机械振动学-第五章-两自由度系统振动(讲)

第五章两自由度系统振动§5-1概述单自由度系统的振动理论是振动理论的根底。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的根底。所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k1和k2，质量为m1、m2。质量的位移分别用x1和x2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。(分析)在振动过程中的任一瞬间t，m1和m2的位移分别为x1及x2。此时，在质量m1上作用有弹性恢复力，在质量m2上作用有弹性恢复力。这些力的作用方向如下图。应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式： 〔3.1〕令 那么〔3.1〕式可改写成如下形式：〔3.2〕这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。(分析)在第一个方程中包含项，第二个方程中那么包含项，称为“耦合项”〔couplingterm〕。这说明，质量m1除受到弹簧k1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k2的恢复力的作用。m2虽然只受一个弹簧k2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点m1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。假设加速度之间有耦合的情况，那么称之为惯性耦合。二、固有频率和主振型[创造思维：]从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组〔3.2〕式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组〔3.2〕式的特解为： 〔3.3〕其中振幅A1与A2、频率、初相位角都有待于确定。对〔3.3〕式分别取一阶及二阶导数：〔3.4〕将〔3.3〕、〔3.4〕式代入〔3.2〕式，并加以整理后得： 〔3.5〕上式是A1、A2的线性齐次代数方程组。A1、A2=0显然不是我们所要的振动解，要使A1、A2有非零解，那么〔3.5〕式的系数行列式必须等于零，即：=0将上式展开得： 〔3.6〕解上列方程，可得如下的两个根： 〔3.7〕由此可见，〔3.6〕式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程〔frequencyequation〕或特征方程〔characteristicequation〕。特征方程的特征值〔characteristicvalue〕即频率只与参数a，b，c有关。而这些参数又只决定于系统的质量m1，m2和刚度k1，k2，即频率只决定于系统本身的物理性质，故称为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即称为第一阶固有频率〔firstordernaturalcircularfrequency〕[基频]。称为第二阶固有频率〔secondordernaturalcircularfrequency〕。[〔推广〕理论证明，n个自由度系统的频率方程是的n次代数方程，在无阻尼的情况下，它的n个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。]将所求得的和代入〔3.5〕式中得： 〔3.8〕式中：——对应于的质点m1，m2的振幅；——对应于的质点m1，m2的振幅。由此可见，对应于和，振幅A1与A2之间有两个确定的比值。称之为振幅比〔amplituderatio〕。将〔3.8〕式与〔3.3〕式联系起来可以看出，两个m1与m2任一瞬间位移的比值。系统的其它点的位移都可以由x1及x2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相比照值都可以由振幅比确定，也就是振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型〔principalmode〕，也可称为固有振型〔naturalmode〕。其中：——第一主振型，即对应于第一主频率的振幅比；——第二主振型，即对应于第二主频率的振幅比。当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动〔principalvibration〕。所以，第一主振动为： 〔3.9〕第二主振动为： 〔3.10〕为了进一步研究主振型的性质，可以将〔3.7〕式改写成如下形式：因为因为上式的等式右边恒大于零，所以，由〔3.8〕式知，因为上式的等式右边恒小于零，所以，由〔3.8〕式知，。(说明)由此可见，表示的符号相同，即第一主振动中两个质点的相位相同。因此，假设系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时到达最大偏离位置。而，那么表示第二主振动中两个质点的相位相反，永远相差180°。当质量m1到达最低位置时，质量m2恰好到达最高位置。它们一会相互别离，一会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点”〔nodalpoint〕。“节点”图3.3两自由度系统的主振动与主振型振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i－1个节点。这就是说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数就越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。三、系统对初始条件的响应[思维方式：]前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？这要取决于初始条件。从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解。而它的通解那么应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自由振动应是这些简谐振动的合成。所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：〔3.11〕式中，四个未知数要由振动的四个初始条件来决定。设初始条件为：t=0时，经过运算，可以求出：〔3.12〕将〔3.12〕式代入〔3.11〕就得到系统在上述初始下响应。四、振动特性的讨论1．运动规律从〔3.11〕式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从〔3.7〕式来看，这两个分振动的频率的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。2．频率和振型两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主频率，当系统按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时，任何瞬间的各点位移之间具有一相比照值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。3．节点和节面在两自由度系统的第二阶主振型中存在着节点，而在第一阶主振型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，那么节点数也就越多。一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称为节线〔nodalline〕和节面〔nodalsurface〕。4．阻尼假设系统存在阻尼，那么阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。[例]试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。。又假设初始条件为，试求系统的响应。解：该系统的运动微分方程式为令那么可解出：[类比前面形式]因为 故 根据给定的初始条件，代入〔3.12〕式得：故系统的响应为：§5-3两自由度系统的受迫振动一、系统的运动微分方程和单自由度系统一样，两自由度系统在受到持续的激振力作用时就会产生受迫振动，而且在一定条件下也会产生共振。图3.8所示为两自由度无阻尼受迫振动系统的动力学模型。我们称简谐激振力作用的m1-k1质量弹簧系统称为主系统。把不受激振力作用的m2-k2质量弹簧系统称为副系统。这一振动系统的运动微分方程式为： 〔3.13〕令 那么〔3.13〕式可改写成：〔3.14〕这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组，其通解由两局部组成。一是对应于齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。二是对应于上述非齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动。我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有简谐振动的特解：〔3.15〕式中，B1、B2是m1、m2的振幅，在方程组中是待定常数。对〔3.15〕式分别求一阶、二阶导数，〔3.16〕将〔3.15〕及〔3.16〕式代入〔3.14〕式得： 〔3.17〕这是一个二元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求出：〔3.18〕这就是说，我们期待的方程组〔3.14〕式的简谐振动特解是可以得到的。二、振动特性的讨论1．运动规律由〔3.15〕式得知，两自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是简谐振动。2．频率两自由度系统受迫振动的频率与激振力的频率相同。3．振幅由〔3.18〕式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下：〔1〕激振力幅值p0的影响因为p∝p0，所以p0与B1、B2成线性关系。即p0越大，振幅B1、B2也越大。〔2〕激振力频率的影响为了说明对振幅的影响，我们以B1、B2为纵坐标，以为横坐标，将〔3.18〕式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，或称幅频特性曲线。它说明了系统位移对频率的响应特性。讨论：①当，这说明，此时激振力的作用和静力的作用相当。②当，即激振力频率等于系统第一或第二阶固有频率时，系统即出现共振现象，振幅B1、B2均急剧增加。这就是说，在两自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频率相近时，系统都将产生共振。也就是说，两自由度系统有两个共振区。现在我们来分析一下系统共振时的振型。由〔3.18〕式可得质量m1和m2的振幅比为： 〔3.19〕这说明，在一定的激振频率下，两个质量的振幅比是一个确定值。当激振频率等于第一阶固有频率时，两个质量的振幅比的即为： 〔3.20〕当时，那么 〔3.21〕这说明，系统以那一阶固有频率共振，那么此时的共振振型就是那一阶主振型。这是多自由度系统受迫振动的一个极为重要的特性。在实践中，经常用共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型来判定固有频率的阶次，就是利用了上述这一规律。当故这就是说，副系统通过弹簧k2传给主系统的力，正好与作用在主系统上的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收掉了。主系统的质量m1就如同不受激振力作用一样，保持静止。这种现象可以被利用来作为减小振动的一种措施。当，即激振力的频率很高时，两个质量m1和m2都几乎不动。这时受迫振动现象也进入惯性区了。4．相位由于系统是无阻尼的情况，所以只要观察振幅的正负变化就可以说明相位的变化。现将振幅计算公式〔3.18〕式的分母作如下的变换： 〔3.23〕由系统的频率方程〔3.6〕式，可以得知频率方程的两个根必定满足以下关系式： 〔3.24〕将〔3.24〕式代入〔3.23〕式得： 〔3.25〕因而〔3.18〕式可改写成： 〔3.26〕从〔3.26〕式中可以看出：在阶段，B1、B2均为正值。故质量m1、m2的位移和激振力是同相的，即两个质量的位移也同相。当时，运动的相位对于激振力要出现相位突跳的反相。当时，B1=0，此后，B1又重新成为正值，但B2却仍保持负值。这就是说，在阶段，B1与激振力同相，B2与激振力反相。即两个质量之间的相位相反。当以后，B1又改变为负值，而B2却保持正值。根据以上分析，可作出如图3.10所示的相频特性曲线三、动力减振器根据两自由度系统受迫振动的振动特性的分析得知，只要适当地选择系统的参数，就可以使主系统的受迫振动被副系统所吸收，从而使主系统不动，动力减振器就是应用这一原理来设计的。动力减振器是用弹性元件把一个辅助质量固定到振动系统上的一种减振装置，其动力学模型如图3.11所示。图中m1、k1为原振动系统〔主系统〕的质量〔主质量〕和弹簧刚度。m2、k2为动力减振器〔附加系统〕的质量〔辅助质量〕和弹簧刚度，c为动力减振器的阻尼。为作用在主系统上的激振力。从图3.11可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来的单自由度系统变为两自由度系统。其运动微分方程式为：〔3.27〕设上列方程组的特解为：〔稳态振动〕〔3.28〕将〔3.28〕式及其一阶、二阶导数代入〔3.27〕式得：〔3.29〕解上列联立方程，求出主系统的振幅B1，并化成实数形式：〔3.30〕为了简化计算，引进以下符号：——主系统在激振力力幅p0作用下产生的静变位；——主系统的固有频率；——附加系统的固有频率；——激振力频率与主系统固有频率之比；——减振器固有频率与主系统固有频率之比；——辅助质量与主质量之比；——减振器的阻尼比。那么〔3.29〕式可改写成以下无量纲形式：〔3.31〕现根据减振器分类进行讨论：〔普遍式〕1．无阻尼动力减振器假设减振器没有阻尼元件，那么，故〔3.31〕式简化为： 〔3.32〕由此可见，当时，B1=0。即当减振器的固有频率等于激振频率时，辅助m2通过弹性元件k2作用于主质量m1上的力，正好和激振力大小相等，方向相反，互相抵消，所以主系统振幅为零，从而到达消振的目的。当激振频率等于主系统固有频率，即λ=1时，主系统产生共振。为了消除系统共振，应使减振器固有频率等于主系统固有频率，即令。假设再取质量比，那么〔3.32〕式中的四个变量就固定了两个。对即可作出主系统的幅频响应曲线，如图3.12所示。从图中可以看到，主系统共振点的振幅已经消失。但又出现了两个新的共振点。这两点的坐标值可以从〔3.32〕式的分项等于零时求出：因为故上式成为所以 〔3.33〕对于，质量比为的系统，两个固有频率〔主频率〕为： 〔3.34〕显然，当激振频率正好等于或时，都会使系统产生新的共振。根据〔3.33〕式可作出与的关系曲线，如图3.13所示它们表示了系统的两个主频率或的相隔范围。我们希望这两个主频率相距较远。但对于稳定的定速运转机械，值那么还可以取得小些。由以上分析可见，使用无阻尼动力减振器时要特别慎重，应用不当会带来新的祸患。所以，这种减振器主要用于激振频率变化不大的情况。{教学演示片：}2．有阻尼动力减振器当减振器有阻尼元件时，那么根据〔3.31〕式，以为参变量，仍令，所作出的主系统的幅频响应曲线如图3.15所示。〔〕从图上可以看出：1〕无论阻尼的为何值，幅频响应曲线均经过P、Q两点，也就是说，当频率比位于P点和Q点相应的频率比值时，主系统的受迫振动的振幅与阻尼比的大小无关，这一物理现象是设计有阻尼动力减振器的重要依据。2〕假设令相等，就可求得P点和Q点的横坐标值。当时从〔3.31〕式得： 〔3.35〕令〔3.32〕式与〔3.35〕式相等得上式等号左边假设取正号，那么解出λ=0，这对减振没有意义。故取负号，那么上式可展开得：〔3.36〕解上列代数方程得：〔3.37〕将求得的值代入〔3.32〕式〔3.35〕式，即可得P、Q两点的纵坐标值： 〔3.38〕这里需要说明一点，即Q点的纵坐标值之所以为负值，是因为P、Q两点在共振点〔〕的两侧，两者的相位是相反的，所以这两点的振幅的符号也相反，因此，在图3.15中，在右边的曲线，实际上应该画在横坐标轴的下方，〔现在为了直观起见〕。3〕既然无论值是多少，所有的幅频响应曲线都要经过P、Q两点。因此，的最高点都不会低于P、Q两点的纵坐标。[思想方法]为了使减振器获得较好的减振效果，就应该设法降低P、Q两点，并使P、Q两点的纵坐标相等，而且成为曲线上的最高点。这样，减振后主系统振幅B1与静变位的比值就会减小，并限制在P、Q两点所对应的振幅以下〔见图3.16〕。研究工作证明，为了使P、Q两点等高，就要适中选择值；为了使的最大值在P、Q两点上，就要适中选择值。所以选择的和值，分别称为最正确频率比〔optimumfrequencyratio〕和最正确阻尼比〔optimumdampingratio〕。下面就来分别介绍它们确实定方法。〔1〕最正确频率比确实定。〔第一步〕为了使P、Q两点等高，即使P、Q两点的纵坐标相等，应使〔3.38〕式所表示的与相等。即：解之得： 〔3.39〕根据代数方程理论，由〔3.36〕式得知 〔3.40〕联立〔3.39〕式及〔3.40〕式，并求解得：所以〔3.41〕将值代入〔3.37〕式，即得到与P、Q两点相应的横坐标值： 〔3.42〕将〔3.42〕式代入〔3.32〕式或〔3.35〕式，即得到在选取最正确频率比的情况下，P、Q两点的纵坐标值： 〔3.43〕[分析]可见，要降低P、Q两点的纵坐标，应使质量比增大，即增加减振器中的辅助质量m2。m2