高数-10寒-02-二次函数-教师版

一、二次函数的解析式的三种形式

1.一般式：/（x）=ox2+/?X+C（＜2^0）

2.顶点式：/（%）=〃（%-力）2+左（々力0）,其中k=f（h）（h,k）为抛物线的顶点坐标.

3.交点式（零点式）：/（X）=Q（X-玉）（工一九2）（〃W。），（玉,0）和（九2,。）为抛物线与X轴的

交点坐标.

二、二次函数的图象及性质

A，一

二次函数丁=以2+/^+。的图象的对称轴方程是％=—2,顶点坐标是——,-----

2aI2a4a

当。＞。时，函数在-2,+8］上是增函数，在1-00,-2上是减函数；

i2aJI2a\

当a＜0时，函数在1-8,-2上是增函数，在-2,+oo］上是减函数.

I2a2a）

三、根与系数关系

2

设f[x}=ax+Z?x+c(aw0)的两根为xvx2,

则有X]+%2=------9XyX2=—,卜]一%2I=+%)2-4再%2=~

aa网

四、一元二次方程根的分布:

22

设/(x)=ax+bx+c(aw0,A=Z?-4ac>0)的两根为xvx2.,

A>0A>0

-2〉o-2<o

1.%>0,x2>00<2.%1<0,x2<0<=><

aa

c

->0>0

a、a

王<0,x>0o£<00/(0)<0

3.2

a

A>0A>0

bb

4.匹</<加o<-------<m5.加<匹<%2=<------->m

2ala

f(m)>0/(加)〉o

f(m)<0

6.xx<m<x2/(ni)<07.x[<m<n<x2O<

/(«)<o

A>0

b

m<-------<n

8.m<xx<x2<no<2a

/(m)>0

7■⑺〉o

7"(如<o7"(刈)>0

9.xi<m<x2<n<^<10.m<xx<n<x2<^<

/(H)>o/(n)<0

11./（x）=ax2+bx+c=G^{m,ri）内恰有一解〈。或，加）=0（检验另一根

在（冽,〃）内）或/（几）=0（检验另一根在（北〃）内）

/(m)>0

/(«)<0

12.m<xi<n<p<x2<qo<

,一'f(p)<。

J(q)〉O

讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符

号；③对称轴与区间的相对位置

五'一元二次函数在给定区间上的值域

设/(%)=依2+/zx+c(a>。)‘xe[m,n](m<n)

A

1.当五时，/(X)的值域为"(初”加小

AA

2.当〃z〈一丁〈”时，/加=/(—丁)，finax=}Tiax{f(m),f(n)}；(如果再细分的话，

2a2a

是什么情况呢，让同学思考)

A

3.当-五<帆时，/(%)的值域为

讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向

六、二次函数'一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

设/(1)=加+bx+c^a>0)

①A<0o函数y的图像与x轴无交点o方程〃刈=0无实根o不等式/(刈>0

的解集为R=不等式f(x)<Q的解集为0；

②A=0o函数y=/(刈的图像与x轴相切o方程/(刈=0有两个相等的实根=不等式

b

/(X)>0的解集为\xx^----卜；

2a

③A>0o函数y=f(x)的图像与x轴有两个不同的交点o方程f(x)=0有两个不等的实根:

a，口（设a<0o不等式”xJ>0的解集为（-°o,a）（小,内）o不等式f（x）<0的解集为

（。,尸）.

一、二次函数的概念

【例1】若〃x）=—三+仅+2）x+3,xe也c］的图像关于x=l对称，则°=

【难度】★

【答案】2

【解析】由题意可知2^=1,解得办=0,.•.匕上=1,解得c=2.

22

【例2】已知二次函数/（%）=以2+bx+c,如果/（玉）=/（%2）（其中石W4）,则/

【难度】★

4ac-b2

【答案】

4a

【例3】若函数〃%）=（加—1）9+（加—1卜+1是偶函数，则在区间（YO,0］上/（%）是

A.增函数B.减函数C.常数D.可能是增函数，也可能是常数

【难度】★

【答案】D

【解析】函数/(尤)无2+(疗-l)x+l是偶函数=>m2-1=0=>7"=±1,当"2=1时,

/(x)=l是常数；当机=—1时，/(%)=—2*+1,在区间(—8,0］上〃尤)是增函数，故选D.

【例4】已知函数/(x)=-f+依在［2,4］上是单调函数，则实数左的取值范围为.

【难度】★

【答案】kW4或左28

【解析】函数/(%)=——+丘的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是x=1,

k

•：已知函数在［2,4］上是单调函数，；.区间［2,4］应在直线x=-的左侧或右侧，

2

即有&V2或幺24,解得上W4或左28.

22

【巩固训练】

1.若函数/(%)=ar?+Z?X+3Q+/?(Q-1V%<2〃)是偶函数，则点(a,b)的坐标是.

【难度】★

【答案】

【解析】根据题意可知应有a—1+2a=0旦b=0,即a=g目2=0,..•点(。1)的坐标是

2已知函数2)*+以+,且小+2)是偶函数，则/⑴，吟用)的大小关系是()

A./(|)</(1)</(1)B./(I)</(1)</(1))

C.D,/(1)</(()</(1)

【难度】★

【答案】A

【解析】由/(x+2)是偶函数可知函数/(幻=/+办+入关于直线x=2对称，所以/⑴=/(3),

又该函数图象开口向上，当x>2时单调递增，故/(g)</(I)</(g),故答案为A.

3.已知函数/(x)=必+2ox+2,xe［-5,5］,且函数在［-5,5］上是单调函数，则a的取值范围是

【难度】★

【答案】。4一5或。之5

二'和二次函数相关的函数的值域和最值问题

【例5】如果函数/(x)=(x—iy+1定义在区间%/+1］上，求/(x)的最小值.

【难度】★★

【答案】

/(%)min=1,0</<1

产+1z<0

【解析】函数/(X)=(X-1)2+1,其对称轴方程为X=l,顶点坐标为(1,1),图象开口向上.

如图1所示，若顶点横坐标在区间上/+1］左侧时，有1</,此时，当X=t时，函数取得最小值

2

/（x）min=/（o=a-i）+i.

图1

如图2所示，若顶点横坐标在区间上4+1］上时，有+即OW/VL当x=l时，函数取

得最小值/(X)min=/'⑴=L

图2

如图3所示，若顶点横坐标在区间［。+1］右侧时，有/+1<1,即/<0.当x=/+l时，函数取得

最小值/（乃„1m=/«+l）=『+L

图3

综上讨论，/(x)mm=1,0<r<l

〃+1f<0

【例6】已知函数/。)=。必+2奴+1在区间［-3,2］上的最大值为4,求实数a的值.

【难度】★★

3

【答案】或a=—3

8

【解析】/(x)=«(x+l)2+l-«,xe［-3,2］

(1)若a=0,/(x)=L，不符合题意；

3

(2)若a>0,则/(x)3=/(2)=8a+l,由8a+l=4,得。=—；

8

(3)若。<0时，则/(%)111ax=/(—1)=1—a,由1—a=4,得a=—3；

3、

综上知a=—或a=-3

8

Y2

【例7】已知函数/(%)=啜+%在区间［北川上的最小值是3加，最大值是3〃，求加，〃的值.

【难度】★★

【答案】m=—4,n=0

【解析】由/(%)=-工(九一1)2+工，知则［加,利］口(-00,1］,

2226

f(x)——3n

又•.•在［7〃,汨上当X增大时/(X)也增大所以〈八，解得771=-4,〃=O.

J(x)1rali=/(m)=3m

【例8】函数y=VTFI++Jl-x2的值域是

【难度】★★

【答案】［V2,3］

【解析】设+则〃=2+2jl—%2,贝uJ1—

22

:.2<e<4,故行孕<2,又因为y=/+42=52+—i,所以原函数的值域为卜历,3］

【例9】已知函数y=J匚1+71+3的最大值为M,最小值为加，则/的值是

【难度】★★

【答案】，

【解析】由题意得<1：；：；,解得—3WxWl,y2=4+2j（l—山+3）=4+2,—（x+iy+4,

mV2

所以当x=—1时，y的最大值〃=2后，当x=—3或1时，y的最小值m=2

~M~^~

【巩固训练】

1.若函数y=2—无e[0,4]的取值范围是.

【难度】★

【答案】[0,2]

2.设/(x)=x2-4x-4,xe[?J+1]。eR),求函数/(x)的最小值g⑺的解析式.

【难度】★★

厂--7/e(-8,1)

【答案】g⑺=—8/e[l,2]

3.函数y=炉+4&-2尤2的值域是

【难度】★★

【答案】-,4

_2_

______]_.2

【解析】令t=^l-2x2,则/=二_,由％220和非负性得到0＜，＜1,则

2

[一户11「1一

y-------=—产+4%H—，可得原函数的值域为一,4

2222

4.函数y=Vx-3+j5-x的值域为

【难度】★★

【答案】[V2,2]

3>0_________

【解析】由题意得—,解得3WxW5,y2=2+2)(九一3)(5一%)=2+2)—(龙一4)2+1,

5-x>0

所以可得2</<4,由y的非负性知原函数的值域为卜历,2]

3

5.已知二次函数〃"=依29+(2。—1及+1在区间[—5,2]上的最大值为3,求实数Q的值.

【难度】★★★

12

【答案】。=—或。=一一

23

【解析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分。>0与。<0两大类五种情形讨论，过程

繁琐不堪.若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数

值，再检验其真假，过程就简明多了.

具体解法为：

(1)令/(_^^)=3,得a=—1

2a2

31

此时抛物线开口向下，对称轴方程为％=—2,且-2w[-^,2],故--不合题意；

22

(2)令/(2)=3,得

此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故。=!符合题意；

2

32

(3)若/(——)=3,得。=——

23

2

此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故〃=--符合题意.

3

12

综上，a=一或。=—.

23

三、一元二次方程根的分布

【例10］求实数m的范围，使关于x的方程/+2(相—1)X+2M+6=0.

(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小.

(2)有两个实根a,夕，且满足0<c<1</?<4.

(3)至少有一个正根.

【难度】★★

75

【答案】(1)m<-l;(2)----<m<——;(3)m<-1

54

【解析】y=/(x)-x2+2(m-l)x+2m+6.

(1)依题意有/(2)<0,即4+4(m—l)+2〃z+6<0,得根<—1

⑵依题意有

/(0)=2m+6>0

75

\/(I)=4m+5<0解得：---<m<——.

54

/(4)=10m+14>0

(3)方程至少有一个正根，则有三种可能:

A>0m<-1或机>5

①有两个正根，此时可得＜f(0)>0，即<m>-3—3<m<—1.

冽心>0m<l

-2

②有一个正根，一个负根，此时可得/(0)＜0,得加＜—3.

6+2m=0

③有一个正根，另一根为0,此时可得＜m=—3.

2(m-l)<0

综上所述，得mW-1

【例11］已知。是实数，函数/(x)=2奴②+2x-3-a,如果函数y=/(x)在区间［—1,1］上有零点,

求a的取值范围.

【难度】★★

_3_yfy

【答案】Y或二之1

【解析】函数y=/(X)在区间［—1,1］上有零点，即方程/(x)=2a?+2x-3-a=0在［-1,1］上有解,

。=。时，不符合题意，所以a#。，方程/(%)=(在［—1,1］上有解。1)"(1)WO或

叭1)>0

△=4+80(3+0注°01£^5或。<^^或。之50。〈^^或^1.

122

—£[—1.1]

a

_3_

所以实数。的取值范围是a＜二^—或a21.

【例12】对于函数/(x),若存在光()eH,使/(%)=/，则称X。是/(X)的一个不动点，已知函

数/(%)=加+(Z?+l)x+(Z?-l)(«w0).

(1)当a=l3=—2时，求函数/(x)的不动点；

(2)对任意实数匕，函数/(x)恒有两个相异的不动点，求。的取值范围.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】(1)/(%)=X2-X-3,5是/(X)的不动点，则/(尤)=/2-/一3=%，得％=-1或

%=3,函数/(X)的不动点为—1和3.

(2)：函数/(x)恒有两个相异的不动点，，/(x)—x=ajc2+bx+(b-l)=0恒有两个不等的实根,

△=/—4a(6—l)=/—4ab+4a>0对恒成立，/.(4«)2-1&<C,得a的取值范围为

(0,1).

【例13】设二次函数/(x)=a\+(c»0,方程/(x)—玲(的两个根和々满足

0<%!<%<—.

2a

(1)当无£(0,玉)时，证明X</(X)<M；

(2)函数/(x)的图像关于直线x=/对称，证明：x0<y.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】(1)由题意可知-x=a(x-x^x-x2)

0<x<Xj<x2a(x-xj(x-x2)>0,.♦.当当x£(0,玉)时，/(x)>x.

a一

又/(x)-x1=a(x-xr)(x-x2)+x-xl=(x-)(ax-ax2+1),

%一再<0且。九一。犬2+1>1一。九2〉0，二/(工)<%，综上可知，所给问题获证.

°b-1

(2)由题意f(x)-x=ax+(b-l)x+c,它的对称轴方程为冗二----，

-2a

由方程/(X)—X=O的两个根石,％2满足0<芯<%2〈工，可得

a

„b-11口b-1b-1

t)<%<----<XV-且------%1=X?------,

—2a2ci—2a—2。

.b—1_b—11b—1

••••Xi—x0<,

—2。—2aa—2a

b—b,,x

即nn---<玉，而毛=-----，故无。<—}•

a2a2

【巩固训练】

1.已知方程41+2(m一l)x+(2m+3)=0(根eR)有两个负根，求加的取值范围.

【难度】★

【答案】m>ll

2.已知抛物线丁=2f-7加+m与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段(除去两个端点)

有公共点，求切取值范围.

【难度】★★

【答案】(—8,0)(0,3-272]

3.已知关于x的二次方程式+27nx+2m+1=0.

（1）若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求加的范围.

（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求机的范围.

【难度】★★

【答案】（-•I',-、）；（-彳,1-五］

622

4.二次函数/(x)=px?+qx+厂中实数满足一H——-——F—=0,其中加>0,求证:

'm+2m+1m

(1)川(7)<0；

(2)方程/(x)=0在(0,1)内恒有解.

【难度】★★★

【答案】见解析

【斛析】(1)pf{——-)=p[p(——-)-+<7(——-)+r]

m+1m+1m+1

pmqrpmp

=pm[r---------H--------1——J=pm[]

(m+1)m+1m(m+1)2m+2

m(m+2)-(m+1)2

=小2[r(2而说)一]n

=p2m

(m+l)2(m+2)

rn

由于/(x)是二次函数，故pwO,又加>0,所以，pf{--)<0.

m+1

(2)由题意,得/(0)=r,/(1)="+q+r,

rn

①当2>0时，由(1)知/(——)<0,

m+1

若r>0,则/(0)>0,又/(一生一)<0,所以/(x)=。在(0,—经一)内有解；

m+1m+1

若贝11/(1)=p+q+r=/7+(m+l)(------------—)+r=------—>0,

m+2mm+2m

又/(“一)<0,所以/(x)=。在(/L,1)内有解•

m+1m+1

②当。<0时同理可证.

故方程/(x)=0在(0,1)内恒有解.

四、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系

【例14］是否存在实数a、b、c,使关于x的不等式依2+区+。>。的解为一L<x（工？若存在,

32

请解不等式—法—。<0；若不存在，请说明理由.

【难度】★

【答案】存在，「<0且人=—^a,c=—工。时满足条件；不等式解集为（TO,—2）（3,^o）

x~_x_2>0<、

【例15】已知不等式组{,的整数解的集合是1-2},求实数左的取值范围.

2/+（2左+5）x+5左<0

【难度】★★

【答案】-3<k<2

【例16】已知二次函数/(同=依2+公+。的图象过点(―1,0),问是否存在常数a、b、C,使不等

式x4/(x)<；(l+x2)对一切xeH都成立？

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】假设存在常数〃、b、。满足题意，

,.,/(X)的图象过点(—1,0)»•**f(—1)=ci—b+c=0@

又；不等式x</(x)<g(1+/)对一切尤eH都成立，

.•.当尤=1时，l</(l)<g(l+F),即lWa+b+cWl,.••a+/?+c=l②

由①②可得：ti+c——1f(JV)—cix^+—x+(――a),

由尤</(%)<；(1+%2)对一切R都成立得：x<ax2+gx+(；-a)4；(1+%2)恒成立,

11

ax2——%+(——a)>0

・•・<22的解集为R,

(2a—I)%2+x—2a<0

2〃一1<0a>0a<—1

\11且《，即《_且42,••a=—

——4a(——a)<0[l+8a(2a—1)<0[(l-W<024

、42[U—4a)—u

c=L,.♦.存在常数a=L/=Lc=L使不等式x</(x)〈工(1+/)对一切xeH都成立.

44242

【巩固训练】

1.不等式9—依—6<0的解集为（2,3）,贝I不等式法2—公―1>。的解集为.

【难度】★

【答案】口,一］

2.已知关于x的不等式0£X2+办+5<4恰好有一个解，则。的值为.

【难度】★★

【答案】±2

3.不等式2%2—X—1>。的解集为A,集合6=卜（2工+5）（%+。）<。}.设z为整数集，若

An5nz={-「2},则实数a的取值范围是.

【难度】★★

【答案】［—2,1）

五'二次函数的实际应用问题

【例17】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼

时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度V（单位：千克/年）是养殖密度X（单位：尾

/立方米）的函数.当X不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4KxW20时，v是x

的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）.

（1）当0<xV20时，求函数v（九）的表达式;

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)/(x)=x“(x)可以达到最大,

并求出最大值.

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】⑴由题意：当0<xW4时，v(x)=2；

当4<xW20时，设v(x)=ax+b,显然v(x)=ox+b在［4,20］是减函数,

1

a=——

20a+b=0解得8

由已知得<I

4〃+人=2

b=-

[2

2,0<x<4,xeN*

故函数y(x)=4i5

——x+—，4<X<20,XGN

[82

2%,0<xK4,xeN*

(2)依题意并由(1)可得y(x)=.

125

4KxK20”N*.

I82

当0WXW4时，/'(X)为增函数，^Znax(^)=/(4)=4X2=8'

2

当4WxW20时，/(X)=--X2+-X=--(X2-20X)=--(X-10)2+—,

v782888

4⑴="0)=125.

所以，当0<xW20时，/(X)的最大值为12.5.

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米.

【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的

下部ABCD是矩形，其中A3=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为A3的中

点.AEMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），是可以沿设施边框

上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.

（1）设与A3之间的距离为x米，试将AEMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数;

（2）求AEMN的面积S（平方米）的最大值.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】（1）①如图1所示，当"N在矩形区域滑动，

即0<xWl时，AEW的面积S=LX2XX=X；

2

②如图2所示，当在三角形区域滑动，

即l<x<l+Q时，如图，连接EG,交CD于点、F,交MN于悬H,

E为AB中点，

产为中点，GF^CD,且=

又：MN!/CD,/.AMNGNDCG.

：.3=空,即MN-2[6+1T]

DCGF6

一"(1+3

故的面积S=

综合可得：

x,(OVxWl)

s=v+h+x.

[—3也I也3]J

（2）①当MV在矩形区域滑动时，S=x,所以有0<SWl；

S=—母》2+（1+苧x

②当MN在三角形区域滑动时,

因而，当》=匕@（米）时，S得到最大值，最大值5=工+且（平方米）.

223

,/-+—>1,AS有最大值，最大值为4+鱼平方米.

2323

【巩固训练】

1.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始

时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分

散，设/⑺表示学生注意力随时间分钟）的变化规律（/⑺越大，表明学生的注意力越集中），

经过实验分析得知：

-r2+24/+100,0</<10

/⑺=<240,10<?<20

—7/+380,20</V40

（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最为集中？能持续多少分钟？

（2）讲课开始后5分钟和讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更为集中？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排，

老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？

【难度】★★

【答案】见解析

【解析】（1）—产+241+100=—«—12）2+244

则/⑺最大值为240,即开课开始后10分钟，学生的注意力最为集中，能持续10分钟.

（2）*5）=195,/（25）=205,/（25）>/（5）,所以开课后25分钟学生的注意力更为集中.

(3)/(0>180

当0W/W10时，一产+2夕+100之180,4<r<10；

当10</W20时，2402180恒成立;

当20</W40时，一7f+3802180，t<-

7

则te[4,迎]时，学生注意力至少达到180,2（）（^-4>24,则从第4分钟开始讲课，老师可以在

77

学生达到所需状态下讲授完这道题目.

2.某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两

种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

年固定每件产品每件产品每年最多可

类别成本成本销售价生产的件数

A产品20m10200

B产品40818120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，

预计me[6,8].另外，年销售x件B产品时需上交0.05V万美元的特别关税.假设生产出来的产

品都能在当年销售出去.

（I）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润%,为与生产相应产品的件数%之间的函数

关系并指明其定义域；

（II）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润%,为分别为:

=10xx-（20+/m;）=（10-m）x-200WxW200且xeN

%=18xx-（40+8x）-0.05x2=-O.O5%2+10x-40

y2=-0.05（x-IO。）?+460,0<x<120,xeN.

（2）9.96<m<8,,10—m>0,...%=（10-根）%一20为增函数，

又04%«200,%£/^/.％=200时，生产A产品有最大利润为（10—加）义200—20=1980—20（历t（万

美元），又为=-0.05（x—100y+460,04尤<120,xwN.."=100时，生产B产品有最大利润为

460（万美元）.

现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：

>0,6<m<7.6

（）max-（y2）max=（1980-200m）-460=1520-200m=0,m=7.6

<0,7.6<m<8

所以：当6Wm<7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；

当m=7.6时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；

当7.6〈机W8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润.

六、二次函数的综合应用

【例19】直线y=l与曲线y=f-|x|+a有四个交点，则实数。的取值范围是.

【难度】★★

【答案】l<a<-

4

【例20］设函数/(%)=%国+瓜+(;(%€尺)给出下列4个命题

①当b=O,c=O时，/(x)=0只有一个实数根；

②当c=O时，y=/(x)是偶函数；

③函数y=f(x)的图像关于点(0,c)对称；

④当bw0,cw0时，方程/(x)=0有两个实数根.

上述命题中，所有正确命题的序号是.

【难度】★★

【答案】①③

【例21】对于定义域为D的函数y=/(x),若同时满足：①/(x)在D上单调递增或单调递减；②

存在区间使/(x)在［a,b］上的值域为［。,同，那么把y=/(x)(尤e。)叫做闭函数.

Y1

(1)判断函数/(%)=—+—,尤£(0,+00)是否为闭函数？并说明理由；

2x

(2)若/(%)=左+是闭函数，求实数上的取值范围.

【难度】★★★

【答案】见解析

【解析】(1)函数在定义域内不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.

(2)若/(x)=k+Jx+2是闭函数,:函数/(幻=左+石石在定义域内单调递增，

a=+二/为方程无=左+五”的两个实数根.

b-左+Jb+2

方程g(x)=x2-(2k+l)x+k2-2=0(x>k)有两个不相等的实根.

A>0

实数上的取值范围为1—g,—2.

...有4g(k)>0,解得keI-,

2k+1,

-------->k

2

【例22】设aeR,函数/(x)-x-\x-a\+2x.

(1)若a=2,求函数/(x)在区间［0,3］上的最大值;

(2)若a>2,写出函数/(x)的单调区间(不必证明);

(3)若存在ae［-2,4］,使得关于x的方程/(x)=/./(a)有三个不相等的实数解，求实数f的取

值范围.

【难度】★★★

x2x>2;

【答案】(1)当a=2,xe[0,3]时，f(x)=x-\x-2\+2x=<

-x2+4x,0<x<2.

作函数图像(图像略)，可知函数/(%)在区间［0,3］上是增函数，所以/(幻的最大值为"3)=9.

x2+(2-d)x,x>a,

(2)/(%)=

-x2+(2+d)x,x<a.

①当尤2a时，/⑴=〃22)~

n—2

因为。>2,所以——<a,

2

所以/(%)在［a,+8)上单调递增.

a+22I(a+2)2

②当x<a时，/(%)=-x------

24

因为a>2,所以"2<a,所以/(x)在1-oo,"2上单调递增，在"2，a上单调递减.

2I2」L2_

综上，函数/(x)的单调递增区间是1-8,3q2和［a,+8),单调递减区间是等，a.

。Io

(3)①当—2WaW2时，色万三《。，色萨2°，所以/(%)在(一8，+8)上是增函数，关于x的

方程于(x)=t-/(«)不可能有三个不相等的实数解.

②当2<aW4时，由(1)知/(幻在1—8,3^和［a,+8)上分别是增函数，在，。上

是减函数，当且仅当2a“/(a)<一时，方程小)="⑷有三个不相等的实数解.

(a+2)2

即1</<

8a8(aJ

4

令g(a)=a+—,g(a)在。£(2,4］时是增函数，故g(〃)max=5.

a

所以，实数r的取值范围是］,•!

【巩固训练】

1.已知函数/(x)=x|x-a|+2x,若a>0,关于x的方程/(x)=9有三个不相等的实数解，则。

的取值范围是.

【难度】★★

【答案】卜，力

2.已知函数一2依+。|,xeR.给出下列命题：

①/(£)必是偶函数；

②/(0)=/■⑵时，/(x)的图像必关于直线x=l对称；

③若/—bvo,则广⑴在区间［a,+oo)上是增函数；

①/(x)有最大值1/一切.

其中，正确命