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已知半圆直径为150,AC是角平分线求线段AD长的两种方法问题由来:已知半圆的直径为AB,其长度为150,AC=148,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。D C148AOB150主要内容:本文采用两种方法,一是利用角平分线、正弦定理与长度关系,二是利用角平分线、正弦定理与长度关系,介绍已知半圆的直径为AB,其长度为150,AC=148,AC是∠DAB的角平分线,求AD的长。※.角度余弦值关系计算求解[主要思路]:利用平分角a的余弦和其二倍角2a的余弦值关系来计算所求线段AD的长度。DC148aaAOD150如上图所示,设圆的半径为R,即:R=AB/2=75,在△AOD中,AO=OD=R=75, oR=75R=752a AM D由余弦定理有:AD=2AM=2*Rcos2a=2*75cos2a=150cos2a…….(1)在三角形AOC中,由余弦定理有: oR=75R=75a AN C148AC=2*AN=2*Rcosa=150*cosa,即:150cosa=148,所以:cosa=eq\f(74,75).代入方程(1)中,有:AD=150cos2a=150*(2cos²a-1),=150*[2*(eq\f(74,75))²-1],=eq\f(10654,75).※.角平分线、正弦定理与长度关系来求解[主要思路]:本步骤利用已知条件角平分线定理、正弦定理,并根据角a的余弦值,以及长度关系,来求解计算所求线段的长度。DCxy148PaaAOD150如上图所示,设AD=x,OD与AC的交点为P,设DP=y,则OP=R-y,即OP=75-y,在三角形△AOD中,AP是角平分线,由平分线定理可得:eq\f(OP,PD)=eq\f(AO,AD),则:eq\f(75-y,y)=eq\f(R,x),化简为:x=eq\f(75y,75-y)……(1).进一步由正弦定理可得:eq\f(DP,sina)=eq\f(AD,sin∠APD),即:eq\f(y,sina)=eq\f(x,sin3a),化简为:y(3-4sin²a)=x,……(2),在△AOC中,可求出cosa=eq\f(74,75),则:sin²a=eq\f(149,5625)……(3),将(3)代入(2)可知:y=eq\f(5625,16279)x,再代入(1)可知:x=75*eq\f(eq\f(5625,16279)x,75-eq\f(5625,16279)x)
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