控制工程基础 第三章-第一节

第三章线性系统的时域分析法时域分析的目的：设法从微分方程判断出系统运动的主要特征而不必准确地把微分方程解出来——从工程角度分析系统运动规律。

时域分析法：以时间为自变量，分析系统在某种典型输入作用下，系统输出量动态和稳态过程的规律，并且分析其结构及参数对动态及稳态性能的影响。

能比较容易地进行数学分析和实验研究；典型输入信号能反映系统工作的大部分实际工作状态；还必须选择使系统处于最不利情况下的输入信号，如果系统在这些典型信号作用下，其性能满足要求，则系统在实际输入信号作用下的性能也是令人满意的。时域法常用的典型输入信号正弦函数它的数学表达式为

式中A为振幅，ω为角频率，正弦函数为周期函数。

本章主要以单位阶跃函数作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。在工程上，许多高阶系统常常具有

近似一、二阶系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。线性定常系统的时域响应

对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述。

系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即

c(t)=c1(t)+c2(t)

(3-2)c1(t)——对应齐次微分方程的通解

c2(t)——非齐次微分方程的一个特解从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t→∞时系统的输出，衡量其好坏是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、调节时间及超调量等来衡量。无重复极点和零点，设则有称为该微分方程所描述的运动模态，或称自由运动模态，每一种模态代表一种类型的运动。系统自由运动的模态由传递函数的极点产生，极点性质不同其运动模态也是不同的在自由运动中，靠[s]平面离虚轴最近的极点，所对应的自由运动模态所占比重最大，且衰减也是最慢的系统比上例增加一个零点，设从其单位阶跃响应看出：加入零点，但是系统运动模态没有改变，所以系统零点不能形成运动模态系统零点可以影各个运动模态在响应中所占的比重，因而会影响系统输出的曲线形状。而且零点越靠近某个极点，则对该极点对应的运动所占比重影响越大例如：系统则有稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量说明：性能指标是针对稳定系统而言的重点j0欠阻尼重要输出量的拉氏变换：

式中：阻尼振荡角频率，或振荡角频率阻尼角输出量的时间函数：

在黑板上推导，这页讲了很久这个很重要A改善二阶系统动态性能的方法（1）加入开环附近零点阻尼比比没有开环零点系统阻尼比增大了倍，过程平稳性提高想加快动态过程，即增加，实质就是增加，为了使（a）系统的动态性能指标仍能应用典型二阶系统的计算公式，加入输入滤波器调整2.引入局部反馈1.局部反馈等效时间常数，说明局部反馈是改造某个环节的特性的方法2.3.想提高快速性，可调节局部反馈系数a实现4.局部反馈使，这对系统稳态性能不利，可在前向通道串入一个比例常数（即比例环节）阻尼增大了倍，过程平稳性提高高阶系统用二阶近似分析的可能性例已知某系统闭环传递函数为分析系统在阶跃输入作用下的时间响应解闭环极点在[S]平面上分布如图所示系统在阶跃输入作用下的输出响应远离[S]平面坐标原点的闭环极点所对应的运动成分，对阶跃响应的影响小，因其运动分量幅值很小且衰减也很快离[S]平面原点较近的闭环极点所对应的运动成分，在阶跃响应过程所占的比重最大，因其幅值是最大的且衰减又是最慢的例已知某系统闭环传递函数为分析系统在阶跃输入作用下的时间响应解闭环零极点在[S]平面上分布如图所示系统在阶跃输入作用下的输出响应当闭环零点与某个闭环极点很接近时，这个极点对应的运动成分受影响最大，在阶跃响应过程中占的比例就非常小，极点被离它很近的零点“抵消了”闭环零点运力某个极点，则这个极点所对应的运动成分受这个零点影响就很小2.主导极点的概念如一个稳定的高阶系统，其闭环的极点和零点在[S]平面上分布符合如下模式：（1）左半复平面上离虚轴最近极点是一对共轭复数极点，且它们附近没有闭环零点；（2）在[S]左平面的其它闭环极点和零点，都是远离虚轴即离虚轴最近的极点周围没有或附近没有零点有两个含义：（1）零点离虚轴应满足（2）或存在闭环偶极子例3.4已知单位反馈系统的闭环传递函数试求其动态性能指标解：式中：所以该系统动态性能指标为：§3.5线性系统的稳定性分析1.稳定性概念及其充要条件

控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统为稳定，否则，称该系统为不稳定稳定性是控制系统自身的固有属性，各种性能指标的分析也是在稳定的前提下进行的线性系统的特性是由微分方程描述的解包含稳态分量和瞬态分量，瞬态分量与系统本身的参数、结构和初始条件有关通过研究特征方程的根来研究系统输出相应特性②列帽，第一行，第二行跳着找，第三行开始用上两行数据计算，交叉成矩形，跳过当前列，系统稳定性判断主要以第一列为主，所以计算出第一列为主要目标。①先列出特征方程根据劳斯表第一列系数符号的变化，判别特征方程式根在S平面上的具体分布如果劳斯表中第一列系数均为正值，则稳定，有一个为负，即不稳定例3.5系统特征方程为：各项系数符号不同，因此不满足稳定的必要条件，系统不稳定。第一列各元素符号改变次数为2系统不稳定，而且有两个正实根(四个特征根为-1，2，3，-5)书P72若特征方程缺项，用系数0补全，严格按照降幂排列3.例3.8已知控制系统框图如图所示，试确定欲使系统稳定时K的取值范围解：系统的闭环传递函数为从上式求得闭环特征方程为欲满足稳定必要条件再计算劳斯阵列要满足稳定性的充分条件，必须使欲使系统稳定，K的取值范围是当K=14/9时，系统处于临界稳定状态，出现等副震荡例3.10试分析系统参数对稳定性的影响，时间常数均大于零解：系统的特征方程为：根据劳斯判据，系统稳定的条件为：展开后可得：若系统中，令则的临界值为：当时，如果取时，则若时，则各环节时间常数错开程度越大，则临界开环增益越大如果系统开环增益一定，时间常数错开程度越大，系统的稳定性越好

§3.6线性系统的稳态误差分析计算1.系统误差及稳态误差的概念

定义输出量的期望值与实际值之差，叫做系统的误差，如果系统稳定，又叫做系统的稳态误差2.系统类型及开环增益设单位反馈系统的开环传递函数为式中，当其中3.给定误差的计算(1).为阶跃函数，即为常值称为静态位置误差系数对于“0”型系统所以，稳态误差为对于“I”型系统所以，稳态误差为对于“II”型系统所以，稳态误差为(2).为速度函数，即为常值称为静态加速度误差系数对于“0”型系统所以，稳态误差为对于“I”型系统所以，稳态误差为对于“II”型系统所以，稳态误差为(3).为加速度函数，即为常值称为静态加速度误差系数对于“0”型系统所以，稳态误差为对于“I”型系统所以，稳态误差为对于“II”型系统所以，稳态误差为例3.11已知单位反馈系统闭环传递函数为：当时，求解：闭环传递函数分母多项式为：从上式求得可见该系统是II型系统，开环增益由于系统是线性系统，可以应用叠加原理，分别求出每个输入信号作用产生的稳态误差，然后将其加起来即为总的稳态误差输入中阶跃函数集斜坡函数分别作用在系统时其稳态误差都是零4.扰动量作用下系统的稳态误差计算按系统误差的定义有：由于研究扰动作用下的误差，所以令，则系统误差此时为由于给定输入为零，所以扰动量作用下的系统输出就是系统的误差，即稳态误差为：扰动作用下产生的稳态误差，除与形式及其大小以及有关外，还与其作用点位置有关例3.12如图所示系统，，求时系统稳态误差解：根据扰动作用下稳态误差计算公式扰动作用下系统的稳态误差，仅与扰动作用点前面环节增益成反比，与扰动量大小成正比5.减小或消除稳态误差的措施<1>增大系统开环增益或增大扰动作用点前面前向通道增益。但开环增益增大将会影响动态性能，甚至系统变成不稳定，所以这个措施是受限制的<2>在系统前向通道或在扰动作用点前面的前向通道设置串联积分环节。这个措施对消除稳态误差是有效的，但是，积分环节多了很容易噪声系统结构不稳定。因此，串联积分环节的措施也是受到限制的<3>复合控制反馈控制+给定顺馈控制（1）没有顺馈的反馈控制系统（2）反馈控制价给定顺馈控制的复合控制系统整理上式又得给定误差为：单纯反馈和反馈+顺馈控制的复合系统特征方程相同表明给定顺馈控制不影响反馈控制的稳定性如果令此时，给定误差为零。这表明加入给定顺馈控制可以减小或消除给定误差在反馈控制基础上，加入给定顺馈控制，既减小或消除系统的给定稳态误差，又不影响反馈控制的稳定性例3.13某复合控制系统如图所示当要求时，系统给定稳态误差为零，求顺馈环节解：（1）没有给定顺馈控制时，即