福建省永春县第一中学高二数学下学期期中试题理

福建省永春县第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题理考试时间：120分钟试卷总分：150分本试卷分第I卷和第II卷两部分第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i（i为虚数单位），则z＝（）A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i2．已知f(x)＝x2＋，则等于（）A．0 B．1 C．－2 D．－43．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C<D，这里①是②的（）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．的值等于 （） A．1 B．－1 C．i D．－i5．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（）A．使用了归纳推理B．使用了“三段论”，但推理形式有错误C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误7．求曲线，所围成图形的面积（） A．1 B． C．9 D．8．已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则eq\f(AG,GD)，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则eq\f(AO,OM)等于（）A．1B．2C．3 D．49．对于下列四个命题，正确的是（）①z1，z2∈C，若z12+z22=0，则z1=z2=0②虚数不能比较大小③z是虚数的充要条件是z+∈RA．0个 B．1个 C．2个 D.．3个10．设函数在定义域内可导，y=的图象如图所示，则导函数y=的图象，可能是（）A． B．C．D．11．已知函数的导函数的图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是（）A． B．C． D．12．设函数，则函数f(x)的各极小值之和为（）A．－eq\f(e2π（1－e2012π）,1－e2π)B．－eq\f(e2π（1－e1006π）,1－eπ)C．－eq\f(e2π（1－e1006π）,1－e2π)D．－eq\f(e2π（1－e2010π）,1－e2π)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。13．若，则．14．．15．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：b19＝________．16．若定义在上的函数单调递增，其中，则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卡各自题目的答题区域内作答。17、（本小题满分12分）已知复数,分别对应向量、（O为原点），若向量对应的复数为纯虚数；（1）求a的值；（2）求的值．18．（本小题满分12分）（1）用反证法证明：若、、，且，，，则、、中至少有一个不小于0（2）用数学归纳法证明下面等式对所有n∈N*均成立．19．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分12分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的图像与直线围成图形的面积不小于14，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）当时，若函数在最大值为，求的值.21．（本小题满分12分）已知函数（1）若直线x=2与曲线和分别交于A,B两点，且曲线在A处的切线与在B处的切线相互平行，求a的值；（2）设在其定义域内有两个不同的极值点，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数.以坐标原点为极点，．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与相交于，两点，且，求的值．永春一中高二年级期中考试（理科）数学科参考答案（2019.04）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）123456789101112ABBCDBCCBAAD12．【答案】Df′(x)＝(ex)′(sinx－cosx)＋ex(sinx－cosx)′＝2exsinx，若f′(x)<0，则x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；若f′(x)>0，则x∈(2π＋2kπ，3π＋2kπ)，k∈Z.所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π·[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因为0≤x≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k∈[0，1004]，所以函数f(x)的各极小值构成以－e2π为首项，以e2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f(x)的各极小值之和为S1005＝－e2π－e4π－…－e2010π＝－eq\f(e2π（1－e2010π）,1－e2π).二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13．-114．15．122516．215．【解析】由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（1＋n）,2).当n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时，an能被5整除，即b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，所以b2k＝a5k(k∈N*)．则b2k－1＝a5k－1＝eq\f(1,2)×5k(5k－1)＝eq\f(5k（5k－1）,2).b19＝122516．【解析】，令，综上所述，，即的最大值为2。三、解答题：本大题共6小题，共70分，17．（本小题满分12分）解：（1）对应的复数为z2－z1，则z2－z1=a－1+(a2+2a－1)i－［a2－3+(a+5)i］=(a－a2+2)+(a2+a－6)i∵z2－z1是纯虚数，∴解得a=－1.（2）=18．（本小题满分12分）（1）证明：假设、、均小于0，即：----①；----②；----③；①+②+③得，这与矛盾，则假设不成立，∴、、中至少有一个不小于0………6分（2）证明：i)当n=1时，左式=，右式=，∴左式=右式，等式成立．ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，即，则当n=k+1时，即n=k+1时，等式也成立，由i)ii)可知，等式对n∈N*均成立．………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）……3分则不等式解得………………5分故不等式的解集为……………6分（Ⅱ）作出函数的图象，如图.若的图象与直线围成的图形是三角形，则当时，△ABC的面积取得最大值，的图象与直线围成图形的面积不小于14，该图形一定是四边形，即………………………9分△ABC的面积是6，的面积不小于8.…10分……………11分又故实数的取值范围是………12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）当时，，定义域故 令，得故的单调递增区间为 5分（Ⅱ）方法1：令，定义域则∴函数在为减函数，由， ∴当时，，所以解得故的值为 12分（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为.，令，得.所以函数为增函数，故的最大值为，即. 12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为（0，），因为曲线在A处的切线与在B处的切