《信号与系统》课件ch7

2024/5/181第七章系统的状态变量分析7.1系统的信号流图一、信号流图二、梅森公式三、系统信号流图模拟7.2系统的状态方程和输出方程一、状态和状态变量二、连续系统的状态方程和输出方程三、离散系统的状态方程和输出方程点击目录，进入相关章节2024/5/1827.1系统的信号流图7.1系统的信号流图一、信号流图---模拟框图的简化表示1、信号流图：对系统s域或z域模拟框图的简化，具体说来，就是用有向线段表示信号的传输路径，有向线段起点和终点表示信号，起点信号与终点信号之间的转移关系（传输函数）标于线段的上方，加法器用节点表示。比如，下图（a）所示的模拟框图经简化后得到的流图如图（b）所示。2024/5/1837.1系统的信号流图f(t)y(t)322－－－图（a）1-1-32-2F(s)Y(s)图（b）s-1s-12024/5/1847.1系统的信号流图2.相关术语（2）节点：表示信号或变量的圆点，具有加法器的功能共有三类节点：源点：只有输出支路的节点，通常对应系统的输入信号；阱点：只有输入支路的节点，通常对应系统的输出信号；混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。（1）支路与支路增益：流图中的有向线段称为支路；标于有向线段上方的传输函数称为支路增益；2024/5/1857.1系统的信号流图（6）不接触环路：没有公共节点和公共支路的环路。（3）通路与开通路：沿箭头方向所经过的支路组成的路径称为通路；与通路上任意节点相交不多于一次的通路称为开通路；（4）环路与环路增益：从某节点出发，沿箭头方向绕行一周回到该点，且与其他节点相交不多于一次的通路，称为环路；环路中各支路增益的乘积称为环路增益；（5）前向通路与前向通路增益：从源点至阱点的开通路称为前向通路；该通路上各支路增益的乘积称为前向通路增益；2024/5/1867.1系统的信号流图二、梅森公式1、：特征行列式

=1-（所有环路增益之和）+（每两个互不接触环路增益乘积之和）-（每三个两两不接触环路增益乘积之和）=式中参数的含义及计算2024/5/1877.1系统的信号流图2、：第k条前向通路增益

3、：第k条前向通路特征行列式的余子式。它是中除去与该前向通路接触的环路增益外余下的特征行列式。例7.1.1如图所示的信号流图，求系统函数。2024/5/1887.1系统的信号流图H1-G1-G21F(s)Y(s)H21H3-G3-G4H4解：（1）求△

环路：

不接触环路：L1与L2、L1与L3为两组不接触环路，没有三个以上两两不接触环路。2024/5/1897.1系统的信号流图所以

（2）求和

只有一条前向通路：，它和所有环路都接触，所以

最后根据梅森公式，得：2024/5/18107.1系统的信号流图三、系统的信号流图模拟1.直接型（正则型）以连续系统为例，设（m≤n）将之变为：，根据梅森公式，可以这样来构造流图：2024/5/18117.1系统的信号流图（1）分母中括号内各项均为环路增益，即共有n个环路，

并且各环路相互均接触；故共有m+1条前向通路，且各通路与所有环路均有接触。（2）分子中各项为前向通路增益，且于是可得流图如下：2024/5/18127.1系统的信号流图F(s)1…Y(s)s-1s-1s-1s-1-an-1-an-2-a0-a1b0bmbm-12.级联型（串联型）（以连续系统为例）

通过因式分解，可以将系统函数表示为：为一阶或二阶系统函数其中2024/5/18137.1系统的信号流图一般形式为：（一阶节）或（二阶节）将每个一阶、二阶系统用直接型流图实现，然后将各个子系统级联起来。以下是级联的示意图：H1H21…HN2024/5/18147.1系统的信号流图3.并联型通过部分分式展开（复数极点需合并），可以将系统函数表示为：，其中也是一阶或二阶系统函数。将各子系统用直接型实现后把它们并联起来即得流图的并联结构。以下是并联的示意图：2024/5/18157.1系统的信号流图H1HMH21111111Y(s)F(s)例7.1.2已知

，求直接型、级联型和并联型流图。2024/5/18167.1系统的信号流图解：（1）直接型：,据梅森公式，可得129-710-10F(s)Y(s)10s-1s-1s-12024/5/18177.1系统的信号流图（2）级联型：，可得级联型如下5152-2F(s)Y(s)-52s-1s-1s-1（3）并联型：2024/5/18187.1系统的信号流图11-2F(s)Y(s)-5114/323/3s-1s-1s-12024/5/18197.2系统状态变量分析一、状态和状态变量7.2系统的状态变量分析

前几章介绍的分析方法，可以统称为输入-输出法，仅仅涉及输入和输出。当需要研究系统内部变量的情况时，需要状态变量分析法。尤其是多输入-多输出系统。状态：描述系统运动的一组最少数据，系统响应完全由这组数据及输入确定；状态变量：能够表示状态的变量，如电容电压，电感电流等。2024/5/18207.2系统状态变量分析二、连续系统的状态方程和输出方程状态变量分析法中建立的数学模型称为状态方程和输出方程.1、连续系统状态方程的一般形式连续系统的状态方程是一组一阶微分方程，其一般形式为：状态变量的一阶导数=状态变量的线性组合+输入信号的线性组合。2024/5/18217.2系统状态变量分析若设状态变量为：系统有p个输入：系统有q个输出：那么状态方程可以表示为：K=1,2,…,n，即共有n个方程，均为一阶微分方程。2024/5/18227.2系统状态变量分析或写成矩阵形式：其中：均为列向量。A称为系统矩阵，B称为控制矩阵。2024/5/18237.2系统状态变量分析2、输出方程的一般形式输出方程是一组代数方程，其一般形式为：可以表示为：或写成矩阵形式：系统输出=状态变量的线性组合+输入信号的线性组合。K=1,2,…,q。即共有q个方程。输出矩阵2024/5/18247.2系统状态变量分析3、连续系统状态方程和输出方程的建立(1)由电路图直接建立方法：（a）将独立电容的电压及独立电感的电流选为状态变量；

（b）根据电路的KCL、KVL、VAR等电路定理（律）建立电路方程；

（c）将方程整理为状态方程的标准形式。7.2.1电路如下，编写状态方程和输出方程。2024/5/18257.2系统状态变量分析解：如图选电感电流和电容电压为状态变量，记为（1）状态方程：由KVL，得由KCL，得，代入上式，得2024/5/18267.2系统状态变量分析①对节点2列KCL方程，得：整理后得②写成矩阵形式，有2024/5/18277.2系统状态变量分析（2）输出方程根据分压公式易知：2.由系统框图或流图建立方法：（1）根据系统函数作出系统的框图或流图；（2）选择积分器的输出作为状态变量；（3）根据流图（框图）各支路的关系编写状态方程。2024/5/18287.2系统状态变量分析7.2.2已知

，

求系统的状态方程和输出方程。解：先画信号流图：选择积分器输出为状态变量，如图所示。则状态方程为：2024/5/18297.2系统状态变量分析输出方程为：

2024/5/18307.2系统状态变量分析三、离散系统的状态方程和输出方程1、离散系统状态方程的一般形式离散系统的状态方程是一组一阶前向差分分方程，其一般形式为：状态变量的单位左移=状态变量的线性组合+输入信号的线性组合。2024/5/18317.2系统状态变量分析若设状态变量为：系统有p个输入：系统有q个输出：那么状态方程可以表示为：K=1,2,…,N，即共有N个方程，均为一阶差分方程。2024/5/18327.2系统状态变量分析或写成矩阵形式：其中：均为列向量。A称为系统矩阵，B称为控制矩阵。2024/5/18337.2系统状态变量分析2、离散系统输出方程的一般形式输出方程是一组代数方程，其一般形式为：可以表示为：或写成矩阵形式：系统输出=状态变量的线性组合+输入信号的线性组合。K=1,2,…,q。即共有q个方程。输出矩阵2024/5/18347.2系统状态变量分析3、离散系统状态方程和输出方程的建立一般过程：（1）求出系统函数；（2）画出系统框图和流图；（3）选择延时单元的输出作为状态变量；（4）根据流图（框图）各支路的关系编写状态方程和