘以的拉普拉斯变换，相当于把的变换的s置换为s+a。例4-3-11移位性质应用

求

的拉普拉斯变换。解：

根据s域移位性质和正弦函数的拉普拉斯变换有：（4.3.27）4.3.5初值定理和终值定理

初值定理和终值定理常用于由X(s)直接求

和，而不必求出原函数1.初值定理

设函数

不含d(t)及其各阶导数，即X(s)为真分式，若X(s)为假分式化为真分式。则（4.3.29）2.终值定理若

当t→∞时存在，并且，Re[s]>s0，s0<0，则（4.3.30）4.3.6卷积定理1.时域卷积定理若

和的拉普拉斯变换分别为和，即则有：（4.3.31）

该性质表明，两时域信号的卷积对应的拉普拉斯变换是两信号拉普拉斯变换的乘积。2.复频域卷积定理若

，则（4.3.32）4.3.7尺度变换性质若

，即（4.3.33）其中a为正实常数。

例4-3-16已知因果信号

的象函数为

，求的象函数。解：因为

，且由尺度变换性质，得由时移性质，得再由复频移特性，可得（4.3.34）4.4拉普拉斯反变换应用拉普拉斯变换法求解系统的时域响应时，根据已知的激励信号求其像函数，实际应用中还需要把处理后的像函数再变换为时间信号函数，这就是拉普拉斯反变换。根据（4.2.4）式的定义有：常用的拉普拉斯反变换方法有如下几种：1.传统方法（1）查表法。（2）利用拉氏变换的基本性质。（3）部分分式法。（4）留数法：围线积分法。2.数值计算方法4.4.1查表法例4-4-1求时间信号函数

已知像函数，求时间信号函数。解：已知：查表得：根据拉普拉斯变换的时移特性

，有MATLAB程序为：>>symsstXx;>>X=1/s^2+2*exp(-s)/s^2+exp(-2*s)/s^2;>>x=ilaplace(X)x=t+2*heaviside(t-1)*(t-1)+heaviside(t-2)*(t-2)4.4.2部分分式法通常用部分分式展开法将复杂函数展开成简单的有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数。1.为有理真分式

利用部分分式展开法将

分解成n个部分分式，其每一项都可归为常用信号的象函数表达，从而得到相应的原函数。根据极点的不同类型，可将展开成下述三种情况。（1）A(s)=0，具有N个单实根（2）A(s)=0有r重根（3）A(s)=0，具有共轭复根2.为有理假分式3.采用MATLAB展开多项式4.5连续系统的复频域分析法在LTI连续时间系统分析中，拉普拉斯（Laplace）变换是一种非常重要的变换方法，是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。线性连续系统复频域分析的基本方法，是把系统的输入信号分解为基本信号est之和，其数学描述就是输入与响应的拉普拉斯变换和逆变换。4.5.1常见电路和元器件的复频域模型1.电阻元件2.电感元件3.电容元件4.基本运算器的时域和s域模型

基本运算器包括数乘器、加法器和积分器，其时域和s域模型如图4-5-4所示。4.5.2系统复频域模型

RLC系统是基本的LTI系统，由线性时不变电阻、电感、电容和线性受控源、独立电源组成的线性时不变系统。RLC系统复频域模型的建立和分析的基础，是基尔霍夫定律（KCL、KVL）和R、L、C元件电流电压关系(VAR)的复频域形式。1.KCL、KVL的复频域形式KCL和KVL的时域形式分别为：（4.5.9）2.RLC系统的复频域模型及分析方法

若把RLC系统中的激励和响应都用其象函数表示，R、L、C元件用其复频域的模型表示，就得到系统的复频域模型。

在复频域中，RLC系统的激励与响应的关系是关于s的代数方程。

利用拉普拉斯变换法分析电路步骤为：(1)首先将电路中元件用其s域模型替换，将激励源用其象函数表示，得到整个电路的s域模型；(2)应用所学的各种电路的分析方法对s域模型列s域方程、求解；(3)得到待求响应的象函数以后，通过拉普拉斯逆变换得到响应的时域解。4.5.2系统复频域模型例4-5-1求如图4-5-5所示电路系统的冲激响应。解：由于系统函数H(s)与系统的单位冲激响应h(t)是一对s变换，因此对H(s)求拉氏逆变换即可求得h(t)，这比在时域求解微分方程要简便的多。根据如图4-5-5所示电路可得到s域模型如图4-5-6所示。图4-5-5RLC电路图4-5-6RLC电路的s域模型

设其初始状态为0，根据电路的s域模型，可直接写出电路的系统函数：由此得到冲激响应为：4.5.