第03讲 线段垂直平分线的性质和判定（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）-2024学年八年级数学上册（苏科版）

第第页第03讲线段垂直平分线的性质和判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定；能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．知识点1：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图1.分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；2.作直线CD，CD为所求直线知识点2：线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点3：线段的垂直平分线逆定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1线段垂直平分线的性质在线段中的应用】【典例1】（2023春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（）​A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解答】解：∵DE是AC的中垂线，∴DA＝DC，∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC，∵AB＝4，BC＝7，∴△ABD的周长＝4+7＝11，故选：B．【变式1-1】（2023春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连接BD．若AD＝3cm，AC＝9cm，则BD的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【解答】解：∵AD＝3cm，AC＝9cm，∴CD＝AC﹣AD＝6cm，∵MN垂直平分BC，∴BD＝CD＝6cm，故选：A．【变式1-2】（2023春•罗湖区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC＞90°．AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（）A．2 B．1 C．4 D．3【答案】A【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝EB+EF+FC＝BC，∵BC＝2，∴△AEF的周长为2，故选：A．【变式1-3】（2023春•新城区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D．若△BCD的周长为8，则BC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点E，D，∴AD＝BD，∵△BCD周长为8，AC＝5，∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝8，∴BC＝8﹣5＝3，故选：C．【题型2线段垂直平分线的性质在求角中的应用】【典例2】（2023春•即墨区期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝50°，∠ABD＝26°，则∠ACF的度数为（）A．66° B．52° C．46° D．42°【答案】B【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝26°，∠ABC＝2∠ABD＝52°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣52°＝78°，∵EF是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，∴∠FCB＝∠CBD＝26°，∴∠ACF＝78°﹣26°＝52°，故选：B．【变式2-1】（2022秋•滑县校级期末）如图，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A＝48°，则∠BDC的度数为（）A．48° B．96° C．90° D．84°【答案】B【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝48°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝96°，故选：B．【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，EF是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F．MN是边AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N．连接AF、AN则∠FAN的度数是（）A．70° B．55° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵EF是边AB的垂直平分线，MN是边AC的垂直平分线，∴FB＝FA，NC＝NA，∴∠FAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠FAB+∠NAC＝∠B+∠C＝70°，∴∠FAN＝∠BAC﹣（∠FAB+∠NAC）＝110°﹣70°＝40°，故选：C．【变式2-3】（2022秋•青县期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠EBC的大小为（）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】A【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝70°，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°；故选：A．【题型3线段垂直平分线的性质在实际中的应用】【典例3】（2022秋•东昌府区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（）A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点【答案】B【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．故选：B．19．（2022春•于洪区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【答案】C【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．【变式3-1】（2020秋•天心区期中）在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【答案】B【解答】解：基站应该建立在B处，故选：B．【变式3-2】（2022秋•平城区校级期末）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（）A．AB，BC两边垂直平分线的交点处 B．AB，BC两边高线的交点处 C．AB，BC两边中线的交点处 D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处【答案】A【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，故选：A．【题型4线段垂直平分线的性质的综合应用】【典例4】（2023春•新城区期中）如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AD⊥BC，D为BE的中点．（1）求证：AB＝CE．（2）若∠C＝32°，求∠BAC的度数．【答案】110°，110°，38．【解答】（1）证明：如图，连接AE．∵AD⊥BC，且D为线段BE的中点，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE．∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＝CE．（2）∵AE＝EC，∠C＝32°，∴∠CAE＝∠C＝32°，∴∠AEB＝64°．∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝64°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°．【变式4-1】（2023春•项城市月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB＝5，则△CMN的周长为5；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【答案】（1）5；（2）40°．【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，∴MA＝MC，NB＝NC，∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB，∵AB＝5，∴△CMN的周长＝5，故答案为：5；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°，∴∠AMD+∠BNE＝∠FMN+∠FNM＝110°，∴∠A+∠B＝180°﹣（∠AMD+∠BNE）＝70°，∵MA＝MC，NB＝NC，∴∠A＝∠MCA，∠B＝∠NCB，∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B+∠MCA+∠NCB）＝40°．【变式4-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点．（1）求证：BE＝AC；（2）若∠C＝70°，求∠BAC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）75°．【解答】（1）证明：∵EF是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，∵AD⊥BC，D为CE的中点，∴AD是EC的垂直平分线，∴AE＝AC，∴BE＝AC；（2）解：∵AE＝AC，∠C＝70°，∴∠AEC＝∠C＝70°，∵BE＝AE，∴∠B＝∠EAB＝∠AEC＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°．【变式4-3】（2022秋•垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．【题型5线段垂直平分线的判定】【典例5】（秋•南安市期末）（1）求证：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程）（2）用（1）中的结论解决：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BE平分∠ABC，求证：点E在线段AB的垂直平分线上．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）已知：如图，QA＝QB．求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．证明：过点Q作QM⊥AB，垂足为点M．则∠QMA＝∠QMB＝90°，在Rt△QMA和Rt△QMB中，∵QA＝QB，QM＝QM，∴Rt△QMA≌Rt△QMB（HL），∴AM＝BM，∴点Q在线段AB的垂直平分线上．即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（2）证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝×60°＝30°，∴∠A＝∠ABE，∴EA＝EB，∴点E在线段AB的垂直平分线上．【变式5】如图，P是∠MON的平分线上的一点，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A、B．求证：PO垂直平分AB．【解析】证明：∵OP是角平分线，∴∠AOP=∠BOP∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠OAP=∠OBP=90°∴在△AOP和△BOP中∴△AOP≌△BOP（AAS）∴OA=OB∴PO垂直平分AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.【题型6线段垂直平分线的作法】【典例6】（2022秋•杭州期中）如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．【变式6-1】（2020•宜昌）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线【答案】A【解答】解：如图：A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，∴FO＝GO，l⊥FG，∵EF＝GH，∴EF+FO＝OG+GH，即EO＝OH，∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；B．∵EO≠OQ，∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C．∵FO≠OH，∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；D．∵l为直线，直线没有垂直平分线，∴EH不能平分直线l，故此选项错误；故选：A．【变式6-2】（秋•丰台区期末）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：△ABC中BC边上的高线AD．作法：如图，①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；②连接AE交BC于点D．所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵＝BA，＝CA，∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（）（填推理的依据）．∴BC垂直平分线段AE．∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接BE，EC．∵AB＝BE，EC＝CA，∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），∴直线BC垂直平分线段AE，∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．【题型7线段垂直平分线的判定与性质的综合】【典例7】（2023春•佛山期中）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．【变式7-1】（2021秋•蓬江区校级期中）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若∠BAC＝60°，猜测DO与AO间有何数量关系？并证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF∴点A、D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．（2）答：AO＝3DO．理由：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝30°，∴AD＝2DE，∠EDA＝60°，∵AD⊥EF，∴∠EOD＝90°，∴∠DEO＝30°∴DE＝2DO，∴AD＝4DO，∴AO＝3DO．1．（2023•南宁一模）如图，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AC＝10，BC＝6，则△BCD的周长为（）A．6 B．10 C．16 D．18【答案】C【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵AC＝10，BC＝6，∴△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝6+10＝16，故选：C．2．（2023•贵阳模拟）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（）A．△ABC三条角平分线的交点 B．△ABC三条边的中线的交点 C．△ABC三条高的交点 D．△ABC三条边的垂直平分线的交点【答案】D【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选：D．3．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（）A．0 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P1P2＜5.6，故选：B．4．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，已知AD＝3cm，△ABE的周长为14cm，则△ABC的周长是（）A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm【答案】D【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AD＝3cm，∴AC＝2AD＝6cm，AE＝CE，∵△ABE的周长为14cm，∴AB+BC＝C△ABE＝14cm，∴C△ABC＝AB+AC+BC＝14+6＝20（cm），故选：D．5．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．6．（2020•南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．7．（2020•牡丹江）在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E．若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE垂直平分斜边AB，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵∠CAB＝∠B+30°，∠CAB＝∠CAE+∠EAB，∴∠CAE＝30°．∵∠C＝90°，∴∠AEC＝60°．∴∠AEB＝120°1．（2023春•碑林区校级月考）线段AB的垂直平分线上有一点P，若PA＝3，则PB的值为（）A．3 B．4 C．2 D．无法确定【答案】A【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA＝3，故A正确．故选：A．2．（2023春•灵璧县校级月考）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】见试题解答内容【解答】解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB＝DA，∵线段AC的垂直平分线交BC于点E，∴EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝8，故选：C．3．（2022秋•庄河市期末）如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，并交AC于点D，连结BD．若AD＝2cm，BD＝4cm，则AC的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】A【解答】解：∵直线MN为BC的垂直平分线，∴CD＝BD＝4cm，∵AD＝2cm，∴AC＝AD+CD＝6（cm），故选：A．4．（2023•灞桥区校级模拟）如图，点P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的垂直平分线上．若∠APC＝142°，则∠ABC的度数为（）A．76° B．104° C．130° D．140°【答案】B【解答】解：∵∠APC＝142°，∴∠MPA+∠NPC＝180°﹣142°＝38°，∵M，N分别在PA，PC的垂直平分线上，∴MP＝MA，NP＝NC，∴∠MAP＝∠MPA，∠NCP＝∠NPC，∵∠BMN＝∠MPA+∠MAP，∠BNM＝∠NCP+∠NPC，∴∠BMN+∠BNM＝∠MPA+∠MAP+∠NCP+∠NPC＝76°，∴∠ABC＝180°﹣76°＝104°，故选：B．5．党和政府十分关心四川灾后重建工作，准备为三个村庄A、B、C（其位置如图所示）修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？（写出作法，并保留作图痕迹）【答案】见试题解答内容【解答】解：作法：（1）连接AB，BC．（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点P．则点P就是水井的位置．6．（梅州）如图，在△ABC中，∠C＝90度．（1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（2）连接BP．∵点P到AB、BC的距离相等，∴BP是∠ABC的平分线，∴∠A