河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（理）

洛阳市2022—2023学年第二学期期中考试高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（）A.从时刻到物体的平均速度 B.从时刻到位移的平均变化率C.当时刻为时该物体的速度 D.该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【解析】【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.2.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5％，物价（单位：元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约为（精确到0.001元／年）（）附：，，.A.0.079元／年 B.0.076元／年C.1.629元／年 D.1.551元／年【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义求解.【详解】由题意，，则时，商品价格上涨的速度；故选：A.3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题.4.曲线在点处的切线垂直于直线，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于的方程，解出后可得正确的选项.【详解】，所以，因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，故即，故选：D.5.的展开式中含的项的系数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出展开式的通项，令的指数为5即可求出.【详解】的展开式通项为，令，可得，所以展开式中含的项的系数是.故选：D.6.6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.720种【答案】C【解析】【分析】利用捆绑法可求不同的排法.【详解】甲、乙、丙三人在一起，有种不同的排法，把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有种不同的排法，故共有种，故选：C.7.已知函数在时有极大值，则的极大值为（）A.0 B.32 C.0或32 D.0或32【答案】B【解析】【分析】求导，根据函数的单调性求解.【详解】，，即在和处取得极值，由题意：时为极大值，，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，在处取得极大值，，的极大值；故选：B.8.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A.40 B.20 C.20 D.40【答案】D【解析】【分析】【详解】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由52r=1得r=2,对应的常数项=80，由52r=1得r=3,对应的常数项=40，故所求的常数项为40，故选D9.函数的单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出不等式的解后可得其增区间.【详解】定义域为，而，令，则，而，故，故的增区间为.故选：A.10.将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.480种 B.1080种 C.1560种 D.2640种【答案】C【解析】【分析】将6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，再分别计算每组的安排方法可得答案.【详解】6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，当为1，1，1，3时，有种；当为2，2，1，1时，有种，共有种不同的分配方案.故选：C.11.已知函数在时有极值0，则（）A.4 B.11C.4或11 D.以上答案都不对【答案】B【解析】【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求得答案【详解】解：由，得，因为在处有极值0，所以，即，解得或，当时，，则上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，当时，，令，得或，经检验和都为函数的极值点，综上，所以，故选：B12.设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】令,则，设，令，，则，发现函数在上都单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有4条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.则从甲地到丁地共有____________条不同的路.【答案】【解析】【分析】按照甲地经乙地到丁地、甲地经丙地到丁地分类，结合分类加法、分步乘法计数原理即可得解.【详解】如果由甲地经乙地到丁地，则有种不同的路线；如果由甲地经丙地到丁地，则有种不同的路线；因此，从甲地到丁地共有种不同的路线.故答案为：.14.已知，，，且，，，其中是自然对数的底数，则实数，，的大小关系是____________.（用“<”连接）【答案】【解析】【分析】构造函数，，，，，分别利用导数研究函数在上的单调性和在上的单调性，即可比较大小.【详解】设，，则，，由题意知，，，，因为在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，因为在上恒成立，所以在上单调递减，所以.故答案为：15.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有种，由分步乘法计数原理可知共有种，故答案为：.16.已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，构造函数，利用导数求得的最小值，进而求得的取值范围.【详解】解：依题意，当时，恒成立，即恒成立，所以，在上恒成立，构造函数，则，由得，由得所以函数在区间上递减，在区间上递增，所以，函数在处取得极小值也即是最小值，故，所以，，即实数的取值范围是故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.18.某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．（1）若至多有1名主任参加，则有多少种派法？（2）若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？【答案】（1）105；（2）105；（3）87.【解析】【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案；（2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案；（3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案.【小问1详解】若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）.【小问2详解】由题意，可分为三类考虑：第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法；第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法；第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法．所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）．【小问3详解】张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类．第一类，张雅参加，则有种派法，第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法．所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）．19.已知二次函数，其导函数图象如图，．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件,运用导数的知识建立不等式组求解.（1）由已知，其图象直线，且过，两点，，（2）因为，的单调增区间为，，递减区间为要使函数在区间上是单调函数，则，解得20.已知函数.（1）当时，求证：；（2）当时，，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析，（2）【解析】【分析】（1）要证，只要证，所以利用导数求出的最小值即可；（2）（），转化为，而时此式恒成立，所以只考虑的情况，所以转化为，构造函数，然后利用导数求出其最小值即可【详解】（1）证明：当时，，定义域为，则，由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，（2）解：由（），得（），当时，上述不等式恒成立，当时，，令（），则，由（1）可知，当时，，所以由，得，由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，所以实数的取值范围为21.已知二项式.（1）若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式的第8项；（2）若展开式中前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，列出关于的方程，再根据组合数的计算公式求出，再根据展开式的通项即可的解；（2）根据展开式中前三项的二项式系数的和等于79，结合组合数的计算公式求出，再根据二项式系数的性质可得出答案.【小问1详解】因为展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，所以，且，即，解得或，当时，，当时，；【小问2详解】展开式中前三项的二项式系数的和等于79，即，所以，解得或（舍去），所以展开式中第项的二项式系数最大，.22.已知函数，其中．（1）求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点的个数．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）求导，再分，和分类讨论即可；（2）根据单调性及零点存在性定理分析即可.【小问1详解】解：函数的定义域为，，在一元二次方程中，，①当时，恒成立，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；②当时，恒成立，此时函数单调递增，增区间为，没有减区间；③当时，一元二次方程有两个不相等的根，分别记为，有，，可得，有