江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题（含解析）

江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期4月期中数学试题（含解析）2022～2023学年度第二学期期中考试高二数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含单项选择题(第1～8题、多项选择题(第9～12题)、填空题(第13～16题)、解答题(第17～22题)．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则x值为()A. B. C.6 D.－62.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有()种不同报名方法．A.81 B.64 C.24 D.43.如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则()A. B.C. D.4.同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则()A. B. C. D.5.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是()A. B.C. D.6.已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛(每两队主､客场各赛1场)，决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为()A.15 B.16 C.17 D.188.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为()A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确有()A.若，则B.在的展开式中，含的项的系数是－15C.被5除所得的余数是1D.现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成31种币值10.下列说法正确的有()A.某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布B.若随机变量X的数学期望，则C.若随机变量X的方差，则D.随机变量则11.从装有5个红球和4个蓝球袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第i(,2)次摸球时摸到红球”为，“第j(,2)次摸球时摸到蓝球”为，则()A. B.C. D.12.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖脚居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖”是指四个面都是直角三角形的三棱锥.在堑堵中，如图所示，若AC⊥BC，，．()A.四棱锥为阳马B.三棱锥为鳖臑C.点P在侧面及其边界上运动，点M在棱AC上运动，若直线，AP是共面直线，则点P的轨迹长度为D.点N在侧棱上运动，则的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(16题第一空2分，第二空3分)13.如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠(每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠)，表示两位数，记所得的两位数为X，则_____________．14.若，则_____________．15.如图，将边长的正方形沿对角线BD折起，连接AC，构成一四面体，使得，则点到平面的距离为_____________．16.某地为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户种植树苗的自然成活率为0.9．该农户决定种植棵树苗，种植后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，则一棵树苗最终成活的概率为_____________，若种植每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于25万元，至少需要种植_____________棵树苗．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果：(1)A，B两人不排在一起，有几种排法？(2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？(3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？18.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．19.如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．20.在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球．(1)若有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望；(2)若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率．21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，M为PD(不包含端点)上的点，，．(1)若，求证：平面；(2)若平面，求与平面所成角的最大值．22.电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径(单位：mm)在范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布．(1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．(2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？参考数据：若随机变量，则，，，，．

2022～2023学年度第二学期期中考试高二数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含单项选择题(第1～8题、多项选择题(第9～12题)、填空题(第13～16题)、解答题(第17～22题)．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，且，则x的值为()A. B. C.6 D.－6【答案】D【解析】【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之.【详解】因为，所以，解得.故选：D.2.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有()种不同的报名方法．A.81 B.64 C.24 D.4【答案】A【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得共有种报名方法.【详解】根据题意可知，需分四步进行，每一步中每名同学都有数学、物理、化学三种科目可报，所以共有种.故选：A3.如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以，所以，故选：C.4.同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件，“两枚骰子的点数之和等于6”为事件，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件概率公式，即可求解.【详解】事件包含6种基本事件，事件包含1个基本事件，所以.故选：B5.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.【详解】因为，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐标是，故选：D.6.已知随机变量ξ服从正态分布，有下列四个命题：甲：乙：丙：丁：若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根据正态分布对称性相关知识，判断A正确，并得到乙和丙都是真命题，再利用均值，验证D即可.【详解】对于甲，取任何值，都有，所以甲真命题；对于乙，若，则该正态分布的均值；对于丙，若，则该正态分布的均值；乙和丙至少有一个真命题，又因为乙和丙等价，所以乙和丙都是真命题；对于丁，，丁为假命题．故选：D7.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛(每两队主､客场各赛1场)，决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为()A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】首先理解题意，分别计算小组赛，半决赛和决赛的比赛场数，再求和.【详解】.故选：C．8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果.【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面，则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，；则，当时，最小，最小值为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有()A.若，则B.在的展开式中，含的项的系数是－15C.被5除所得的余数是1D.现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成31种币值【答案】BCD【解析】【分析】

根据组合数公式计算可判断A；根据二项展开式计算可判断B；根据二项式系数性质计算可判断C；根据组合数公式和二项展开式性质计算可判断D.【详解】对于A，若，则或，解得或，故A不正确；对于B，含的项是由的5个括号中4个出仅1个括号出常数，所以含的项的系数是，故B正确；对于C，，所以被5除所得的余数是1，故C正确；对于D，壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成种币值，故D正确.故选：BCD.10.下列说法正确的有()A.某学校有2023名学生，其中男生1012人，女生1011人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布B.若随机变量X的数学期望，则C.若随机变量X的方差，则D.随机变量则【答案】AC【解析】【分析】A选项由超几何分布的定义可判断；B选项，利用公式可得；C选项，利用公式可得；D选项，利用二项分布和组合数的对称性可得.【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确；B选项：，故B错误；C选项：，故C正确；D选项：因所以，根据组合数的对称性可知，，故D错误.故选：AC11.从装有5个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第i(,2)次摸球时摸到红球”为，“第j(,2)次摸球时摸到蓝球”为，则()A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据古典概型的概率公式求得，继而根据不放回取球时的概率计算可判断A，B；根据条件概率的计算公式可判断C，D.【详解】由题意可得,则，A正确；，故，B正确；由于，故，同理,故，C错误；,所以，D正确，故选：ABD12.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖脚居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖”是指四个面都是直角三角形的三棱锥.在堑堵中，如图所示，若AC⊥BC，，．()A.四棱锥为阳马B.三棱锥为鳖臑C.点P在侧面及其边界上运动，点M在棱AC上运动，若直线，AP是共面直线，则点P的轨迹长度为D.点N在侧棱上运动，则的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据阳马定义利用线面垂直判断A，根据题意及A分析棱锥各面三角形判断B，根据直线共面判断P点轨迹并求线段长判断C，利用侧面展开图求最小值判断D.【详解】对A，直三棱柱中，，，又AC⊥BC，平面，所以平面，底面为矩形，故四棱锥为阳马，正确；对B，在三棱锥中，由题意及A知都为直角三角形，故正确；对C，如图，当在面对角线上运动时，平面，平面，即直线，AP是共面直线，即点P的轨迹长度为，故正确；对D，直三棱柱侧面与侧面展开在同一平面上可得长为，宽为4的矩形，如图，连接交于，此时有最小值，故错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(16题第一空2分，第二空3分)13.如图，我国古代珠算算具——算盘的每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，每珠代表数值5，梁下面5颗叫下珠，每珠代表数值1，若从个位档与十位档靠梁拨3颗珠(每档至少拨一珠，同一档不可拨两颗上珠)，表示两位数，记所得的两位数为X，则_____________．【答案】##【解析】【分析】列出随机试验的样本空间，利用古典概型概率公式求.【详解】由已知随机试验从个位档与十位档靠梁拨3颗珠，表示两位数，可得下列结果：，共8个结果，其中随机事件包含下列结果，，所以.故答案为：.14.若，则_____________．【答案】【解析】【分析】求出，利用赋值法，令即可求得答案.【详解】由可得，令，则，故，故答案为：15.如图，将边长的正方形沿对角线BD折起，连接AC，构成一四面体，使得，则点到平面的距离为_____________．【答案】##【解析】【分析】设点到平面的距离为，则，求可得结论.详解】由已知可得，，，取的中点，连接，因为，，所以，因为，，所以，又，所以，因为，点为的中点，所以，由平面，，所以平面，所以点到平面的距离为，又的面积为，所以三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，则，又，因为，所以的面积为，所以，所以.所以点到平面的距离为.故答案为：.16.某地为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户种植树苗的自然成活率为0.9．该农户决定种植棵树苗，种植后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活，则一棵树苗最终成活的概率为_____________，若种植每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于25万元，至少需要种植_____________棵树苗．【答案】①.②.【解析】【分析】根据全概率公式即可求得一棵树苗最终成活的概率；根据题意求出获利的表达式，进而可得出答案.【详解】一棵树苗最终成活的概率为，根据题意可得，解得，因为，所以的最小值为，即至少需要种植棵树苗．故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果：(1)A，B两人不排在一起，有几种排法？(2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？(3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？【答案】(1)种(2)种(3)种【解析】【分析】(1)利用插空法可以求解；(2)利用捆绑法可以求解；(3)分两种情况讨论，①若E在排尾，②若E不在排尾，分别求出排法种数，即可求得答案.【小问1详解】先排除A，B外的四个人，再将A，B插入到其余4人所形成的5个空中，因此，排法种数为；【小问2详解】将C，D两人捆绑一起看作一个复合元素和其他4人去安排，因此，排法种数为；【小问3详解】E不在排头，F不在排尾，分以下两种情况讨论：①若E在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法；②若E不在排尾，则E有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法．综上所述，共有种不同的排法种数．18.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2)和【解析】【分析】(1)根据二项展开式的通项公式和等差中项的性质求出，再根据二项式系数的性质可求出结果；(2)设第项的系数最大，由，解出，进而求解.【小问1详解】的展开式的通项为，(，1，…，n)，因为前3项的系数成等差数列，所以，化简得，解得或(舍)．展开式共有9项，二项式系数最大的项为.【小问2详解】由(1)知，展开式的通项为，(，1，…，8)，设第项的系数最大，则，即，解得，则或，所以展开式的第3项与第4项系数最大，即和.19.如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)通过面面垂直的性质，找到后证明线面垂直，从而证明线线垂直，通过两组线线垂直即可得证；(2)通过已知条件以为正交基底建立空间直角坐标系，通过二面角向量方法计算公式求解即可.【小问1详解】因为是⊙O的直径，所以，因为，，所以，又因为，为的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面ACD，，所以平面【小问2详解】因为，，，所以，所以，因为平面，平面，所以，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，，，．显然，是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则令，则，所以，设二面角所成角为，，则，所以二面角的正弦值为20.在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球．(1)若有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次，设摸到红球的次数为X，求随机变量X的概率分布及期望；(2)若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中，直到取到两次红球就停止，设取球的次数为Y，求的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)【解析】【分析】(1)根据二项分布列出分布列，求出数学期望；(2)即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，求出概率即可.【小问1详解】由题意分析，X的可能值为0，1，2，3所以，，，．分布列：X0123P．【小问2详解】依题意，每次取到红球的概率为，取到白球的概率为．即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，所以．21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，M为PD(不包含端点)上的点，，．(1)若，求证：平面；(2)若平面，求与平面所成角的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，先证明H为AD的中点，再证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证；(2)以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】延长FM和CD交于点Q，连BQ交AD于点H，连FH，FN，由，故，所以，即H为AD的中点，此时，，且，所以四边形为平行四边形，故，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，，，设平面BMF的法向量，则有，令