《信号与系统》课件ch5

15.1

离散信号与离散系统

一、离散时间信号的表示二、典型离散信号三、离散信号的基本运算四、离散系统响应的求解方法5.2

离散系统的零输入响应5.3

单位样值响应和阶跃响应5.4

离散系统的零状态响应

一、卷积和二、卷积的性质三、卷积的计算5.5时域分析点击目录，进入相关章节第五章离散系统的时域分析25.1离散信号与离散系统5.1离散信号与离散系统一、离散信号的表示离散信号一般用函数离散信号通常也称表示，为序列，每一个值称为一个样本。有三种表示方法：1.解析式。比如2.序列形式3.图形表示（即波形图）比如：下标表示第一个样本的标号，

或者其中，↑表示n=0的位置；

这种方法最适合表示有限长序列。

35.1离散信号与离散系统二、典型离散信号1.单位样值序列以及移位单位样值序列

它们的波形如图所示

n0n0m45.1离散信号与离散系统2.单位阶跃序列移位的单位阶跃序列：它们的波形如下：n0n0m…12…55.1离散信号与离散系统两者的关系：3.门序列（矩形脉冲序列）4.单边指数序列，其中a为任意常数。65.1离散信号与离散系统三、离散信号的基本运算2.移位和反折----规则与连续信号的时移、反折相同。1.加／减、乘／除将两个序列对应的样值做相加、相减、相乘、相除即可得到。3.尺度变换-----与连续信号不同，下面举例说明5.1.1已知，求和75.1离散信号与离散系统解：（1）即在信号处理中，这一运算通常称为“插值”。即如果将看作由连续信号的抽样值组成，即,则是将抽样率提高一倍的抽样结果,

故这一运算又称为upsampling；

85.1离散信号与离散系统即在信号处理中，该运算通常称为“抽取”（decimation)。看作由连续信号的抽样值组成，即,则是将抽样率降低一倍的抽样结果,

故这一运算又称为downsampling；

（2）即如果将95.1离散信号与离散系统第一章已经指出，LTI离散系统的输入输出数学模型为线性常系数差分方程，因此，系统响应的求解的本质即差分方程的求解。四、离散系统响应的求解方法1.迭代法：根据差分方程逐个迭代出所有的样本。适合数值解，特别是计算机求解，不易得到闭式解（即响应的解析式）。比如

，则据此可以迭代出的所有样本。105.1离散信号与离散系统2.经典法：响应等价于差分方程的完全解，由齐次解和特解组成，表示为3.时域分析法：将响应分解为零输入响应和零状态响应，然后分别求解，表示为4.z域分析法：利用z变换来求解系统的响应，与连续系统的复频域分析法相似。115.2离散系统的零输入响应5.2离散系统的零输入响应一、响应的形式设一个LTI因果离散系统的差分方程为：根据定义，可知零输入响应与齐次差分方程的解形式相同，都取决于以下的特征方程与特征根：特征根125.2离散系统的零输入响应1、特征根各不相同，则yx(n)为：2、有重根，不妨设λ1为r重根，则yx(n)为：二、系数Ck的确定通过yx(n)的N个初始值，比如yx(-1),yx(-2),…,yx(-N)或者yx(0),yx(1),…,yx(N-1),来确定。注意：一般yx(k)≠y(k)135.2离散系统的零输入响应例5.2.1．某因果系统差分方程为求yx(n)。解：特征方程为解得特征根为所以根据初始条件，得解得故思考：将条件改为如何做？145.3单位样值响应和单位阶跃响应5.3单位样值响应和阶跃响应一、单位样值响应和单位阶跃响应的定义1、单位样值响应由δ(n)作用产生的零状态响应,用h(n)表示；由U（n）作用产生的零状态响应，用g（n）表示。两者关系：2、单位阶跃响应155.3单位样值响应和单位阶跃响应二、因果离散系统单位样值响应的求解设差分方程为：初始条件为(1)首先，h(n)是因果信号。原因：n<0,f(n)=0、初始条件均为零且为因果系统。(2)其次，先求以下系统的单位样值响应h1(n)：165.3单位样值响应和单位阶跃响应h1(n)与齐次解形式相同，且为因果信号，形式如下：（以特征单根为例）系数Ck根据初始条件：来确定。可得如下方程组175.3单位样值响应和单位阶跃响应(3)最后，根据系统的线性和时不变性，h(n)为：例5.3.1某因果系统的差分方程为：求h(n)。解:(1)特征方程和特征根。特征方程：特征根：185.3单位样值响应和单位阶跃响应(2)先求以下系统的单位样值响应h1(n):(3)

由线性和时不变性，可得易知据初始条件得：所以195.4零状态响应—卷积和5.4零状态响应——卷积和一、卷积和………012in-1f(n)f(-1)f(0)f(1)f(2)f(i)f(n)=…+f(-1)δ(n+1)+f(0)δ(n)+f(1)δ(n-1)+…任意离散序列f(n)可表示为1.序列的时域分解205.4零状态响应—卷积和2.任意序列作用下的零状态响应yf(n)f(n)根据h(n)的定义：δ(n)

h(n)由时不变性：δ(n

-i)h(n-i)f(i)δ(n-i)由齐次性：f(i)h(n-i)由叠加性：‖f(n)‖yf(n)称为卷积和215.4零状态响应—卷积和3.卷积和的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(n)和f2(n)，则定义和为f1(n)与f2(n)的卷积和，简称卷积；记为

f(n)=f1(n)*f2(n)注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，n为参变量。结果仍为n的函数。225.4零状态响应—卷积和二、卷积和的性质1.代数律：(1)交换律(2)分配律(3)结合律235.4零状态响应—卷积和两个重要结论：1、两系统并联，总系统单位样值响应等于两个子系统单位样值响应之和。2、两系统级联，总系统单位样值响应等于两个子系统单位样值响应的卷积。2.f(n)*δ(n)=f(n)，f(n)*δ(n–n0)=f(n–n0)3.f(n)*U(n)=4.f1(n–n1)*f2(n–n2)=f1(n–n1–n2)*f2(n)245.4零状态响应—卷积和5.卷积和的范围的确定

序列长度为

序列长度为那么卷积和序列的长度为设255.4零状态响应—卷积和例5.4.1

如图复合系统,其中h1(n)=U(n)，h2(n)=U(n–5)，求复合系统的单位样值响应h

(n)。解根据h(n)的定义，有h(n)=[δ(n)*h1(n)–δ(n)*h2(n)]*h1(n)=(n+1)U(n)–(n–4)U(n–5)h1(n)h2(n)h1(n)∑f(n)y(n)=U(n)*U(n)–U(n–5)*U(n)=[h1(n)–h2(n)]*h1(n)=(n+1)U(n)–(n+1–5)U(n–5)265.4零状态响应—卷积和例5.4.2

如图复合系统由两个子系统级联组成，其中

h1(n)=2cos(nπ)，

h2(n)=anU(n)，激励f(n)=δ(n)–aδ(n-1)，求复合系统的零状态响应响应yf(n)。解yf(n)=f(n)*h1(n)*h2(n)h1(n)h2(n)f(n)y(n)=2cos(nπ)*[anU(n)]*[δ(n)–aδ(n-1)]=2cos(nπ)*[anU(n)-anU(n-1)]=2cos(nπ)*δ(n)=2cos(nπ)275.4零状态响应—卷积和三、卷积的计算卷积过程可分解为四步：（1）换元：n换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)平移n→f2(n–i)（3）乘积：f1(i)f2(n–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：n为参变量。下面举例说明。(一）卷积的图解法285.4零状态响应—卷积和例5.4.3：f1(n)、f2(n)如图所示，已知f(n)=f1(n)*f2(n)，求f(2)=？解：（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)012i-1f1(i)f2(n-i)11.523012n-1f1(n)1.511.521f2(n)01233-2-2-1n295.4零状态响应—卷积和(二）竖乘法（不进位相乘）f(n)=所有两序列序号之和为n的那些样本乘积之和。如n=2时f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例5.4.4f1(n)={f1(1)，f1(2)，f1(3)}1f2(n)={f2(0)，f2(1)，0}0=…+f1(-1)f2(n+1)+f1(0)f2(n)+f1(1)f2(n-1)+f1(2)f2(n-2)+…+f1(i)f2(n–i)+…适合俩有限长序列的卷积305.4零状态响应—卷积和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(n)={f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)}1排成乘法315.4零状态响应—卷积和例

5.4.5f1(n)={2，1，5}0

f2(n)={3，4，0，6}1

3，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66,8，0，12+————————————6，11，19，32，6，3