第01讲 一元二次方程（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年九年级数学上册（苏科版）

第第页第1讲一元二次方程掌握一元二次方程有关概念；会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；会用整体思想求解知识点1一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等号两边都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。知识点3：一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.知识点4：一元二次方程的重要结论：（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【题型1一元二次方程的概念】【典例1】（2023春•包河区校级期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A． B．x2﹣4＝2y C．﹣2x2+3＝0 D．（a﹣1）x2﹣2x＝0【答案】C【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合题意；C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合题意；D．当a＝1时，（a﹣1）x2﹣2x＝0化为一元一次方程﹣2x＝0，不符合题意．故选：C．【变式1-1】（2023春•温州期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（）A． B．2（x﹣1）+x＝2 C．x2＝2+3x D．x2﹣xy+4＝0【答案】C【解答】解：A．方程x2+3x＝为分式方程，所以A选项不符合题意；B．方程2（x﹣1）+x＝2为一元一次方程，所以B选项不符合题意；C．方程x2＝2+3x为一元二次方程，所以C选项符合题意；D．方程x2﹣xy+4＝0为二元二次方程，所以D选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（2023春•西湖区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x＝0 B． C．x3+x2＝1 D．x2+2x＝2x2﹣1【答案】D【解答】解：A．方程﹣3x＝0是一元一次方程，选项A不符合题意；B．方程是分式方程，选项B不符合题意；C．方程x3+x2＝1是一元三次方程，选项C不符合题意；D．方程x2+2x＝2x2﹣1是一元二次方程，选项D符合题意．故选：D．【变式1-3】（2023春•涡阳县期中）下列是一元二次方程的是（）A．2x2﹣3x﹣1 B．x（x﹣3）＝2（3﹣x） C． D．（x+1）（x﹣2）﹣x2＝0【答案】B【解答】解：A．根据一元二次方程的定义，2x2﹣3x﹣1不是等式，那么2x2﹣3x﹣1不是一元二次方程，故A不符合题意．B．根据一元二次方程的定义，由x（x﹣3）＝2（3﹣x），得x2﹣x﹣6＝0，那么x（x﹣3）＝2（3﹣x）是一元二次方程，故B符合题意．C．根据一元二次方程的定义，中等式的左边不是整式，那么不是一元二次方程，故C不符合题意．D．根据一元二次方程的定义，由（x+1）（x﹣2）﹣x2＝0，得﹣x﹣2＝0，那么（x+1）（x﹣2）﹣x2＝0不是一元二次方程，故D不符合题意．故选：B．【典例2】（2023春•青田县月考）若方程xm+1﹣（m+1）x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【答案】C【解答】解：根据题意得m+1＝2，∴m＝1，故选：C．【变式2-1】（2023•河东区校级模拟）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＝1 C．a≥1 D．a≠0【答案】A【解答】解：由题意，得a﹣1≠0，解得a≠1．故选：A．【变式2-2】（2022秋•邻水县校级月考）方程（m﹣3）﹣5x﹣12＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．以上答案都不对【答案】B【解答】解：根据题意，得m2﹣7＝2，m﹣3≠0，解得m＝﹣3．故选：B．【变式2-3】（2022春•定远县校级期中）若方程（a﹣3）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝3 B．a≤﹣3 C．a≠3 D．a≥3【答案】C【解答】解：∵（a﹣3）x2+x+＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，∴a≠3，故选：C．【题型2一元二次方程的一般形式】【典例3】（2023•鱼峰区模拟）将方程3x2＝5x﹣1化为一元二次方程一般式后得（）A．3x2﹣5x﹣1＝0 B．3x2+5x﹣1＝0 C．3x2﹣5x+1＝0 D．3x2+5x+1＝0【答案】C【解答】解：将方程3x2＝5x﹣1化成一元二次方程的一般形式得3x2﹣5x+1＝0．故选：C．【变式3-1】（2022秋•天元区校级期末）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0【答案】B【解答】解：（x﹣1）2＝6，x2﹣2x+1﹣6＝0，x2﹣2x﹣5＝0，即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，故选：B．【变式3-2】（2022秋•永定区期末）方程x（2x﹣3）＝2x+10化为一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣5x＝10 B．2x2﹣5x﹣10＝0 C．2x2﹣x﹣10＝0 D．【答案】B【解答】解：x（2x﹣3）＝2x+10，2x2﹣3x﹣2x﹣10＝0，2x2﹣5x﹣10＝0．故选：B．【变式3-3】（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6【答案】D【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，移项得，x2﹣2x+6＝0，所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．故选：D．【典例4】（2022秋•江汉区校级期末）一元二次方程x2＝﹣6x+1的二次项系数为1，则一次项系数和常数项分别是（）A．﹣6，1 B．6，﹣1 C．﹣6x，1 D．6x，﹣1【答案】B【解答】解：方程x2＝﹣6x+1化为一般式为：x2+6x﹣1＝0，则一次项系数为6，常数项为﹣1，故选：B．【变式4-1】（2022秋•泸溪县期末）一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次项系数是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【答案】A【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣x+1＝0中的二次项为2x2，∴一元二次方程2x2﹣x+1＝0的二次项系数是2．故选：A．【变式4-2】（2023春•蔡甸区月考）将一元二次方程2x2+x＝3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（）A．﹣1，3 B．1，1 C．1，﹣3 D．1，3【答案】C【解答】解：∵一元二次方程2x2+x＝3可得2x2+x﹣3＝0，∴一次项系数和常数项分别为1，﹣3；故选：C．【变式4-3】（2022秋•定海区校级月考）将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．3，5，﹣1 B．﹣3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣6，0【答案】D【解答】解：将一元二次方程3x2﹣x＝5x化为一般形式为3x2﹣6x＝0，故二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣6，0．故选：D．【题型3一元二次方程的解】【典例5】（2022秋•莲池区校级期末）若关于x的方程x2+2x+a＝0有一个根是1，则a等于（）A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．1【答案】B【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x+a＝0得1+2+a＝0，解得a＝﹣3．故选：B．【变式5-1】（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，解得：a＝﹣3，故选：D．【变式5-2】（2023春•富阳区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（）A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣3或3【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3．故选：C．【变式5-3】（2023春•崇左月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值是（）A．4 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3【答案】D【解答】解：把x＝0代入方程x2﹣2x+a2﹣9＝0得：a2﹣9＝0，∴a＝±3．故选：D．【典例6】（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】C【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2023﹣m2+m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021，故选：C．【变式6-1】（2023•南海区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为（）A．4044 B．﹣4044 C．2024 D．﹣2024【答案】A【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，∴a2﹣2a﹣2023＝0，即a2﹣2a＝2023，∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2023﹣2＝4046﹣2＝4044．故选：A．【变式6-2】（2023•宿迁一模）若m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣2m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4【答案】D【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中得：m2﹣m﹣2＝0，∴m2﹣m＝2，∴2m2﹣2m＝4，故选：D．【变式6-3】（2023•襄州区开学）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2018﹣a+b的值是（）A．2013 B．2016 C．2023 D．2021【答案】C【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，所以a﹣b＝﹣5，所以2018﹣a+b＝2018﹣（a﹣b）＝2018﹣（﹣5）＝2023．故选：C．1．（2021•聊城）关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（）A．2或4 B．0或4 C．﹣2或0 D．﹣2或2【答案】B【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，即k的值为0或4．故选：B．2．（2021•黔东南州）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，∴22﹣2a+6＝0，解得a＝5．故选：D．3．（2021•黑龙江）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3【答案】D【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．4．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（）A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044【答案】B【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，∴m2+3m﹣2022＝0，∴m2+3m＝2022，∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022＝2022m﹣2022﹣2022m+2022＝0．故选：B．5．（2021•深圳）已知方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为2．【答案】2．【解答】解：把x＝1代入x2+mx﹣3＝0得12+m﹣3＝0，解得m＝2．故答案是：2．6．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是1．【答案】1．【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案为：1．7．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝1．【答案】1．【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，得1﹣2+a＝0，解得a＝1．故答案为：1．8．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：15x（10﹣x）＝360（不必化简）．【答案】15x（10﹣x）＝360．【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．故答案为：15x（10﹣x）＝360．9．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是6．【答案】6．【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，∴a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，故答案为：6．10．（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为x2﹣2＝0（答案不唯一）．【答案】x2﹣2＝0（答案不唯一）．【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，∴满足条件的方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．1．（2023春•庐阳区校级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．ax2+bx+c＝0 C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4 D．x2﹣3x+2＝0【答案】D【解答】解：A．，是分式方程，不符合题意；B．ax2+bx+c＝0，若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意；C．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣4，整理可得x+2＝0，为一元一次方程，故不符合题意；D．x2﹣3x+2＝0，是一元二次方程，符合题意．故选：D．2．（2023春•定远县校级月考）已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．以上选项都不对【答案】C【解答】解：∵是关于x的一元二次方程，∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，解得a＝﹣2，故选：C．3．（2023春•攸县月考）若关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则m应满足的条件是（）A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＝2【答案】A【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+4＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故选：A．4．（2022秋•双峰县期末）方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．﹣3x2，1，6 B．3x2，1，6 C．3，1，6 D．3，﹣1，﹣6【答案】D【解答】解：方程3x（1﹣x）+10＝2（x+2）化成一般形式后，为3x2﹣x﹣6＝0，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、﹣1、﹣6，故选：D．5．（2022秋•北塔区期末）将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6 C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2【答案】B【解答】解：（x+2）2＝5x﹣2，x2+4x+4﹣5x+2＝0，x2﹣x+6＝0，∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．故选：B．6．（2023春•江岸区校级月考）方程x2﹣x＝0二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，1，0 B．0，1，0 C．0，﹣1，0 D．1，﹣1，0【答案】D【解答】解：方程x2﹣x＝0的二次项系数是1，一次项系数为﹣1，常数项为0．故选：D．7．（2022秋•漳州期末）一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常数项是（）A．7 B．﹣2 C．﹣1 D．1【答案】C【解答】解：一元二次方程7x2﹣2x﹣1＝0的常数项是﹣1，故选：C．8.（2022秋•甘井子区期末）将方程4x（x+2）＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【答案】C【解答】解：4x（x+2）＝25可化为4x2+8x﹣25＝0，∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．故选：C．9．（2023春•龙湾区期中）已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【答案】A【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，