广西科技大学高等数学试题

PAGEPAGE3高等数学A2过往考题精选（解答）一、选择题（单选题，把正确答案的序号填在括号内）：1、面上的曲线绕轴旋转所得旋转曲面的方程为【B】．；；；．2、曲面在点处的法线方程是【C】．；；；．3、设一平面通过点且在三坐标轴上的截距相等，则该平面的方程为【D】．；；；．4、曲线在点处的切线方程是【C】．；；；．5、曲线，，在对应于的点处的法平面方程是【B】.；；；．6、已知对坐标的曲线积分在全平面内与路径无关，为平面上任一曲线，则常数【D】．；；；．7、已知对坐标的曲线积分在全平面内与积分路径无关，其中为平面上的任一曲线，具有连续导数，则【B】．；；；．8、对于级数，下列命题错误的是【A】．若，则级数收敛；若级数收敛，则；若级数收敛，则级数收敛；若级数收敛，则级数收敛．9、设与是两个正项级数，且，则下列命题正确的是【B】．若级数收敛，则级数必定收敛；若级数收敛，则级数必定收敛；若级数发散，则级数必定发散；以上都不对．10、设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛半径为【B】．；；；．11、如果幂级数在处发散，则下列结论正确的是【C】．当时级数绝对收敛；当时级数条件收敛；当时级数发散；以上结论都不对．12、如果幂级数在处收敛，则下列结论正确的是【A】．当时级数绝对收敛；当时级数条件收敛；当时级数发散；以上结论都不对．13、设，则下列关于幂级数的结论正确的是【B】．当时级数绝对收敛；当时级数绝对收敛；当时级数绝对收敛；当时级数绝对收敛.14、微分方程的方程类型是【A】．齐次方程；线性方程；可分离变量方程；一阶非线性方程.15、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式可设为【C】．；；；．二、填空题：1、已知向量，且，则参数1．2、设向量，，则.3、设平面与平行，则．4、若向量与直线垂直，则-1．5、过点且与平面垂直的直线方程是．6、过点且与直线垂直的平面方程为．7、2.8、.9、4.10、设，则全微分.11、设，则全微分.12、设二元函数，则二阶混合偏导数．13、设，则二阶混合偏导数.14、二次积分交换积分次序后的结果为．15、二次积分交换积分次序后的结果为．16、设为上从点到点的一段直线，则对弧长的曲线积分．17、设为圆周，则．18、级数的敛散性是条件收敛（绝对收敛、条件收敛、发散）.19、级数的敛散性是绝对收敛（绝对收敛、条件收敛、发散）.20、当满足不等式时，级数收敛.21、若级数（）绝对收敛，则的取值范围是.22、设的收敛域为,则的收敛域是.23、函数展开成的幂级数为.24、函数展开成的幂级数为.25、微分方程的通解是.26、方程的通解是.27、方程的通解是.28、方程的通解是.29、方程的特解的形式是.三、计算题：1、设，求，，.解：，，.2、设，求，及.解：，，.3、设函数，求偏导数，，及全微分.解：，，，.4、设由方程所确定，求，.解：令，则，，，，.5、设函数由方程所确定，求偏导数，及全微分．解：令，则，，，，.四、计算题：1、计算，其中是由、及所围成的闭区域.解：因为，所以.2、计算，其中是由及围成的闭区域.解：因为，所以.3、设是由、及所围成的闭区域，求.解：因为，所以.4、计算，其中是由.解：令，则，从而.5、计算，其中,.解：令，则，从而.6、设，其中由，，，所围而成，求的值.解：因为，所以，由，得，解得.7、交换二次积分的积分次序，并求出的值．解：.8、交换二次积分的积分次序，并求出的值.解：.五、计算题：1、计算对坐标的曲线积分，其中是上半圆周与轴所围成的闭区域的取正方向的边界曲线.解：因为，，由格林公式有.2、设对坐标的曲线积分,是圆周所围闭区域的正向边界，求的值．解：因为，，由格林公式有由，得，即，解得.3、设对坐标的曲线积分，其中是圆周所围闭区域的正向边界，求的值．解：因为，，由格林公式有,由，得，解得.六、计算题：1、设有幂级数，（1）求其收敛半径；（2）指出其收敛区间；（3）讨论幂级数在收敛区间端点处的敛散性，并确定其收敛域．解：（1）因为，所以收敛半径.（2）收敛区间为.（3）当，级数为，收敛；当，级数为，收敛；收敛域为.2、设有幂级数，求级数的收敛域.解：因为，所以，从而当，即时，级数收敛；当，即时，级数发散.当，级数为，收敛；当，级数为，发散，故级数的收敛域为.3、将函数展开成关于的幂级数，并指出其收敛区间.解：，.七、计算题：1、求可分离变量微分方程的通解及满足初值条件的特解．解：方程变为，所以，解得，所以通解为.由，得.所以所求的特解为.2、已知方程，求：（1）方程的通解；（2）方程满足初始条件的特解.解：（1）因为，所以通解为.（2）由，解得，所以所求的特解为.3、设有常系数非齐次线性微分方程，（1）求对应的常系数齐次线性微分方程的通解；（2）求的一个特解；（3）求的通解.解：（1）特征方程为，解得特征根为，所以的通解为.（2）因为是特征单根，，所以原方程的特解形式为，代入方程化简得，解得，故所求特解为.（3）原方程的通解为.八、计算题：1、求过两点，且与平面垂直的平面方程.解：设所求平面的方程为，记.由条件，有，解方程组得，，，.代入方程，得，即.2、求过原点且通过直线的平面方程.解：因为平面过原点，所以可设其方程为.由已知，有，解方程组得，，.代入方程，得，即.3、设二元函数在点处取得极值，求、的值.解：，.由已知，有，即，亦即，解得，.4、试用条件极值的拉格朗日乘数法求平面上从点到抛物线的最短距离．解：设是抛物线上的任一点，则点到点的距离为，从而，其中满足.设，令，解方程组得，.显然，点到抛物线的距离存在最小值（而没有最大值），所以当时，距离最小，且最小距离为.5、设长方体的体积为定数，应如何选择长方体的尺寸，才能使它的棱长之和为最小.解：设长方体的三个棱长分别为、、，它们的和为.则有，且.由，得.代入，得.令，解得，从而.故当长方体的三个棱长均为时，棱长之和最小.6、设一矩形的周长为（），现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积的最大值.解：设矩形的边长分别为、，且绕长为的边旋转，设体积为，则有，且.由，得.代入，得.令，得，从而.由问题的性质知函数必存在最大值（而没有最小值），故当矩形的边长分别为、，且绕短边旋转时，圆柱体的体积为最大，且最大体积为.九、证明题：1、设，其中为可导函数，证明：.证明：因为，，所以.2、设函数由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，证明：.证明：设，则，，，所以，，故.3、设，其中具有一阶连续偏导数，证明：.证明：因为，，，所以.4、试证曲面上任一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为4.证明：设，则，，，所以曲面在其上任一点处的切平面的