第16讲 特殊的平行四边形（解析）初中数学

第十六讲一一特殊的平行四边形

考向一矩形的性质

典例引领

1.（2020•广东广州市•中考真题）如图，矩形ABC。的对角线AC,80交于点。，AB=6,BC=8,过

点。作OE_LAC,交AD于点、E，过点E作EF上BD，垂足为尸，则OE+防的值为（）

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10,由矩形的性质得出AO=5,证明&2E〜△"）（?得到OE的长,

再证明GEF〜ADBA可得到EF的长，从而可得到结论.

【详解】•.•四边形ABCD是矩形，.•.AC=3O，ZABC=/BCD=ZADC=NBAD=90°

•.•AB=6,BC=8.-.AD=BC=8,DC=AB=6

：.AC=y]AB2+BC2=10'3£>=10，.•.0A=gAC=5,

-OE1AC，:.ZAOE=90°:.ZAOE=ZADC，

.AOAEEO

又NC4O=ND4C，..△AOE〜AWC，.—,

~AD~~ACCD

5AEEO25“15v7

=—=—,AE=—,OE=——,DE=—,同理可证，ADEFfDBA，

8106444

7

DEEF”…21152124…

:,---=---，4FF,:.EF=—,：.OE+EF=1—=—，故选：C.

BDBA=—204205

1Uo

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键.

2.（2020•山东济南市•中考真题）如图，在矩形纸片A8C。中，AD=W,AB=8,将AB沿AE翻折，使点B

落在3'处,AE为折痕;再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段E9上的点C处，EF为折痕,连接AC'.若

CF—3,贝I]tanNB'AC—

1

【答案】7

【分析】连接A凡设CE=x,用x表示AE、EF,再证明/AEF=90。，由勾股定理得通过A尸进行等量代换

列出方程便可求得x,再进一步求出8'C,便可求得结果.

【详解】解：连接AE设CE=x,则C，E=CE=x,BE=B'E=10-x,

•四边形ABC。是矩形，，AB=C£>=8,A£>=BC=10,NB=NC=ND=90。,

：.AE^=AB2+BE2=S2+(10-X)2=164-20X+/,£产=(7£2+。产=/+32=/+9,

由折叠知，ZAEB=ZAEB',ZCEF=ZC'EF,

'：ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC'EF=\SO°,：.ZAEF=ZAEB'+ZC'EF=90°

：.AF2=AE2+EF2=164-20X+X2+X2+9=2X2-20x+173,

•.'A/=AD2+DF2=102+(8-3)2=[25,A2X2-20x+173=125,解得，x=4或6,

当x=6时，EC=EC'=6,BE=B'E=3-6=2,EOB'E,不合题意，应舍去，

：.CE=C'E=4,：.B'C'=B'E-C'E=(10-4)-4=2,

8'C'21i

♦；NB'=NB=90°,A9=A8=8,：.tanZB'AC=-----=一=一.故答案为：一.

A'B'844

【点睛】本题考查r矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键.

变式拓展

1.（2020•贵州毕节市•中考真题）如图，在矩形A8CD中，对角线AC，8□相交于点。，点E，F分别

2

是AO,AO的中点，连接砂，若AB=6cm,BC=8cm,则£尸的长是（）

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

【答案】D

【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线定理得出EF的

长即可.

【详解】：四边形ABCD是矩形，Z.ZABC=90a,AC=BD,OA=OC=OD=OB,

AB=6cm.BC=8cm..，.AC=J24g2+蹂2=«?+8?=10aw，BD=10cm,，OD=BD=5cm,

,:点、E，F分别是AO，AD的中点，EFuloOnlxSuZSa”.故选：D.

22

【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

2.（2020•内蒙古中考真题）如图，在R/AABC中，ZACB=90°,。是A3的中点，BELCD,交CD

的延长线于点E.若AC=2,3c=2正，则鹿的长为（）

A.巫B.逅C.V3D.V2

32

【答案】A

【分析】根据题意将BD,BC算出来，再利用勾股定理列出方程组解出即可.

【详解】♦••AC=2,BC=2^,，A8=j22+（20『=2瓜

BE2+DE2=3

•.•D是AB的中点,.•.AD=CD=BD=6.由题意可得:《,,广、2

BE2+（DE+y/3j=8

=8-3,解得DE=@.BE=2^做选A.

两式相减得：DE+

33

3

【点睛】本题考查直角三角形中点性质和勾股定理，关键在于找出等式列出方程组.

考向二矩形的判定

典例引领

1.（2020•湖北中考真题）已知口48CO中，下列条件：①AB=3C；②AC=BD；③ACL8D；④AC

平分NR4D，其中能说明口ABCD是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【分析】根据矩形的判定进行分析即可.

【详解】A.AB^BC,邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；

B.AC=BD,对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；

C.ACVBD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；

D.AC平分NR4D,对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误.故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键.

2.（2020•北京中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在

AB上，EF±AB,OG〃EF.（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.

【分析】（1）先证明E。是ADAB的中位线，再结合已知条件OG〃EF,得到四边形OEFG是平行四边形，再

由条件EFLAB,得到四边形OEFG是矩形；

⑵先求出AE=5,由勾股定理进而得到AF=3,再由中位线定理得到OE==AB==AD=5,得至FG=5,最

22

后BG=AB-AF-FG=2.

【详解】解：（1）证明:•.•四边形ABCD为菱形，，点O为BD的中点，

•点E为AD中点，，OE为4ABD的中位线，，OE〃FG,

4

♦；OG〃EF,...四边形OEFG为平行四边形...EFLAB,.♦.平行四边形OEFG为矩形.

(2):•点E为AD的中点，AD=10,.-^£=-4£)=5

2

2222

VZEFA=90°,EF=4,.•.在RsAEF中，AF=7AE-EF=75-4=3-

•四边形ABCD为菱形，/.AB=AD=10,.\OE=—AB=5,

2

•四边形OEFG为矩形，；.FG=OE=5,；.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.故答案为：OE=5,BG=2.

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，特殊四边形的性质和判定属于

中考常考题型，需要重点掌握.

变式拓展

1.(2020•山东聊城•中考真题)如图，在RtZXABC中，AB=2,ZC=30°,将RtzXABC绕点A旋转

得到RtAAB'C,使点3的对应点"落在AC上，在8C’上取点。，使B'O=2,那么点。到BC的距

离等于().

A.2E+lB.@+1C.73-1D.百+1

I3)3

【答案】D

【分析】根据旋转的性质和30°角的直角三角形的性质可得A8'的长，进而可得B'C的长，过点。作DM

_L8C于点M,过点3'作8'EJ.BC于点E，干点尸，如图，则四边形？石闻歹是矩形，解Rt

△EEC可得B'E的长，即为FM的长，根据三角形的内角和易得NB'DN=NC=30°,然后解RtZkB'D/

可求出。尸的长，进一步即可求出结果.

【解析】解：在中，：AB=2，ZC=30°,：.AC=2AB=4,

•.•将RtaABC绕点A旋转得到RtAAB'C',使点B的对应点B'落在AC上，

：.AB'=AB=2,

过点。作DMJ_8c丁点M,过点作于点E，B'FLDW于点F，交AC于点M如图，则四

5

边形彼是矩形，，短W=

在为△BEC中，=B/C-sin30°=2x—=1,.'.FM=l,

2

'；ZDB'N=NCMN=90°,NB'ND=NMNC,：.ZB'DN=ZC=30°,

,

在Rt46'r>/中，£>F=J8D-cos30°=2x—=V3,ADMFM+DF+

2

即点。到BC的距离等于6+1.故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形、矩形的判定和性质以及旋转的性质等知识，正确作出辅助线、熟练学

握解直角三角形的知识是解题的关键.

2.（2020•山东聊城•中考真题）如图，已知平行四边形4BC。中，E是BC的中点，连接AE并延长，交OC

的延长线于点尸，且AF=A£>,连接BF,求证：四边形4BFC是矩形.

【答案】见解析

【分析】先根据平行四边形的性质、平行线的性质得到两角一边对应相等，再根据三角形全等的判定定理

与性质可得AB=C产，然后根据平行四边形的判定可得四边形ABFC是平行四边形，又根据等量代换可得

BC=AF,最后根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）可得四边形ABFC是矩形.

【解析】•/四边形ABCD是平行四边形AB//CD,AB=CO,A£>=BC

：.NBAE=ZCFE,ZABE=ZFCE

：E为BC的中点,EB=EC：.7ABEsVFCE（A4S）,AB=CF

■：AB//CF四边形ABFC是平行四边形

6

-.AF=AD：.BC=AF二平行四边形ABFC是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、矩形的判定等知识点，熟

练运用各判定与性质是解题关键.

考向三菱形的性质

典例引领

1.（2020•江苏无锡市•中考真题）如图，在菱形ABC。中，々=50。，点E在C£＞上，若=则

ZBAE=.

【分析】先根据菱形性质求出NBCD,ZACE,再根据AE=AC求出NAEC,最后根据两直线平行，同旁

内角互补解题即可.

【详解】解：四边形ABCD是菱形，NB=50。，；.AB〃CD,

/.ZBCD=180o-ZB=130°,ZACE=—ZBCD=65°,

2

AE=AC，ZACE=ZAEC=65",.,.ZBAE=1800-ZAEC=115°.

【点睛】本题考查了菱形性质，等腰三角形性质，解题方法较多，根据菱形性质求解/ACE是解题关键.

2.（2020•广西中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E,尸分别是边AD,AB的中点.

（I）求证：AABE乌（2）若BE=6，NC=60°,求菱形A8CO的面积.

【分析】（1）利用菱形的性质，由S4S证明AABEaADF即可；

（2）证是等边三角形，得出求出AQ即可.

【详解】（1）证明：•.•四边形ABCD是菱形，.•.AB=AD,•.•点E,I分别是边4）,的中点，.M尸=AE,

7

AB=AD

在AABE和△ADE中，＜NA=NA,/.^ABE^ADF(SAS)；

AE=AF

(2)解：连接BQ,如图：

•.,四边形ABC。是菱形，/A=/C=60。，是等边三角形,

,点E是边AO的中点，：.BE1AD,：.ZABE=30°,

tanZABE=tan30°=——：.AE=^-BE=l,AB=2AE=2,：.AD=AB=2,

BE3

二菱形ABC。的面积=ADXBE=2XG=2y/3.

【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题

的关键.

变式拓展

1.（2020•辽宁葫芦岛市•中考真题）一张菱形纸片ABC。的边长为6cm,高AE等于边长的一半，将菱形

纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线C£＞于点F，则DF的长为cm.

【答案】36+3或3有-3

【分析】先根据题目中描述画出两种可能的图形，再结合勾股定理即可得解.

【详解】解：由题干描述可作出两种可能的图形.①MN交DC的延长线于点F,如下图所示

8

,高AE等于边长的一半AE=54O=3在RtZXADE中，DE=QAlf-=3上

又：沿MN折叠后，A与B重合EF=-AB^3：.DF=DE+EF=3也+3

2

②MN交DC的延长线于点F,如下图所示

同理可得AE=3，DE=36，EF=3此时，DF=DE-EF=3力-3

故答案为：3G+3或36-3.

【点睛】本题主要考查菱形的性质、折叠的性质、勾股定理等相关知识点，根据题意作出两种图形是解题

关键.

2.（2020•甘肃金昌市•中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以

调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60。加，菱形的边长AB=2（）5，则ND43的度数是（）

A.90°B.100°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据菱形的性质可得AB=5C,AD〃5C,再根据全等的性质可得

AC=^AE=20cm,然后根据等边三角形的判定与性质可得NB=60。，最后根据平行线的性质即可得.

【详解】如图，连接AC四边形ABCD是菱形AB=BC=20cm,AD//BC

•.•如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，A£=60cm

/.AC=-AE=20cmAB=BC=AC:.^ABC是等边三角形；.ZB=60°

3

•rAD//BCZDAB=180°-NB=180°—60°=120°故选：C.

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌

9

握菱形的性质是解题关键.

考向四菱形的判定

典例引领

1.（2020•江苏南通市•中考真题）下列条件中，能判定DABC。是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABLBCC.AD=BDD.AC±BD

【答案】D

【分析】根据菱形的判定条件即可得到结果；

【详解】解：•••四边形A8CO是平行四边形，，当时，四边形A8C。是菱形；故选：D.

【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确理解条件是解题的关键.

2.（2020•山东滨州市•中考真题）如图，过DABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别

交边AB、BC.CD、DA于点P、M、Q、N.（1）求证：APBEGAQDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N,

求证：四边形PMQN是菱形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）由ASA证aPBE丝ZkQDE即可；（2）由全等三角形的性质得出EP=EQ,同理aBME丝Z\DNE

（ASA）,得出EM=EN,证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ_LMN,即可得出结论.

【详解】（1）证明：:四边形ABCD是平行四边形,；.EB=ED,AB/7CD,/.ZEBP=ZEDQ,

NEBP=NEDQ

在4PBE和△QDE中，＜EB=ED,.♦.△PBE丝ZxQDE（ASA）；

ZBEP=ZDEQ

（2）证明：如图所示：

io

■D

E

VAPBE^AQDE,；.EP=EQ,同理：Z\BME丝ZkDNE（ASA）,；.EM=EN,

四边形PMQN是平行四边形，；PQ_LMN,.,.四边形PMQN是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的

判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

变式拓展

1.（2020•内蒙古通辽市•中考真题）如图，是AA5c的中线，四边形APCE是平行四边形，增加下列

条件，能判断cAOCE是菱形的是（）

AE

HI）C

A.ABAC=90°B.ZZME=90°C.AB=ACD.AB=AE

【答案】A

【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.

【详解］解：A、若NR4C=90°,则AD=BD=CD=AE,•.•四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE

为菱形，故选项正确；

B、若ND4E=90°,则四边形ADCE是矩形，故选项错误；

C、若A3=AC,则NADC=90。，则四边形ADCE是矩形，故选项错误：

D、若AB=AE,而AB>AD,则AEHAD,无法判断四边形ADCE为菱形，故选项错误.故选A.

【点睛】本题考查了菱形的判定，还涉及到平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的

关键是掌握判定定理.

2.（2020•湖南郴州市•中考真题）如图，在菱形ABCO中，将对角线AC分别向两端延长到点E和尸，使

得AE=CF.连接DE,DF,BE,BF.求证：四边形BEOE是菱形.

11

【答案】见解析

【分析】连接BD,由菱形ABCD的性质得出OA=OC,OB=OD,AC1BD,得出OE=OF,证出四边形BEDF

是平行四边形，再由EFLBD,即可证出四边形BEDF是菱形.

【详解】证明：连接BD,交AC于O,如图所示：

二•四边形ABCD是菱形，，。八，）。OB=OD,AC±BD,

VAE=CF,...OEnOF,.•.四边形BEDF是平行四边形，

VEF1BD,二四边形BEDF是菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与

性质.

考向五正方形的性质

典例引领

1.（2020•浙江金华市•中考真题）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方

形MG”.连结EG,BD相交于点O,BD与HC相交于点P.若GO=GP,则：正"""比"的值是（）

12

AD

展

B

A.1+V2B.2+V2C.5-V2D.缶

【答案】B

【分析】证明DBPG@DBCG（A&4）,得出PG=CG.设OG=PG=CG=X,则EG=2X,FG=&，由

勾股定理得出BC2=（4+2无）x?，则可得出答案.

【详解】解：.••四边形EFG”为正方形，\?EGH45?,ZFGH=90°,

QOG=GP,\?GOP?OPG67.5?,\?PBG22.5?,

又；NDBC=45°,\2GBC22.5?,\?PBG?GBC,

Q?BGP2BG90?,BG=BG，\DBPG@DBCG（ASA）,\PG=CG.

设OG=PG=CG=x,•;（）为EG,8。的交点，\£G=2x,FG=旧，

•••四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图"，\BF=CG=x,\BG=x+Cx,

22222

\BC=BG-+CG=x（V2+I）+x=（4+2亚贤,/.‘正方""=G+'严卜=2+".故选：B.

S正方彩EfGH2x

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟

练掌握勾股定理的应用是解题的关键.

2.（2020•内蒙古呼和浩特市•中考真题）如图，正方形ABCD,G是BC边上任意一点（不与B、C重合），

OEJ.AG于点E,B/〃。E,且交AG于点F.（1）求证：AF-BF=EF；（2）四边形BEDE是否可

能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）不可能，理由见解析

【分析】（1）证明4ABF丝ADAE,从而得到AF=DE,AE=BF,可得结果：

（2）若要四边形6EDE是平行四边形，则DE=BF,则/BAF=45°,再证明NBAF*5。即可.

13

【详解】解：（1）证明：•.•正方形ABC。，，AB=AD,ZBAF+ZDAE=90°,

VDEIAG,；.NDAE+NADE=90。，AZADE=ZBAF,

又,：BFIIDE,，/BFA=90°=/AED,.'.AABF^ADAE（AAS）,

/.AF=DE,AE=BF,/.AF-BFAF-AE^EF：

（2）不可能，理由是：如图，若要四边形BEDE是平行四边形，

已知DE〃BF,则当DE=BF时，四边形BFDE为平行四边形，

VDE=AF,；.BF=AF,即此时/BAF=45。，而点G不与B和C重合,

.♦./BAFW45。，矛盾，二四边形从DE不能是平行四边形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是找到三

角形全等的条件.

变式拓展

1.（2020•广西中考真题）如图，在AA6c中，BC=U0,高40=60,正方形EFG”一边在上,

点分别在A8,AC上，AO交班'于点N,则AN的长为（）

C.25D.30

【答案】B

【分析】证明△AEFsaABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得.

EFAN

【详解】解：：四边形EFGH是正方形，，EF〃BC,.♦.△AEFs^ABC,；.—=——.

BCAD

14

60_工x

设AN=x,则EF=FG=DN=60-x,；.---------=一解得：x=20所以，AN=20.故选：B.

12060

【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

2.（2020•山东滨州市•中考真题）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为

26,0,4则正方形ABCD的面积为

【答案】4^+14

【分析】如图，将4ABP绕点B顺时针旋转90°得到ACBM,连接PM,过点B作BHLPM于H.首先证

明NPMC=90°,推出NCMB=NAPB=I35°,推出A,P,M共线，利用勾股定理求出AB?即可.

【详解】解：如图，将4ABP绕点B顺时针旋转90。得到ACBM,连接PM,过点B作BHJ_PM于H.

VBP=BM=V2>ZPBM=90°,.,.PM=V2PB=2,

VPC=4,PA=CM=26,.\PC2=CM2+PM2,ZPMC-90°,

,.'ZBPM=ZBMP=45",/.ZCMB=ZAPB=135°,/.ZAPB+ZBPM=180°,AA,P,M共线，

VBH±PM,.\PH=HM,，BH=PH=HM=1,，AH=20+1,AAB2=AH2+BH2=(273+1)2+l2=14+473.

，正方形ABCD的面积为14+46.故答案为I4+46.

【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的

关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题.

考向六正方形的判定

15

典例引领

1.（2020•山东滨州市•中考真题）下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

【答案】D

【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可.

【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；对角线相等的菱形是正方形，正确；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；可知选项D是错误的.故选：D.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

2.（2020•广西玉林市•中考真题）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,且

OA=OB=OC=OD=匚AB.（1）求证：四边形ABCD是正方形；

2

（2）若H是AB上的一点（H与A,B不重合），连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90度，得到线

段HE,过点E分别作BC及AB的延长线的垂线，垂足分别是F,G,设四边形BGEF的面积为5,以HB,

BC为邻边的矩形面积为邑，且品=邑，当AB=2时，求AH的长；

【答案】（1）证明见解析；⑵=

【分析】（D由题根据。4=08=0。=O。可得对角线相等且互相平分，可得四边形ABCD是矩形，又

因为在A4OB中，利用勾股定理逆定理可得出AAOB为等腰直角三角形，可得

16

ZAOB=ZBOC=ZDOC=ZDOA=90°,所以ABOC也是等腰直角三角形，可得A8=3C,所以得

出四边形ABCD是正方形；

（2）根据题意，易证得ADAHMAEGH,可得A£）="G=/W=2,设AH=x,则

BH=AB—AH=2—x,BG=HG-BH=2-（2-x）=x,可得£=/,则

S2=BHBC=2（2-X）=4-2X,令S,=S>即：J=4-2x，解方程即可得出AH的长.

【详解】解：（1）依题意可得：•••3=03,0。=。。，.•.四边形ABCD为平行四边形；

又OA=OB=OC=OD,AC=%>.••四边形ABCD为矩形；

（万Y（万丫

又•.•在中，OA=OB，且三边满足。。—AB=AB2

AAOB42+1=IJ2ABJ+I2J

••.A4O8为等腰直角三角形；.1/03=45。，

•.•NCB4=90"・.N4CB=45o，；.AB=8C...•四边形ABCD为正方形；即：四边形ABC。为正方形.

（2）由题可得：DH=HE,ADHE=90°.­.•ZAHB=180°./.ZDHA+Z.EHG=90°

又•」ZAHD+ZADH=90。二ZADH=ZEHG，

ZDAH=NEGH=90°

在AZM//与=..AZM/7三AEG〃（AAS）

DH=HE

设A//=x,则5//=AB-AH=2—x,BG=HG-BH=2-（2-x）=x

22

可得:S,=X,S2=BH-BC=2（2-x）=4-2x,令耳=S?，可得x=4-2x，

解得：玉=石—1，4=-石-1（舍去）,BPAH=>/5-l.

【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩

形或者菱形，然后得出正方形；如果题中涉及到边之间的关系是变或0倍的关系，则利用勾股定理逆定

2

理验证是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比较多的地方，注意观察题中是否有一线三垂直，要积累和

熟练应用这个全等模型.

变式拓展

1.（2020•四川眉山市•中考真题）下列说法正确的是（）

A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

17

C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】B

【分析】利用平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理对各选项逐一判断后即可

确定正确的选项.

【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形错误，如等腰梯形；

B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；

C、对角线相等的四边形是矩形错误，如等腰梯形；

D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形错误，如一般四边形对角线也可以互相垂直且相等.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方

形的判定定理，难度一般.

2.（2020•山东威海市•中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AB=10,AD=6,

。为BO的中点，E为边A8上一点，直线E。交C£>于点F,连结£>E,8尸.下列结论不成立的是（）

A.四边形OE8F为平行四边形B.若AE=3.6,则四边形DEBE为矩形

C.若AE=5,则四边形。石5尸为菱形D.若AE=4.8,则四边形DEBE为正方形

【答案】D

【分析】根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解.

［详解］A.V四边形ABCD是平行四边形DC//AB：.ZFDO=ZEBO：。为8。的中点/.DO=BO

NFDO=ZEBO

在△F£>0与4EBO中,。。=8。：.AFDO=Z.DF=BE

4DOF=ZBOE

又：DC//AB：.四边形O仍/为平行四边形，故A选项正确；

B.假设DELAB：AB=10,4£>=6,BD=JAB'_AD?=8

1i2s__________

*e*SJBD=TADxBD=-x6x8=24DE-::"，=4.8,:DE-LABAE=AD2—DE2=3.6

Z2AD

则当AE=3.6时，DE工AB二•四边形。石8方为平行四边形，四边形OEBb为矩形，故B选项正确；

18

C.VAE=5,A3=1（），E是AB中点：BD±AD''.DE=AE=BE

：四边形DEBF为平行四边形...四边形DEBF为菱形,故C选项正确；

D.当AE=4.8时与AE=3.6时矛盾，则OE不垂直于A8,则四边形OE昉不为矩形，则也不可能为正方

形，故。选项错误，故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握相关

性质及定理的几何证明方法是解决本题的关键.

考向七中点四边形

典例引领

1.（2020•山东荷泽•中考真题）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对

角线一定满足的条件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

【答案】C

【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角

线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形.

根据题意画出图形如下：答：AC与BD的位置关系是互相垂直.

证明：•.,四边形EFGH是矩形，.,./FEHngO。，

又♦.•点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，...EF是三角形ABD的中位线，

，EF〃BD,.\ZFEH=ZOMH=90°,

又•.•点E、H分别是AD、CD各边的中点，；.EH是三角形ACD的中位线，

；.EH〃AC,AZOMH=ZCOB=90°,即AC_LBD.故选C.

【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题

的关键.

2.（2020•山东德州市•中考模拟）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中

19

点四边形.

（1）如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证：中点四边形

EFGH是平行四边形；

（2）如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,/APB=/CPD,点E,F,G,H分

别为边AB,BC,CD,DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；

（3）若改变（2）中的条件，使/APB=/CPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.（不

必证明）

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形.

【分析】（1）如图1中，连接BD,根据三角形中位线定理只要证明EH〃FG,EH=FG即可.（2）四边形

EFGH是菱形.先证明△APCg^BPD,得到AC=BD,再证明EF=FG即可.（3）四边形EFGH是正方形，

只要证明NEHG=90。，利用△APCgABPD,得NACP=/BDP,即可证明NCOD=NCPD=90。，再根据平行

线的性质即可证明.

【详解】（1）证明：如图1中，连接BD.

•点E,H分别为边AB,DA的中点，；.EH〃BD,EH=-BD,

2

•.•点F,G分别为边BC,CD的中点，，FG〃BD,FG=-BD,

2

，EH〃FG,EH=GF,...中点四边形EFGH是平行四边形.

（2）四边形EFGH是菱形.

证明：如图2中，连接AC,BD.VZAPB=ZCPD,

Z.ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即NAPC=NBPD,

在AAPC和ABPD中，VAP=PB,ZAPC=ZBPD,PC=PD,/.AAPC^ABPD,；.AC=BD.

•.•点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点，.-.EF=-AC,FG=-BD,

22

四边形EFGH是平行四边形，...四边形EFGH是菱形.

（3）四边形EFGH是正方形.

20

证明：如图2中，设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.

VAAPC^ABPD,...NACP=/BDP,VZDMO=ZCMP,，NCOD=/CPD=90°,

：EH〃BD,AC〃HG,AZEHG=ZENO=ZBOC=ZDOC=90°,

:四边形EFGH是菱形，.•.四边形EFGH是正方形.

考点：平行四边形的判定与性质;中点四边形.

变式拓展

1.（2020•全国九年级其他模拟）如图，四边形A8C。中，AC=m,BD=n,且AC_LBD,顺次连接四边形

ABCC各边中点，得到四边形ASGG,再顺次连接四边形4SGA各边中点，得到四边形2c2。2……，

如此进行下去，得到四边形485c5。5的周长是（）

mn

A.----D.——JD.——

4255T

【答案】A

【分析】根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形AIBIGDI是矩形，根据菱形的判定定理得到

四边形AzB2c2D?是平行四边形，得到四边形AsB5c5D5为矩形，计算即可.

【详解】解：点4,A分别是A8、4。的中点，.•.45〃8。，AQ尸!8。=!〃，

22

同理：B\C\//BD,B\C\=-BD=—n,：.A\D\//B\C\,AQI=8IG,

22

四边形A1B1CQ1是平行四边形,'：AC±BD,AC//A\B\,BD//A\D\,：.A\BxLA\D\,

...四边形是矩形，其周长为2X（—m--n）=m-\-n,

22

21

同理，四边形A282c2。2是平行四边形,

''MB2=—A\C\,82C2=774C1,.'.A282=B2C2,♦'♦四边形A2B2C2£>2是菱形，

22

tn+nm+n

同理，483c3。3为矩形，周长为-----，，矩形4850505的周长为------，故选：A.

24

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、菱形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，

并且等于第三边的一半是解题的关键.

2.（2020•广东珠海市•九年级二模）顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不对

【答案】C

【分析】作出图形，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半判定出四边形EFGH是平行

四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得EFLFG,然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断.

【详解】解：如图，•••四边形ABCD是菱形，；.ACJ_BD,

VE,F,G,H是中点，；.EF〃BD,FG〃AC,AEFIFG,

同理：FG1HG,GH±EH,HE1EF,...四边形EFGH是矩形.故选：C.

【点睛】本题考查菱形的性质与判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位线定理.

考向八特殊四边形的动态问题

典例引领

1.（2020•江苏南通市•中考真题）如图①，E