2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2020-2021学年黑龙江省齐齐哈尔铁锋区九年级第一学期期末数

学试卷

一.选择题(共10小题).

1.下列点位于反比例函数y=亘图象上的是()

x

A.(1,2)B.(-1,-3)C.(1,-2)D.(-1,3)

2.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是()

B0c0“合

3.一元二次方程f+2x-1=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

4.下列事件是确定事件的是()

A.阴天一定会下雨

B.黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播

D.在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3f先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得

到的抛物线的解析式是()

A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x-1)2+2D.y=3(x-1)2-2

6.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为()

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股

十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：”今有直角三角形，勾(短直角边)长为8

步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？

（）

8.如图，矩形48C。的边AB在x轴上，反比例函数y=K（k#O）的图象过。点和边BC

x

的中点E,连接若△口）£的面积是1,则上的值是（）

A.3B.4C.2炳D.6

9.如图，△ABC内接于。。，是。。的直径，ZB=30°,CE平分NACB交。。于E,

交AB于点D,连接AE,则&ADE：SAOB的值等于（）

A.1：弧B.1：73C.1：2D.2：3

10.如图，是二次函数>="2+加什。（a#0）的图象的一部分，对称轴为直线x=-l,下列

命题：@abc<0；@tr-4oc<0；③当y<0时，-3<x<l；@a-2b+c>0；（5）m（ma+b）

+b^a（机为实数）.其中正确的命题有（）

v

A.4个B.3个C.2个D.1个

二.填空题（共21分）

11.若关于x的方程（。-1）Xa?+1-7x+3=0是一元二次方程，则〃=.

12.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进

行连续两次降价后为256元.设平均每次降价的百分率为无，则可列方程为.

13.已知AABC外接圆半径为5,AB=AC,8c=8,求△ABC的高长.

14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是.

15.已知直线/经过点（0,1）且与x轴所夹锐角的正切值为弓，则直线/的解析式为_____.

4

16.已知反比例函数的解析式为则当y<2时，自变量x的取值范围是.

x

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，RtAOAiCi，RtAOA2C2,RtzXOA3c3,RtAOA4C4,-

O

的斜边都在坐标轴上，ZAiOCi=ZA2OC2=ZA3OC3=ZA4OC4=30,若点儿的坐标

为（3,0）,OAI^OC2,OA2^OC3,O4=OC4,…，则依此规律，点A202i的坐标为.

三.解答下列各题（共69分）

18.（1）计算：tan?45°-2cos60°+（2-it）0-（-春）-1；

（2）解方程：（龙+3）2=2（x+3）.

19.如图，△ABC在正方形格纸中，

（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使A（2,3）,C（6,2）,并写出点B

坐标；

（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2,在第一象限内将△A8C放大，画出放大后

的图形△A1B1G并写出点A的对应点4的坐标；

（3）若线段A8绕原点。旋转90°后点B的对应点为民,写出点外的坐标.

(1)若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率；

(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两

个球上的汉字能组成“齐心”的概率.

21.环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度

超过最高允许值1.0优时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内(含15天)

排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg//)与时间尤(天)的变化规律

如图所示，其中线段A8表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度

y与时间尤成反比例关系.

(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)该企业能否按期将排污整改达标？为什么？

22.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,平分/8AC交于点。，点E在AC上，以

AE为直径的经过点D.

(1)求证：是O。的切线；

(2)若NC=30°,且8=3代，试求阴影部分的面积.

B

D一

23.综合与实践

问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰RtaABC和等腰RtaAOE,

并连接CE,BD.

操作发现：（1）当等腰绕点A旋转，如图2,勤奋小组发现了：

①线段CE与线段BD之间的数量关系是.

②直线CE与直线BD之间的位置关系是.

类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3,若△ABC与△AOE都为

直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°，且AC=2AB,AE=2A。，请你写出CE与的数

量关系和位置关系，并加以证明.

拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线A2

上方时，若。E〃AB,且48=&，AD=1,其他条件不变，试求出线段CE的长.（直

接写出结论）

24.综合与探究:

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1,0）,B（3,0）,C

（0,-4）三点，点P（m,n）是直线BC下方抛物线上的一个动点.

（1）求这个二次函数的解析式;

（2）动点P运动到什么位置时，APBC的面积最大，求出此时P点坐标及APBC面积

的最大值；

(3)在y轴上是否存在点Q,使以O,B,。为顶点的三角形与△AOC相似？若存在,

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一.选择题(共10小题).

1.下列点位于反比例函数y=|■图象上的是()

A.(1,2)B.(-1,-3)C.(1,-2)D.(-1,3)

解：函数y=a,

x

3=盯，

只要把点的坐标代入，上式成立即可，

代入得：A、C、。的坐标都不成立，只有B的符合.

故选：B.

2.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是()

a®b0c(3©

解：4是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

夙既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意.

故选：B.

3.一元二次方程W+2元-1=0的根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

解：•.•在方程f+2x-1=0中，Z\=22-4X1X(-1)=8>0,

方程f+2x-1=0有两个不相等的实数根.

故选：A.

4.下列事件是确定事件的是()

A.阴天一定会下雨

B.黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门

C.打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播

D.在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落

解：4阴天一定会下雨，是随机事件；

8、黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门，是随机事件;

C、打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播，是随机事件;

。、在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落，是必然事件.

故选：D.

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3f先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得

到的抛物线的解析式是()

A.y—3(x+1)~+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x-1)2+2D.y=3(x-1)2-2

解：•••抛物线y=3f的对称轴为直线了=0,顶点坐标为(0,0),

抛物线y=3f向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线

x=l,顶点坐标为(1,2),

平移后抛物线的解析式为y=3(x-1)2+2.

故选：C.

6.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA的值为()

R3历1

D.------------------C.3D.

103

解：延长48到。，连接C。，如右图所示,

由题意可得,

AC=VI2+32=V10'CD=I,

..〜CD-iv^To

..sinZA=-^-=—7==-----,

ACV1010

故选：A.

7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股

十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：”今有直角三角形，勾（短直角边）长为8

步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”

（）

B.5步C.6步D.8步

解：根据勾股定理得：斜边为西可松=17,

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=*+l：［l7=3（步）,即直径为6步,

故选：C.

k

8.如图，矩形A8CD的边48在无轴上，反比例函数y±（k#O）的图象过。点和边8c

x

的中点E,连接。E,若的面积是1,则上的值是（）

C.2代D.6

解：设E的坐标是（m,n）,k—mn,

则。的坐标是（m,2n）,

在丁=咽•中，令y=2〃，解得：

x2

,**S&CDE=1，

:.mn—4.

・•・左=4.

故选：B.

9.如图，/XABC内接于。0,A3是。0的直径，N3=30°,CE平分NAC3交OO于区

交A3于点O,连接AE,则S^ADE：的值等于（）

A.1：我B.1：73C.1：2D.2：3

解：是。。的直径，

ZACB=90°,

VZB=30°,

.ACV3

••,

BC3

,：CE平分NACB交O。于E,

.ACAD=-73

"Be"BD一"F'

A/O3

：.AD=/-AB,BD=l-A-

V3+3V3+3

过C作CF_LAB于F,连接OE,

,：CE平分NAC8交G)O于E,

-'-AE=BE>

：.OE±AB,

1A/Q

AOE=—AB,CF==AB,

24

••.SAADE：SDB=(^AD•OE)：(-^-BZ)«CF)（XAB，AB）：

&C1^31

2'看福咚触=2：3-

故选D.

方法二：连接BE,易知BC=®AB,

22

由△AOEs/XcOB,

S/^ADE'S/\BDC=(AE：BC)2=2：3,

故选：D.

10.如图，是二次函数y=。¥+灰+。（aWO）的图象的一部分，对称轴为直线x=-l,下列

命题：①abc<。；@Z?2-4ac<0；③当><。时，-3<x<l；（4）a-2b+c>0；（5）m（ma+b）

+b^a（机为实数）.其中正确的命题有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

解：①：抛物线开口向上，

.,.a>0,

:对称轴为直线％=-1,

：.b>0,

抛物线与y轴交于负半轴，

.\c<0,

：.abc<Q,本小题说法正确；

②•••抛物线与x轴有两个交点，

.'.b2-4ac>0,本小题说法错误；

③：抛物线与x轴的交点为（1,0）,对称轴为直线x=-l,

...抛物线与x轴的另一个交点为（-3,0）,

...当y<0时，-3<x<l,本小题说法正确；

④：对称轴为直线x=-1,

:・b=2a,

•・•抛物线与工轴的交点为（1,0）,

a+b+c=0,

・・c^~-3a,

.'.a-2b+c=a-4a-3a=-6“V0,本小题说法错误；

⑤：对称轴为直线尤=-1,

...当x=-1时，y有最小值，

an-T+bm+c^a-b+c,

'.m（jna+b）+b^a（机为实数），本小题说法正确；

故选：B.

二.填空题（每题3分，共21分）

11.若关于x的方程（aT）Xa?+1-7x+3=0是一元二次方程，则a=-1.

解：：关于x的方程（«-1）xa?+l-7x+3=0是一元二次方程，

a2+1—2且a-1W0,

解得：a=-1.

故答案为：-L

12.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进

行连续两次降价后为256元.设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为289（1-尤）

2=256.

解：设平均每次降价的百分率为尤，则第一降价售价为289（1-x）,则第二次降价为289

（1-X）2,由题意得：

289（1-x）2=256.

故答案为：289（1-x）2=256.

13.已知△ABC外接圆半径为5,AB=AC,BC=8,求ZXABC的高C£）长1或9.

解：当△ABC是锐角三角形时，如图1,

作AO_LBC于点。，则一定经过点圆心O,连接。B,

在直角△08。中，BD=^BC=^-X6=3,

'-OD=-\/OB2-BD2=V25-9=4，

则AD=OA+OD=5+4=9；

当△ABC是钝角三角形时，如图2,

图2

同理，。。=4,则AO=OA-。。=5-4=1,

故A。的长为1或9,

故答案为1或9.

14.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°

解：设母线长为R,底面半径为厂，

，底面周长=2nr,底面面积=豆/，侧面面积=寺/厂=b水，

:侧面积是底面积的2倍，

2irr2=irr7?,

:・R=2r,

设圆心角为小有1:心=2nr,

loU

・"=180.

故答案为:180°.

3

15.已知直线I经过点（0,1）且与x轴所夹锐角的正切值为会，则直线I的解析式为」

3、3

-=~4x-+-l--gj-（,-y-=---4-x-+-1-.

解：设直线/的解析式为y=fcc+6,

:直线/经过点（0,1）,

直线/的解析式为了=丘+1,

令y=0,则x=-—,

k

・,・直线与x轴的交点为（-告，0）,

k

V直线/与无轴所夹锐角的正切值为

4

..1.4

••~~\=,

k3

,,.3

..k—±—,

4

,33

...直线/的解析式为〉=笳+1或>=-7+1，

33

故答案为y=­x+l或y=--x+1.

2

16.已知反比例函数的解析式为尸一，则当y<2时，自变量x的取值范围是x>l或x

x

<0

解：当0<y<2时，%>1；

当y<0时，x<0,

故当y<2时，自变量x的取值范围是：x>l或尤<0.

故答案为：x>l或尤<0.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，RtAOAiG,RtZXOA2c2,RtAOA3C3,RtZXCM4c4,…

O

的斜边都在坐标轴上，ZAiOCi=ZA2OC2=ZA3OC3=ZA4OC4=30,若点4的坐标

为（3,0），。41=。。2,。42=。。3,…，则依此规律，点42021的坐标为（3

解：：NA20c2=30°,OAI=OC2=3,

OA2=-7-OC2=3X—0A3=-^OQ=3义(—OA4=kOC4=3X

V33V33V33

3

.'.OA2021=3X(§1)2021,

;点A202i与Al位置相同，在无轴的正半轴上，

，点人2021(3X(^^)2021-0),

故答案为：(3X(2乌)2021.0).

三.解答下列各题(共69分)

18.(1)计算：tan?45°-2cos60°+(2-it)0-(-[)1

(2)解方程：(尤+3)2=2(尤+3).

解：(1)原式=1-2X-^-+l-(-2)

=1-1+1+2

=3；

(2)方程整理得：(x+3)2-2(x+3)=0,

分解因式得：(尤+3)(x+3-2)=0,

可得尤+3=0或x+l=0,

解得：尤1=-3,必=-1.

19.如图，△ABC在正方形格纸中，

(1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2),并写出点B

坐标；

(2)以坐标原点。为位似中心，相似比为2,在第一象限内将△ABC放大，画出放大后

的图形△AiBiG并写出点A的对应点Ai的坐标；

(3)若线段绕原点。旋转90°后点B的对应点为反,写出点星的坐标.

B

解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示,

由图形可得：B（2,1）；

由图形可得：A（4,6）；

（3）若线段AB绕原点。顺时针（或逆时针）旋转90°后点8的对应点为&'（或&）,

则点&的坐标为（1,-2）或（-1,2）.

20.一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“齐”“心”“抗”“疫”的四个小球，除汉字

不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

（1）若从中任取一个球，写出球上的汉字刚好是“齐”的概率；

（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两

个球上的汉字能组成“齐心”的概率.

解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“齐”的概率为《；

（2）画树状图如图:

心抗疫弁抗疫齐心疫弁心抗

共有12种等可能的结果，其中取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的结果数为2,

・••取出的两个球上的汉字能组成“齐心”的概率为497=:1.

12b

21.环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度

超过最高允许值LOmg〃时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内（含15天）

排污达标.整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/D与时间x（天）的变化规律

如图所示，其中线段A8表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度

y与时间x成反比例关系.

（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间无的函数表达式；

（2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？

解：（1）由图象知，点A、8的坐标分别为（0,14）、（4,5）,

当0WxW5时，设AB的表达式为y=kx+b,

fb=14k=-2

将点A、8的坐标代入上式得,解得•

15k+b=4b=14

故、=-2x+14；

当尤>5时，设函数的表达式为>=上，

X

把点B的坐标（4,5）代入上式并解得：上=20,

故加、=——20

x

-2x+14（0<x^5）

故函数的表达式为y=,

学x>5）

（2）不能，理由：

*2020.

当x=15时，y==­；r>l1,

x15

故不能按期完成排污整改达标.

22.如图，在Rt^ABC中，/B=90：AD平分/8AC交8C于点。，点E在AC上，以

AE为直径的。。经过点D.

（1）求证：8C是O。的切线;

(2)若NC=30°,且。。=3日，试求阴影部分的面积.

TA。是N8AC的平分线，

：.ZDAB=ZDAOf

•・•OD=OAf

：.ZDAO=ZODAf

则ND4B=NOD4,

J.DO//AB,而N3=90°,

：.ZODB=90°,

・・・5C是。。的切线；

(2)连接OE、OD、DF、OF,设圆的半径为几

VZC=30°,。。=3日，

OD=C£>>tan30°=3«X返=3,

3

u：ZDAB=ZDAE=30°,

-'-DE=DF，

'：ZDOE=60°,

：.ZDOF=60°,

：.ZFOA=60°,

:AOFD、△0E4是等边三角形，

：.DF//ACf

60Xnx323K

•*•5阴影=S扇形。尸o

23.综合与实践

问题情境：如图1,在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt^ABC和等腰Rt^AOE,

并连接CE,BD.

操作发现：（1）当等腰Rt^AOE绕点A旋转，如图2,勤奋小组发现了：

①线段CE与线段BD之间的数量关系是EC=BD.

②直线CE与直线BD之间的位置关系是BDLEC.

类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3,若△ABC与△AOE都为

直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,且AC=2AB,AE=2AD,请你写出CE与8。的数

量关系和位置关系，并加以证明.

拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线A8

上方时，若DE〃AB,且42=遍，AD=1,其他条件不变，试求出线段CE的长.（直

接写出结论）

/R4X/\

解：（1）如图2中，延长5。交AC于点0,交EC于H.

：AE=AD,AC=AB,ZEAD=ZCAB=90

：.ZEAC=ZDABf

：./\EAC^ADAB(SAS),

：.EC=BD,ZECA=ZABDf

VZABD+ZAOB^90°,/AOB=/COH,

：.ZECA+ZCOH=90°,

：.ZCHO=90°,

:.BDJLEC,

故答案为EC=BD,BDLEC.

(2)结论：CE=2BD,CELBD.

理由：如图3中，延长友)交AC于点O,交EC于点H.

ZBAD=ZCAEf

AC=2ABfAE=2ADf

AB=AD=1

AC-AE-7,

△ABD^AACE,

BDAD2

EC-=AE=-7,

CE=2BD,/ABD=NACE,

NABQ+NAO8=90°,/AOB=/COH,

ZECA+ZCOH=90°,

NCHO=90°,

BD±EC.

(3)如图4中，当时，设。石交AC于H,易证AC_LZ)E.

：.AE=2,DE=^,AH=^^,EH=^^-,

55

•：AC^2AB,AB=心

：.CH=AC-AH=^^-

5_________________

在RtAECH中，EC=而蒜/J¥)2+(手)2=4

24.综合与探究:

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),8(3,0),C

(0,-4)三点，点P(加，n)是直线8C下方抛物线上的一个动点.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)动点P运动到什么位置时，MBC的面积最大，求出此时尸点坐标及APBC面积

的最大值；

(3)在y轴上是否存在点Q,使以O,B,。为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，

请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)