4.2.1指数函数的概念课件高一上学期数学人教A版2

第四章指数函数与对数函数4.2

指数函数4.2.1指数函数的概念内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.结合具体实例，会求指数函数的解析式.3.从具体实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用．活动方案对于幂ax(a>0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，下面继续研究其他类型的基本初等函数．活动一指数函数的概念问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次2001600

278

200260993093120036201134435时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次2004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量/万次人次/万次年增加量/万次201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126思考1►►►比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？【解析】

为了有利于观察规律，根据表格分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(如图所示)．观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．思考2►►►我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11－1＝0.11，是一个常数．像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……x年后，游客人次是2001年的1.11x倍．如果设经过x年后的游客人次是2001年的y倍，那么y＝1.11x(x∈[0，＋∞))．这是一个函数，其中指数x是自变量．做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？【解析】

设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为(1－p)1；死亡2年后，生物体内碳14含量为(1－p)2；死亡3年后，生物体内碳14含量为(1－p)3；……一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫作指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.特征：①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.思考3►►►当指数函数的底数a＝0，a＝1，a<0时，对自变量x的取值有何影响？思考4►►►函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？【解析】

函数y＝2x的指数是变量，是指数函数；函数y＝x2的指数是常数，是二次函数．例

1在下列关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x;

(4)y＝πx；(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，a≠2)．【解析】(1)解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式，所以不是指数函数．(2)底数为负，所以不是指数函数．(3)解析式中多一个负号，所以不是指数函数．(4)符合指数函数的定义，所以是指数函数．(5)指数为常数，所以不是指数函数．(6)令b＝a－1，则y＝bx，b>0，且b≠1，所以是指数函数．根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数为自变量x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．【解析】(1)是指数函数．(2)因为自变量在底数上，所以不是指数函数．(3)因为底数－4<0，所以不是指数函数．(4)因为底数x不是常数，所以不是指数函数．(5)令2a－1＝b，则y＝bx，b>0，且b≠1，所以是指数函数．活动二指数函数的概念及应用求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．例

3

(1)在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况；(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？活动三指数增长模型【解析】(1)设经过x年，游客给A,B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x)＝1150×(10x＋600),g(x)＝1000×278×1.11x.利用计算工具可得，当x＝0时，f(0)－g(0)＝412000.当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．结合图可知：当x<10.22时，f(x)>g(x)，当x>10.22时，f(x)<g(x)．当x＝14时，g(14)－f(14)≈347303.这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年3月某个时刻就有f(x)＝g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)<g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了．在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．某种细菌经60min培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，e≈2.7182813，t表示时间(单位：h)，y表示细菌个数，10个细菌经过7h培养，细菌能达到的个数为(

)A.640

B.1280C.2560

D.5120【答案】B检测反馈24513【答案】D24513【答案】D245312453【答案】ABD124534.(2022·淄博高一阶段练习)若函数f(x)＝(a－1)x为指数函数，则实数a的取值范围是________.1【解析】

因为f(x)＝(a－1)x

为指数函数，所以0<a－1<1或a－1>1，解得1<a<2或

a>2，故实数a的取值范围是