第07讲 不等式的恒成立与有解（含解析）-【提高班精讲课】2021-2022学年高一数学重点专题18讲（沪教版2020必修第一册上海专用）

第7讲不等式的恒成立与有解第7讲不等式的恒成立与有解题型与方法梳理 在整个高中，有一类常考的综合题型，即为不等式的恒成立（或有解）问题，其常见形式为：（1）对任意的恒成立或有解，求其中参数的取值范围；（2）对任意的恒成立或有解，求其中参数的取值范围；恒成立的等价形式还有：对任意的不等式都成立、不等式解集为等；有解的等价形式还有：存在使得不等式成立、不等式能成立、不等式的解集不为空等.【示例】（2017·上海格致中学高一月考）★★★☆☆已知关于不等式.若存在，该不等式能成立，求实数的取值范围.方法一：分离参变量时，能成立，即有解； ，所以，所以有解，即；令，则且，则，又在时严格递减，所以，所以的最大值为，所以的取值范围是. 方法二：二次函数的图像当，该不等式能成立，即在有解，设，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线.①当时，则有，即，解得或，不合乎题意；②当时，二次函数在区间上单调递增，则，解得，此时，；③当时，二次函数在区间上单调递减，由于，此时，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围为.方法三：函数图像变换法时，能成立，即有解，令，，，则原题可转化为同一直角坐标系内，存在，的图像在的图像上方.的图像是一条过定点的线段（不含端点），斜率为，变化时，的斜率发生变化.根据图像的变化可知，应使得，即符合题意.上面用得到的三种办法，也是解决不等式恒成立与有解问题的常用办法，可以根据不同的题目灵活使用.方法1：分离参变量<分离转化求最值>使用场景：若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立（或有解）问题转化成函数（或表达式）的最值问题求解.转化为求最值问题后，当前常见的求最值方法，有二次函数的区间最值、应用基本不等式（平均值不等式、三角不等式）、应用函数的单调性求最值等.求解步骤：（1）分离：将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）转化：（或）恒成立转化为（或）； （或）恒成立转化为（或）；（3）求最值：根据第2步的转化，求在上的最大（或最小）值；（4）如需要，解不等式(或)，得的取值范围.【例1】（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）★★★★☆已知不等式，若对于任意，该不等式恒成立，则实数的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】B【详解】解：由题意可知：不等式对于恒成立，即：，对于恒成立，即：，对于恒成立，令，结合图形可知的取值范围是，则，在，上恒成立，，，当时，，.故选：B.【例2】（2018·上海市金山中学高一月考）★★★★☆已知不等式对一切正数恒成立,则实数的取值范围是_____.【答案】【详解】由且有,又,当且仅当时取“=”.故.故答案为：.【例3】（2017·上海市七宝中学高三开学考试）★★★☆☆对所有的，不等式恒成立，实数的取值范围是____________.【答案】【详解】，因为对所有的，不等式恒成立，所以，即，解得或.故答案为：【例4】（2020·上海市进才中学高三期中）★★★★☆已知，其中.若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】.【详解】根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．【练习】（2019·上海市进才中学高三期中）设正数，满足恒成立，则的最小值是______.【答案】【详解】由已知，，当且仅当时等号成立，，.，.

方法2：二次函数图像法<讨论图像看系数>使用场景：对形如（或）在其定义域上的不等式恒成立问题，若满足二次函数形式，那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与轴的高低比较. 一般来讲，（或）在上的恒成立（或有解）问题，可以利用二次项系数及判别式进行讨论；（或）在（）上的恒成立（或有解）问题，但无法分离参变量的，也转化为讨论二次函数的图像.【例5】（2020·上海市嘉定区第一中学高一月考）★★★☆☆已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是__________．【答案】【详解】由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，当k＝0时，1＞0恒成立，当k≠0时，，解可得，0＜k＜4，综上可得，k的范围.故答案为：.【例6】（2018·上海市市北中学高三月考）★★★☆☆若不等式对于一切恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】2【解析】，考虑二次函数图像或得.【练习】（2017·上海交大附中高一期中）★★★☆☆关于的不等式的解集不为空集，则的取值范围为________.【答案】或【详解】因为关于的不等式的解集不为空集,所以关于的不等式有解,当时,不等式化为无解;当时,二次函数的开口向下,关于的不等式恒有解;当时,二次函数的开口向上,由关于的不等式有解,可得判别式大于0,即,化简得,解得或,又,所以.故实数的取值范围是或.故答案为:或.

方法3：函数图像变换法<变形画图找临界>使用场景：（1）客观题；（2）可通过恒等变形将不等式两边转化为图像已知的函数形式：一边不含参数，函数图像固定，另一边含有参数，函数图像会根据参数发生平移或伸缩变换.则可将恒成立问题转化成函数的图像变化问题.解题步骤：（1）变形：恒等变形将不等式两边化为图像易画的函数，即化为（或）恒成立的形式；（与仅有其一含参）（2）画图：画出两个函数的图像，含有参数的函数根据参数进行变换；（3）找临界：变换图像，根据临界情况判断符合题设的情况，求对应参数的取值范围.恒成立转化为的图像恒在图像的上方（可接触）；恒成立转化为的图像恒在图像的上方（不可接触）；有解转化为存在使得的图像在图像的上方；小于的情况同理.【例7】（2019·上海市七宝中学高一期中）★★★★☆已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】在平面直角坐标系内,画出函数的图像,画出函数图像的示意图,如下图所示：向右平移函数图像的过程中可以发现：当从左到右平移到与横轴的交点为时，要想不等式对任意恒成立,即满足；再继续往右平移时，当函数图像的左侧经过点时,此时,显然当时,不等式对任意恒成立,综上所述：实数的取值范围是.故答案为：【练习】（编者精选）★★★★☆已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为_______.【答案】【详解】即.分类讨论,当时,分别作出和的图像,如图所示:由图可知,若使均满足,只需保证,解得:同理,当时,需保证,解得:.综上,的取值范围是.故答案为：

1、（2020·上海中学高一期中）★★★☆☆若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________.【答案】【详解】不等式有解等价于有解，所以，故或，填.【点睛】本题考查一元二次不等式有解问题，属于基础题.2、（2020·上海市南洋模范中学高一期中）★★★☆☆已知正数x，y满足且有解，则实数m的取值范围是_