函数的概念与性质必考题型分类训练（真题、自招、模拟）分类训练-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练新高考

专题02函数的概念与性质必考题型分类训练

方【二年高考真题练】

一.选择题(共U小题)

1.(2021•甲卷)下列函数中是增函数的为()

A.f(x)--xB./(x)=(2)*C.f(x)—x2,D.f(x)=

3

【分析】结合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断.

【解答】解：由一次函数性质可知/(x)=-x在R上是减函数，不符合题意；

由指数函数性质可知/(X)=(2)”在R上是减函数，不符合题意；

3

由二次函数的性质可知/(X)=/在R上不单调，不符合题意；

根据募函数性质可知/(x)=近在R上单调递增，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题.

2.(2021•全国)下列函数中为偶函数的是()

A.y=lg(x-1)+lg(x+1)B.y=|sinx+cosx|

22

C.y=x3D.y=(x+2)+(2x-1)

【分析】分别运用函数的奇偶性的定义，对各个选项意义判断可得结论.

【解答】解：对于A,y=lg(x-1)+lg(x+l)的定义域为(1,+8),不关于原点对称，故A不正确；

对于8,y=f(x)=|sinx+cosx|的定义域为R,但/(-x)壬/*(x),故3不正确；

对于C,y=f(x)=尢3的定义域为R,/(-x)=-f(x),f(x)为奇函数，故。不正确；

对于D,y=f(x)=(x+2)2+(2x-1)2=5^+5,满足/(-x)=f(x),故y=f(x)为偶函数，故D

正确.

故选：D.

【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

3.(2021•全国)函数y=log2(1-x2)的单调递减区间是()

A.(-8,o)B.(0,+8)C.(-1,0)D.(0,1)

【分析】函数y=log2(1-?)的单调递减区间是函数r=l(-1<X<1),的减区间，然后结合二

次函数的单调性求解即可.

【解答】解：设f=i-7,(-1<%<1),

则y=log2Z,

由)，=log2f为增函数，

即函数y=log2(1-?)的单调递减区间是函数r=l-X2,(-1<X<1),的减区间，

又函数r=l-7,(-,的减区间为(0,1),

即函数y=log2(1-x2)的单调递减区间是(0,1),

故选：D.

【点评】本题考查了复合函数的单调性，重点考查了对数函数的单调性，属基础题.

4.(2021•甲卷)设/(X)是定义域为R的奇函数，且/(1+x)(-x).若八-工)=L则/(§)

333

=()

A.B.-Ac.AD.5

3333

【分析】由已知f(-x)=-/(x)及/(1+x)--f(x)进行转化得f(2+x)—f(x)，再结合f(-A)

3

=」从而可求.

3

【解答】解：由题意得/(-X)=-f(X),

又/(1+冗)=/(-%)=-/(X),

所以/(2+x)—f(x)t

又了(」=L

33

则/($)=/(2-A)=/(-A)=L

3333

故选：C.

【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题.

5.(2022•甲卷)函数)，=(3,-3")cosx在区间L三，二］的图像大致为()

22

汁

lk/\

A.

【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可.

【解答】解：/(X)=(3、-答X)COSX,

可知/(-x)=-3了)cos(-x)=-(3A'-3cosx=-f(x),

函数是奇函数，排除80；

当x=l时，/(1)=(3-31)cosl>0,排除C.

故选：A.

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题.

6.(2022•乙卷)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)

22

=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4,则=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【分析】由)，=g(x)的对称性可得/(x)为偶函数，进而得到了(X)关于点(-1，-1)中心对称，所以

/(I)=/(-1)=-1,再结合/(x)的周期为4,即可求出结果.

【解答】解：♦.>=g(x)的图像关于直线x=2对称，则g(2-x)=g(2+x),

'：f(x)+g(2-x)=5,：.f(-x)+g(2+x)=5,：.f(-x)=/(x),故/(x)为偶函数，

;g(2)=4,/(O)+g(2)=5,得/(O)=1.由g(x)-/(x-4)=7,得g(2-x)=/(-x-2)+7,

代入f(x)+g(2-x)=5,得f(x)+fC-x-2)--2,故/(x)关于点(-1,-1)中心对称，

：.f(1)=/(-1)=-1,由/(x)■>/(-x-2)=-2,/(-x)=f(x)，得f(x)+f(x+2)=-2,

:.f(x+2)+f(x+4)=-2,故f(x+4)=f(x),f(x)周期为4,

由/(0)+f(2)=-2,得/(2)=-3,又/(3)=/(-1)=f⑴=7,

22

所以£/(%)(1)+6f(2)+5f(3)+5/(4)=11X(-1)+5X1+6X(-3)=-24,

k=l

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.

7.(2021•新高考H)已知函数/G)的定义域为R(/(%)不恒为0),f(x+2)为偶函数，/(2x+l)为

奇函数，则()

A./,(-A)=0B./(-1)=0C.八2)=0D./(4)=0

2

【分析】根据f(x+2)为偶函数，可得/(x+4)=/(-x),/(2x+l)为奇函数，可得/(-2x+l)=-/

(2x+l),即可判断选项.

【解答】解：•.•函数f(x+2)为偶函数，

：.f(2+x)=f(2-x),

V/(2x+l)为奇函数，

：.f(1-2r)=-f(2x+l),

用x替换上式中2x+l,得/(2-x)=-/(%),

/./(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即/(x)=f(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

V/(2x+l)为奇函数，

：.f(1-2x)=-/(2x+l),即/(2x+l)+f(-2x+l)=0,

用X替换上式中2x+l,可得，f(x)4/(2-x)=0,

f(x)关于(1,0)对称，

又・・・/(1)=0,

：.f(-1)=-/(2+1)=-/(-1)=0.

故选：B.

【点评】本题考查了函数的奇偶性的综合应用，属于中档题.

8.（2021•乙卷）设函数/（x）=上①，则下列函数中为奇函数的是（）

1+x

A./（x-1）-1B.fCx-1）+1C.f（x+1）-1D.f（^+1）+1

【分析】先根据函数f（x）的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图

象的对称中心为（0,0）,从而得到答案.

【解答】解：因为/（x）=旦=-但+1）+2g,

1+x1+xx+1

所以函数/（x）的对称中心为（-1,-1）,

所以将函数/（X）向右平移一个单位，向上平移一个单位，

得到函数（X-1）+1,该函数的对称中心为（0,0）,

故函数y=/（x-1）+1为奇函数.

故选:B.

【点评】本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定了（x）的对称中心，考查了逻辑推

理能力，属于基础题.

9.（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

【分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在（1,3）存在零点，可排除8选项，再利用基本不等

式可判断CO选项错误.

【解答】解：首先根据图像判断函数为奇函数，

其次观察函数在（1,3）存在零点，

3_

而对于B选项：令y=0,B|JX-x=Q,解得x=0,或x=l或x=-l,故排除B选项;

x2+l

C选项：当x>0时,2%>0,7+1>0,因为cosxH-1,1],故2xcosx42x=_2=且当。>()时,乂4〉2,

x2+lx2+l乂二x

X

o

故一二|-《1，而观察图像可知当了>0时、/(x)〃心21,故C选项错误.

X.

X

同理£>选项，?+1>0,sirirGt-1,1],2岁矮,当x>0时，xd〉2，故一\41，故排除。

x2+lx2+lx乂二

X

选项；

故选：A.

【点评】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题.

10.(2022•新高考H)已知函数fG)的定义域为R,且/(x+y)+f^x-y)=/(x)f(y),/(I)=1,

22

则£/(%)=()

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

【分析】先根据题意求得函数/(])的周期为6,再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解.

【解答】解：令y=l,则f(x+1)+/(x-1)=f(x),即/(x+1)=f(九)-f(x-1),

/./(x+2)=f(x+l)-/(x),f(x+3)=f(JC+2)-f(x+1),

：.f(x+3)=-/(x),则f(x+6)=-f(x+3)=f(x),

：.f(x)的周期为6,

令x=l,y=0得/(I)4/(1)=/(1)X/(0),解得/(0)=2,

又/(x+1)=f(x)-/(x-1),

：.f(2)=/(1)-f(0)=-1,

/(3)=/(2)-/(I)=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-1,

f(5)=/(4)-/⑶=1,

f(6)=/(5)-/(4)=2,

6

・•・£f(k)=1-121+1+2=0，

k=l

22

・•・£f(k)=3X0+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=/(1)V(2)+f(3)4/(4)=-3・

k=l

故选：A.

【点评】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力，属于中档题.

11.(2021•甲卷)设函数f(x)的定义域为R,/(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当2］时，f

(x)=a^+b.若f(0)+f(3)=6,则/(且)=()

2

A.-9B.-3C.1D.5

4242

【分析】由/(x+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，可求得f(x)的周期为4,由/(x+1)为奇函数，可得

/(1)=0,结合/(0)+f(3)=6,可求得“，人的值，从而得到x€［l,2］时，/(%)的解析式，再利用周

期性可得“怖)=/(1)=-八_|),进一步求出呜)的值.

【解答】解：(x+1)为奇函数，."(1)=0,且f(x+l)=-f(-x+l),

'：f(x+2)偶函数，(x+2)=/(-x+2),

.,.JI(x+1)+1J=-J［-(x+1)+1］=-f(-x),即f(x+2)=-/(-x),

：.f(-x+2)=/(x+2)=-/(-%).

令t=-x,则/(f+2)=-/(，),

：.f(r+4)=-f(r+2)=/(O,：.f(x+4)=f(x).

当2］时，f(x)=ax2+h.

f(0)=f(-1+1)=-f(2)=-4a-b,

f(3)=/(l+2)=/(-1+2)=/(1)=a+b,

又)(0)^(3)=6,A-3a=6,解得。=-2,

*//(1)=a+b=0,：・b=-a=2,

.,.当回,2］时，f(x)=-27+2,

：.f(2)=/>(▲)---f(2)--(-2x9+2)=旦

22242

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.

二.填空题(共8小题)

12.(2021•新高考II)写出一个同时具有下列性质①②③的函数：/Xx)=x2.

®f(xix2)-/(xi)/(%2)；②当(0,+8)时，f(x)>0；@f(x)是奇函数.

【分析】可看出f(x)=)满足这三个性质.

2i222

【解答】解：f(X)=xBJ-,f(xx2)=(xx2)=xx2=f(x)f(x2)；当xe(0，+8)时，/'

(x)=2x>0；f(x)=2x是奇函数.

故答案为：/G)=，.

另解：基函数f(x)=/*(a>0)即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③，

综上所述，取/(X)=/即可.

【点评】本题考查了事函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题.

13.(2022•全国)设函数J'(x)=a*(a>0,且aWl)是增函数，若「‘1厂'「1则“=3.

f(2)-f(-2)10

【分析】先利用指数基的运算化简求出。，再利用指数函数的单调性求解即可.

【解答】解：•.•函数/(无)=〃(a>0,且nWl),

•a_a_1_3

，

"f(2)-f(-2)a2,a-2a+a-l1o

.•.3d-10a+3=0,

.,.a=3或a=—,

3

•••函数f(x)=〃(a>0,且是增函数，

•=a=3,

故答案为:3.

【点评】本题考查指数函数的单调性和指数基的运算，属于基础题.

14.(2022•全国)设f(x)是定义域为R的奇函数，g(x)是定义域为R的偶函数.若f(x)+g(x)=

2X,贝Ug(2)=JZ.

一8一

【分析】由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值.

【解答】解：由/(x)是定义域为R的奇函数，可得/(-2)=-/(2)；

由g(x)是定义域为R的偶函数，可得g(-2)=g(2).

若/(尤)+g(x)=2X,则/(2)+g(2)=4,①

又/(-2)+g(-2)=-f(2)+g(2)=A,②

4

①+②可得2g(2)=卫，

4

即有g(2)=」工.

8

故答案为：JZ.

8

【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题.

15.(2021•全国)已知函数F(x)=o?+6x+csiru:-2,且f(-2)=8,则/(2)--12.

【分析】由已知得/(-x)+f(尤)=-ax3-bx-csinx-2+ar3+/?x+csinx-2=-4,结合已知/(-2)=8

可求.

【解答】解：因为(x)—aj^+bx+csinx-2,

所以/(-x)+f(x)=-ar3-bx-csinx-2+a)c'+bx+cs\xtx-2—-4,

因为/(-2)=8,

所以f(2)=-12.

故答案为：-12.

【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题.

16.(2021•全国)函数/~(x)=寸2*+1_4*的定义域是.

【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可.

【解答】解：•••函数/(尤)=V2x+1-4x)

.♦.2/1-心0,(2X)2-2・2弋0,

.•.0<2飞2,

二函数/(x)=^2*+1_4*的定义域是(-8,i],

故答案为：(-°°,1].

【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式，是基础

题.

17.(2021•新高考I)已知函数=F(a«2x-2J)是偶函数，则a=1.

【分析】利用奇函数的定义即可求解a的值.

【解答】解：函数f(x)=?(a-2x-2-x)是偶函数，

为R上的奇函数，

故丫=利2厂21,也为R上的奇函数，

所以如=o=a・2°-2°=a-1=0,

所以a—1.

法二：因为函数/(x)(a*2x-2A)是偶函数，

所以/(-x)=/(x),

即-x3(a-2x-2x)=x3(a-2x-2-x),

即/(a*2x-2x)+?(a«2x-2x)=0,

BP(a-1)C2X+2X)?=0,

所以a=l.

故答案为：L

【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题.

18.(2022•乙卷)若/(x)=/川|+匕是奇函数，则〃=_二工_,b=ln2.

1-x2

【分析】显然“W0,根据函数解析式有意义可得，xWl且工卉1二，所以1+工=-1,进而求出a的值,

aa

代入函数解析式，再利用奇函数的性质/(0)=0即可求出〃的值.

【解答】解：f(x)=/川a+——I+Z?,

1-x

若。=0,则函数/(%)的定义域为{x|xWl},不关于原点对称，不具有奇偶性，

*••0,

由函数解析式有意义可得，XW1且4+'卉0，

l-x

a

•.•函数/(x)为奇函数，.•.定义域必须关于原点对称，

1+工=-1,解得

a2

：.f(x)=/川—_\+b,定义域为{RxWl且xW-1},

2(l-x)

由f(0)=0得，ln—+b=O,

2

'.b=ln2,

故答案为：-工；M2.

2

【点评】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题.

19.(2021•新高考I)函数f(x)=|2x-1|-2/nx的最小值为1.

【分析】法一、求出函数定义域，对x分段去绝对值，当时，分析函数的单调性；当■时,

利用导数分析单调性并求最小值，即可得到/(x)的最小值.

法二、令g(x)=\2x-1|,h(x)=2lnx,分别作出两函数的图象，数形结合得答案.

【解答】解：法一、函数/(x)=|2x-1卜2历x的定义域为(0,+8).

当0<x4工时，f(x)=\2x-1|-21nx=-2x+l-2lnx,

、2

此时函数/G)在(0,工］上为减函数，

2

当x>2时，f(x)—\2x-11-2lnx=2x-1-2lnx,

2

则/(x)=2上=2--1),

XX

当(A,1)时，/(x)<0,于(x)单调递减，

2

当(1,+8)时，/(x)>0,f(x)单调递增，

V/(x)在(0,+8)上是连续函数，

.•.当在(0,1)时，f(x)单调递减，当在(1,+8)时，/(X)单调递增.

.•.当x=l时/(无)取得最小值为f(l)=2X1-1-201=1.

故答案为：1.

法二、令g(x)=|2x-l|,h(x)=2bvc,

分别作出两函数的图象如图：

由图可知，f(x)河(1)=1,

则数f(x)=|2x-1|-2加x的最小值为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，利用导数求最值的应用，考查运算求解能力，是中档题.

三.解答题(共2小题)

20.(2020•全国)设函数=「X2+5X+6.

(1)求/(x)的定义域；

(2)求/(x)的单调区间：

(3)求/(x)在区间［1,5］的最大值和最小值.

【分析】(1)解不等式-/+5X+620即可求解;

(2)根据一元二次函数的单调性及复合函数的单调性即可求解;

(3)由(2)中的结论数形结合即可求解.

2>

【解答】解：(1)V/(x)=V-X+5X+6

-/+5x+620,.,.x2-5x-6W0,

-KW6,

：.f(x)的定义域为［-1,6］；

(2)•.•一元二次函数y=-/+5x+6的开口向下，且对称轴为x=上，

2

又疣［-1,6］,...根据复合函数的单调性可得:

/(%)的单调增区间为l1,5］,单调减区间为［5,6j；

22

(3)由(2)可知/(X)在［1,互］上单调递增，在［a，5］上单调递减，

22

.../GO的最大值为/(5)=工，

22

又8-1<5-5,

22

.V(x)的最小值为/(5)=娓,

故/(x)在区间［1,5］的最大值为工，最小值为a.

2

【点评】本题考查一元二次不等式的求解，一元二次函数的单调性，复合函数的单调性，属基础题.

21.(2021•甲卷)已知函数/(x)=\x-2|,g(x)=|2x+3|-\2x-1|.

(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；

【分析】(1)通过对X分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出.

(2)由图像可得：/(6)=4,g(1)=4,若f(x+a)2g(x),说明把函数的图像向左或向右平

2

移同单位以后，/(X)的图像不在g(X)的下方，由图像观察可得出结论.

【解答】解：(1)函数/(x)=|X-2|=1X-2'

2-x,x<C2

4,x>|

3]

g(x)=|2x+3|-|2%―1尸，4X+2,--<x<y.

-4,x<-|-

画出y=/(x)和y=g(x)的图像；

(2)由图像可得：f(6)=4,g(1)=4,

2

若f(x+a)2g(x),说明把函数/(x)的图像向左或向右平移同单位以后，/(x)的图像不在g(x)的下

方，

由图像观察可得：

22

•••”的取值范围为[旦，+8).

2

【点评】本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

©【二年自主招生练】

一.选择题（共1小题）

1.（2022•山西自主招生）如图，半径为1的半圆。与等边三角形ABC夹在两平行线/I,/2之间，h//h,

/与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D,设弧FG的长为x（0<x〈n）,y=EB+BC+C£）,

若/从/I平行移动到/2,则函数y=f（x）的图像大致是（）

【分析】根据给定条件求出函数y=/G）的解析式，再借助函数性质分析选项，即可得答案.

【解答】解：根据题意，正△ABC的高为1,则其边长BC里2，

3

如图，连接OF,OG,过。作ON_L/i于M交I于点、M,过E作EH_L/i于H,

因。尸=1,弧尸G的长为x(0VX<TT),则/FOG=x,又即有NF0N=、NF0G='X，

--

于是得OM=0F.COSNFON=CO4,EH=MN=ON-OM=1-cos^"EB=.o(1-cos^),

22sinoO32

因此，y=EB+BC+CD=2EB+BC=^y^-(1-cos^-)+~=2>/3—^^~cos-,

即f(x)=W§¥cos三，0<x<7T,显然/(x)在(0,n)上单调递增，且图象是曲线，排除选项A,

32

B,

2^2

而f邑)=萌可建01~=2^(1岑~)《西又看二-----C选项不满足，。选项符合

要求，

故选：D.

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的解析式的求法，属于中档题.

二.多选题(共1小题)

(多选)2.(2021•北京自主招生)设a为常数，f(0)V，/(x+y)=f(X)/-+f(>)f(a-x),

则()

A-f(a)《

B-f(x)V亘成立

C.f(x+y)=2f(x)/(y)

D.满足条件的f(x)不止一个

【分析】利用赋值法，对每一项进行判断.

【解答】解：令x=y=0,可得/(0)=2f(0)/(a),结合/(0)=』，解得/(a)=」，故A正确；

22

令y=0,原式化为/(x)=f(x)f(a)+f(0)f(a-x),

代入f(a)q可得/(X)=/(。-x)，所以原式即：f(x+y)=2f(x)f(y),故C正确；

再令得/(2x)=2[f(x)]22o,即函数值非负，

令y=a-x,可得/(a)=2'(x)］2,即/(x)=±-1(负值舍去)，故B正确;

所以仅有一个函数关系式/(x)•满足条件，故。错误.

2

故答案为：ABC.

【点评】本题考查函数性质的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.

=.填空题(共5小题)

3.(2022•南京自主招生)函数尸J7工的值域为“，21.

【分析】求出函数的定义域，利用导数研究出函数的单调性，确定出最值的位置，求出相应的函数值，即

可得到值域

［解答］解：•.j=V7^W15-3x

?Jx-4>0解得4WXW5

115-3x>0

又丫,13^V15-3x-3Vv4

2Vx-42Vl5-3x2Vx-4J15-3x

令y'>0解得x<卫，令y'<0,得x〉卫，故当x』函数取到最大值2

444

又％=4时，y=V3»x=5时，y=l

函数W15-3x的值域为［1，2］

故答案为［1,2］

【点评】本题考查求函数的值域，由于本题函数解析式比较特殊，单调性不易判断出，故采取了求导的方

法研究函数的单调性，确定出函数最值的位置，求出值域，解答本题关键是熟练掌握求导公式，以及掌握

导数法确定函数单调性的步骤.

4.(2021•北京自主招生)定义x*y=±工,则(…((2*3)*4)…)*21=-L西

1+xy-115—

3]+1_]

【分析】令尤=Azi,贝I」x*yML±,设则片-坦,

Z=0,(x*y)

X+1|1+1入J-1Xp,+1v+1z-1

入+1|wl+1

*z=入Nv-l,由此能求出(…((2*3)*4)…)*21的值.

X|1v+1

【解答】解：令》=上二1,尸上1,

入+1+1

入_]+♦_]

贝IJx*)=\+X-1l下,[I-'I=和X|41+,1

X+1|wl+1

其中入=-史工，p=-zil,

x-ly-1

设z=v-l,则v=-空!•，

v+1z-1

(/y)*z=)UV-1,

Xv+1

•••*运算满足:

(1)x*y=y*x,

(2)(,x*y)*z=x*(y*z),

(…((2*3)*4)…)*21

（3sz4s/_22、1

（万）（方）…（⑦）-1

(总)(秘)•22、，

'1八2"20）+1

=-21X11-1

-21X11+1

=116

I15,

故答案为：Hi.

115

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、换元法、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

5.（2022•北京自主招生）设x是非负实数.则y=/Jj+正亍的最大值为_呼•一

【分析】由题意可先对x进行换元，令》=工，可得产」一^+2、工＜丁］丁丁+’'二

222

tVl+tVl+tl（l+t）VHt

返主+1二=&-&（，-僮=）=近-近（'-返-）2+1再利用二次函数求最值即

1+tV1+t1+tV1+t1+t22

可.

=&噜讳ra-加*-磊）=后加1冬2+肾技评嘤

上式等号在即/=1，亦即x=l是时成立,

Vl+tV2

【点评】本题考查函数最值的求法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题.

6.(2022•北京自主招生)设0WMW1(i=1,2,3,4,5),则

3+3+33

|X1-X2||X2-X3||X3-X4|+|X4-X5|+|X5-X1|3的最大值为

[分析]若存在i—j,使得xi—xj,可得|_|3|_33I3+IXc-x1|3

xx+xx|+|X3-X4|+|X4-X5

W4;若不存在i=j,使得刘=芍,WXi.\<Xi<Xi+\fWcxz-1>X/>X/+1,结合4,bE(0,1),则。3+。3<(。+力)

3求解.

【解答】解：若存在使得A7=为，则|xi-X2|,|X2-X3|，仅3-加，|元4-X5|,|邓-刈中至少一项为0,

其它项最大为bWJ3333I比4；

|XI-.X2|+|X2-X3|+|X3-X4|+|X4-X5|+|X5-X1

若不存在i=j,使得Xi=Xj9则有Xi>Xi-1且Xi>Xi+\，或Xi-1<Xi<Xi+\，或Xi-1>Xi>Xi+｛，

如果1且第>Xi+l,可知X1〈X2,X2>X39X2<X3,X3>X4,矛盾；

因此有xi-1<xi<xi+\,或r-1>x〉r+i,

+3=

对于该两种情况,都有Ixi-Xnp+Ixo-Xql^*^I|xi-x2l|x2-x3|||xi-X3|

33333

•**|X1-X2|+|X2-X3|+|X3-X4|+|X4-X5|+|X5-X1|<1+1+I+1=4.

综上所述，IX「X2I3+IX2-X3I'+IX3-X47+IX4-X5I'+IX5-X1I太上

即Ix「X2I'+IX2-X3—+IX3-X4IjIX4-X5I'+IX5-X1I3的最大值为4.

故答案为：4.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化、分类讨论思想，考查运算求解能力，是中

档题.

7.(2021•广东自主招生)写出一个函数/(x)=-7+1,使得f)=f(/(y))+2xf(y)

-1对于任意的x,yeR恒成立.

【分析】利用迭代和换元的思想方法解决问题.

【解答】解：用及(x)表示两次迭代即及(x)=f(/(x)),则令/(x)xfy有

(0)=2=

/f2(x)+2f(x)+f2(x)-l^(X)=-f2(x)4X^L+l,

2

令f(x)-X,yfy有f(x-y(y))=fi(y))+2f(x)f(y)+[-f(x)+，-1

=-[/Xx)-f(y)]2V(0),

x-f2(u)

再令x,u-^y有

2f(u)

,X-f2(u)

/(--i)

2f(u)

这说明任意的X都能用/(s)-/(f)+1的形式表示，所以有

f(x)=-/+/(()),代回原式得到/(0)=1,

故答案为：/(x)=-?+1.

【点评】本题考查抽象函数的性质，属于中档题.

四.解答题(共3小题)

8.(2022•上海自主招生)偶函数fG)满足f(x+4)=/Qx)+2f(2),求f(2022)的值.

【分析】由偶函数的定义和赋值法，可得/(2)=0,推得/(x)的周期，计算可得所求值.

【解答】解：偶函数/G)满足/(x+4)=/(x)+2f(2),

令x=-2,则/(2)=/(-2)+2/-(2),

即/⑵V<-2)=0,

又/(-2)=/(2),可得/(2)=0,

所以f(x+4)=f(x),

即/G)的最小正周期为4,

所以/(2022)=/(4X505+2)=/(2)=0.

【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

9.(2022•山西自主招生)试求正数r的最大值，使得点集7={(x,y)仇、y€R,且/+(y-7)

一定被包含于另一个点集S={(x,y)仅、)WR,且对任何。6R,者隋cos20+xcose+y20}之中.

【分析】根据题意可得半径为，的圆的圆心(0,7)到直线y=-xcos。-COS20的距离为户型2、

v1+cos29

应满足产湮29—,利用基本不等式，即可得出答案.

V1+cos29

【解答】解：S集即为由直线y=-^cos6-cos20确定的上半平面的交集(9不同，相对应的上半平面一般

也不同，但所有的这种上半平面有公共部分即交集；另外，可以规定上半平面也包含可这条直线)，而半

径为r的圆的圆心(0,7)到直线y=-xcose-cos20的距离为广皿28,

Vl+cos29

由题意知，r应满足K7+COS2S,

V1+cos28

故r的最大值为w=7+COS2)的最小值,

V1+coS20

2cos28+62(1+cos26)+4

而W2Vl+cos20

Vl+cos29Vl+cos29Vl+cos20

=4近,

等号成立当且仅当2d]+CQs28=/4,，即cos6=±1时成立,

Vi+cos2e

所以rmax=4\[^.

【点评】本题考查函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题.

10.(2021•南京自主招生)已知0W〃+b,b+c,c+aWl,求M=y|a-bIWIb-cIWIc-v|的最值.

【分析】由题意易知，〃=6=国0,』时，M加〃=0；求最大值时，设x=〃+〃，y=h+c,z=c+a,假设

2

2z,由柯西不等式得出“x-y+Jy-zW&,。x-z，即可求最大值.

【解答】解：因为0W〃+b,b+Cfc+aWl,

所以当4=6=。10,工]时，Mmin=0；

2

设X=Q+6,y=b+c,z=c+〃，则有x,y,zG[0,1],

假设x2y2z,

由柯西不等式可得：(Jx-y+Jy-z)2=(Jx-yX1+Jy-zX1)2：$[(Vx-y)2+Wy-z)2r(12+12)

=2(x-z),

所以Vx-y+Vy-zWV2,Vx-z，

所以M=y]x-y+Ny-z+Nx-zW(5/2+1)Vx-z^V2+l>

当x=l,y=A,z=0,即a=_k,h=—,c=-1>时，等号成立，

2444

所以M”r=&+1.

【点评】本题考查了柯西不等式及用换元法求代数式的最值，难点在于由柯西不等式得出三w

&TX-Z，属于难题.

【最新模拟练】

选择题(共10小题)

1.(2022•瑶海区校级模拟)函数/(X)=(3x-/)《联的部分图象大致为()

【分析】首先判断了(幻的奇偶性，再求/(x)的零点，计算的符号，由排除法可得结论.

2

【解答】解：函数F(x)=(3x-%3)・$加的定义域为R,/(-%)--(-3X+J?)・sin(-x)—f(x),

则/(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B；

由/(x)=0,可得x=0,或》=±5/§,或x=Kr,kez,故排除c；

由/(2)=(-2.-A)«sinA>0,故排除A.

2282

故选：D.

【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题.

2.(2022•香坊区校级模拟)己知函数f(x)=sin(2x-2)+e'x-'+2,若/(/+])+于(2a-2)>4,

则实数a范围是()

A.(-8,-3)B.(-8,-3)u(1,+8)

C.(-3,I)D.(1,+8)

【分析】根据题意，设g(x)=/(x+l)-2=sin2x+eF-/,分析其导数，可得了(》)的单调性，由此可

以将原不等式等价变形，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，g(x)—f(x+1)-2=sin2x+e5-g1(x)=2cosx-(/*+/),

又由e"+F2222cosx,则g'(x)WO,则g(x)在R上为减函数，

又由g(-x)=sin(-2r)+/-ex,则g(x)+g(-x)=0,函数g(x)为奇函数，

故函数/(x)的图象关于点(1,2)对称，在R上为减函数，

若/(/+])4y(2〃-2)>4,即f(/+i)-2>-(/(2a-2)-2),必有g(/