新课程高考数学试题特点分析

新课程高考数学试题特点分析北京常毓喜一、新课程高考综述二、试题特点分析及教学建议一、新课程高考综述2013年是数学试题，无论是新课标卷还是四川卷，均强调基础、考查能力、注重思维，是符合实际、稳中有新、富有特色的试题，体现了课程改革的发展方向.二、试题特点分析及教学建议1.强调基础2.考查能力3.注重思维1.强调基础

新课标1卷新课标2卷四川卷容易题1,2,3,4,5,6,7,13,14,17,18,221,2,3,4,5,6,7,8,13,14,17,181,2,3,4,5,6,11,12,13,16,17分值35+10+34=7940+10+24=7430+15+24=69

新课标1卷新课标2卷四川卷中等题8,9,10,15,199,10,15,16,19,227,8,9,14,18,19分值15+5+12=3210+10+22=4215+5+24=44

新课标1卷新课标2卷四川卷难题11,12,16,20,2111,12,20,2110,15,20,21分值10+5+24=3910+24=345+5+27=37教学建议：在复习（特别是第一轮复习）中，要把握方向，注重落实.重点是概念理解与技能掌握.对概念理解的目标是准确且深刻；技能的目标是会、对、满.例1（2013年四川卷4）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题则（）

命题p

：“若(x-1)(x+2)=0，则x=1”的否定是

．若(x-1)(x+2)=0，则x≠1；例2

命题p

：“若(x-1)(x+2)=0，则x=1”的否定是

．例2命题p

：“

x∈R，若(x-1)(x+2)=0，则x=1”．命题q

：“

x∈N，若(x-1)(x+2)=0，则x=1”．

命题p

：“若(x-1)(x+2)=0，则x=1”的否定是

．错解：若(x-1)(x+2)=0，则x≠1；正解：存在实数x，使(x-1)(x+2)=0，且x≠1；例2

甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有Ａ．s3>s1>s2 B．s2>s1>s3

Ｃ．s1>s2>s3 D．s2>s3>s1甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664例3例4为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为

.例5近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0，a+b+c=600,当数据a,b,c,的方差s2最大时，写出a,b,c,的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值.例6（2013年北京卷第17题）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）例7(2013年四川卷理科第15题)设P1,P2,…,Pn为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点P到P1,P2,…,Pn点的距离之和最小，则称点P为P1,P2,…,Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：①若A,B,C三个点共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)例8（2013年新课标2卷文科3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是例9（2013年新课标2卷理科第6题）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=开始结束是否输出S输入N例10（2013年新课标2卷理科第7题）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为ABCD例11（2013年新课标2卷理科第8题）设a=log36,b=log510,c=log714,则（A）c＞b＞a

（B）b＞c＞a

（C）a＞c＞b

（D）a＞b＞c例12（2013年新课标2卷理科第15题）设为第二象限角，若则_____.例13（2013年四川卷理科第9题）节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是2.考查能力例14(2013年新课标1卷第6题)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为OACMB例15(2013年新课标1卷第8题)某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为侧视图俯视图44422242主视图3.注重思维例16(2013年新课标1卷第12题)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…,若b1＞c1,b1＋c1＝2a1,an＋1＝an,A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列例17(2013年四川卷第7题)函数的图象大致是ABCD例18(2013年四川卷10题)设函数e为自然对数的底数)．若曲线y=sinx上存在(x0,y0)使得f((y0))=y0，则a的取值范围是（A）[1,e]（B）[e-1,1]（C）[1,1+e]（D）[e-1,e+1]分析：若曲线y=sinx上存在(x0,y0)使得f((y0))=y0，就是y0∈[0,1]，且点(f(y0),y0)在曲线上.也就是直线y=x与曲线f(x)在[0,1]上有交点.所以在[0,1]上有解.所以a=ex+x-x2,x∈[0,1].例19在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解（1）显然点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y)，根据题意得：化简得：x2+3y2=4(x≠±1).所以动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).（Ⅱ）设点P的坐标为(x0,y0)，则直线AP的方程式为直线BP的方程式为OxyABPMN于是△PMN的面积为又直线AB的方程为x+y=0，|AB|=点P到直线AB的距离为OxyABPMN于是△PAB的面积为解得：代入椭圆方程解得：故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为例20已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l：分别交于M,N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值.OxyABDSMN解：（1）由已知可知椭圆C左顶点为A(-2,0)，上顶点为D(0,1)，所以a=2，b=1.所以椭圆C的方程为（2）依题意，直线AS的斜率一定存在，设为k(k>0).直线AS的方程为y=k(x+2)，点OxyABDSMN把直线AS的方程代入椭圆C的方程并整理得： (1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.可得点N的坐标为又B(2,0)，所以直线BS的方程为OxyABDSMN当且仅当即时等号成立.所以当时MN的长度的最小值为例21已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；（Ⅱ）设m=4，曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方)，直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A,G,N三点共线.（Ⅰ）所以m的取值范围是（Ⅱ）当m=4时，曲线C的方程为x2+2y2=8，点A,B的坐标分别为(0,2),(0,-2).因为直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则条件结论几何关系代数关系几何关系代数关系曲线C与y轴的交点为A,BA,G,N三点共线直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N直线y=1与直线BM交于点G可以求出A,B的坐标代入、韦达定理、判别式用M的坐标表示G的坐标kAG=kANA,N,G的坐标直线BM的方程为：可求得点G的坐标为：从而A,G,N三点共线.例22(2013年四川卷第20题)已知椭圆C：

(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0)，且椭圆经过点（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段上MN的点，且求点Q的轨迹方程．解：（1）利用椭圆定义知而c=1，所以椭圆的离心率（2）椭圆方程为设Q点的坐标为(x,y)．①当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆交于(0,1),(0,-1)两点，此时点Q的坐标为②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2，点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2).所以△=64k2-24(2k2+1)>0，解得：把y=kx+2代入椭圆方程得：(2k2+1)x2+8kx+6=0.则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22，而|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2．因为Q点在直线l上，所以y=kx+2，代入上式并消去k得：得10(y-2)2-3x2=18．由再加上Q点在椭圆C内，可得所以点的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18，其中例23(2013年新课标1卷第20题)已知圆M：(x+1)2＋y2=1，圆N：(x-1)2＋y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：（Ⅰ）利用平面几何性质可知|PM|+|PN|=4，所以曲线C的方程为(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y)，由于|PM|-|PN|=2R-2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R=2，所以的半径最长时其方程为(x-2)2＋y2=4.若直线l的倾斜角为90°时,l与y轴重合,这时若直线l的倾斜角不是90°时,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则可求得Q点坐标为(-4,0)，所以可设直线l的方程为y=k(x+4)，由l与圆M相切得：当时，这时直线l的方程为将其代入椭圆方程并整理得：7x2+8x-8=0，这时当时，由对称可知综上，或例24(2013年北京卷文科第18题)已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围．解：由f(x)=x2+xsinx+cosx得：f/(x)=x(2+cosx)．（Ⅰ）由已知可知f/(a)=a(2+cosa)=0，且f(a)=b．解得：a=0，b=1．（Ⅱ）令f/(x)=0得：x=0．

f(x)与f/(x)的变化情况如下：x(-∞,0)0(0,+∞)f/(x)0f(x)↘1↗所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减，f(0)=1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y=f(x)与直线y=b最多有一个交点；当b>1时，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1<b， 所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b)，使得f(x1)=f(x2)=b．由于函数在(0,+∞)与(-∞,0)上均单调，所以当b>1时，曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点；综上，曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围是(1,+∞)．例25(2013年北京卷理科第18题)设l为曲线在点(1,0)处的切线.（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方.解：（Ⅰ）l的方程为y=x-1；（Ⅱ）解法一：令f(x)=

x-1-则当0<x<1时，x2-1<0,lnx<0，所以f/(x)<0，故函数f(x)单调递减；当x>1时，x2-1>0,lnx>0，所以f/(x)>0，故函数f(x)单调递增；所以当x>0且x≠1时，f(x)>f(1)=0，即除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方.分析：证明除切点(1,0)之外曲线C在直线l的下方,就是证明在x>0且x≠1时恒成立,也就是x2-x-xlnx>0恒成立.解法二：设f(x)=x2-x-xlnx，则易证函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，从而f(x)>f(1)=0.所以除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方.例26已知函数f(x)=ex(x2+ax-a)，其中a是常数.(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程f(x)=k在[0,+∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.解：(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax-a)可得：f/(x)=ex[x2+(a+2)x].当a=1时,f(1)=e,f/(1)=4e.所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y=4ex-3e.（Ⅱ）令f/(x)=0，解得x=0或x=-(a+2).当a≥-2时，在区间[0,+∞)上恒有f/(x)≥0，当且仅当a=-2，x=0时f/(x)=0.所以函数f(x)在区间[0,+∞)上是增函数，这时方程f(x)=k在[0,+∞)上不可能有两个不相等的实数根.x0(0,-(a+2))-(a+2)(-(a+2),+∞)f/