第05讲 正多边形与圆-【寒假预习】2022-2023学年九年级数学核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

第05讲正多边形与圆目录考点一：正多边形的中心角考点二：正多边形和圆考点三：弧长与扇形面积【基础知识】一、正多边形的相关概念1.正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形2.正n边形的对称性正n边形是轴对称图形，对称轴的条数=n．当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点．3.正多边形的外接圆和内切圆任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点．正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．每一个中心角==它的每一个外角4.正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边是圆的外切正多边形.5.正多边形的画法（1）用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.（2）用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于E)就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形。②正六、三、十二边形的作法。通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点。显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点。同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12等分……。要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.二、正多边形的相关计算设正n边形的半径长为Rn、中心角为αn、边长为an、边心距为rn，则利用等腰三角形OAB，通过解直角三角形OAH，可由其中两个量求出其余的两个量.进一步还可以求出这个正n边形的周长及面积.【考点剖析】考点一：正多边形的中心角一、单选题1．（2022·上海·校联考模拟预测）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·上海·九年级上海市西南模范中学校考阶段练习）正十边形的中心角等于______度．【答案】【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解．【详解】正十边形的中心角等于360°÷10=°故答案为：36．【点睛】此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正n边形的中心角等于．3．（2022秋·上海金山·九年级校考阶段练习）正五边形的中心角的度数是_____．【答案】72°．【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．【详解】解：正五边形的中心角为：．故答案为72°．【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．4．（2022·上海浦东新·统考二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n=___．【答案】6【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程求解即可．【详解】∵正n边形的一个内角和=（n﹣2）•180°，∴正n边形的一个内角=．∵正n边形的中心角==，解得：n=6．故答案为6．【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．5．（2022·上海·统考模拟预测）一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的中心角为____【答案】30°．【分析】正多边形的一个外角与正多边形的中心角的度数相等，据此即可求解．【详解】解：正多边形的一个外角等于30°，则中心角的度数是30°．故答案为：30°．6．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个多边形的对角线条数是_____．【答案】35【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角线．【详解】解：由题意可得：边数为360°÷36°＝10，所以这个多边形的对角线条数是（条），故答案为：35．【点睛】本题主要考查的是多边的外角和，多边形的对角线及正多边形的概念和性质，任意多边形的外角和都是360°，和边数无关．正多边形的每个外角都相等．任何多边形的对角线条数为条．7．（2022·上海松江·统考二模）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是_______．【答案】5【详解】解：中心角的度数=，，，故答案为：5．考点二：正多边形和圆一、单选题1．（2022·上海杨浦·统考二模）下列命题中，正确的是（

）A．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等 D．各边相等的圆外切多边形是正多边形【答案】B【分析】根据正多边形的性质、正多边形的对角线、正多边形的概念判断即可．【详解】解：A、边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，边数是奇数的正多边形不是中心对称图形，故本选项说法错误，不符合题意；B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，本选项说法正确，符合题意；C、边数大于3的正多边形的对角线长不都相等，可以以正八边形为例得出对角线长不都相等，故本选项说法错误，不符合题意；D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，例如，圆外切菱形边数正多边形，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2022·上海黄浦·统考二模）下列命题中，真命题是（

）A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形B．正六边形的每一个外角都等于中心角C．正六边形每条对角线都相等D．正六边形的边心距等于边长的一半【答案】B【分析】根据正六边形的性质判定即可．【详解】解：A、正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形，假命题，故此选项不符合题意；B、正六边形的每一个外角都等于中心角，真命题，故此选项符合题意；C、正六边形每条对角线都相等，假命题，故此选项不符合题意；D、正六边形的边心距等于边长的一半，假命题，故此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查判定命题真假，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．3．（2022·上海黄浦·格致中学校考二模）如果一个正九边形的边长为，那么这个正九边形的半径是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，则在直角△OAC中，可求得∠AOC=20°，OC是边心距，OA即半径，利用解直角三角即可求解．【详解】解：如图所示，设O为正九边形外接圆的圆心，过O作OC⊥AB于C，则OC即为正九边形的边心距，连接OA，∵此多边形是正九边形，∴，OA=OB，∴∠AOC=∠AOB=×40°=20°，∵AB=a，∴AC=a，∴，故选：C．【点睛】本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．4．（2022秋·上海普陀·九年级统考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．2， B．2，π C．， D．2，【答案】D【详解】解：连接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，，故选D．考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．二、填空题5．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）半径为1的圆的内接正三角形的边长为________．【答案】【分析】欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：BC=2BD，从而求正三角形的边长．【详解】解：如图所示．在Rt△BOD中，OB=1，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB=．∵BD=CD，∴BC=2BD=2×=．故它的内接正三角形的边长为．故答案为：．【点睛】本题考查了正三角形和外接圆，要知道圆心既是内心也是外心，所以BO平分∠ABC，根据等边三角形的性质与圆的性质相结合，得出结论．6．（2022·上海闵行·统考二模）如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果的面积为1，那么的面积等于_______.【答案】4【分析】解：如图，连接CE，由得，由六边形是正六边形证明，从而得的面积为的面积的4倍即可求解．【详解】解：如图，连接CE，，，六边形是正六边形，AB=AF=EF=BC，，，，，，四边形BCEF是平行四边形，，的面积为1，，的面积为，故答案为4．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．7．（2022秋·上海·九年级上海市娄山中学校考期中）已知正六边形的边长为，那么它的边心距等于__________．【答案】【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求出边心距．【详解】解：如图，在正六边形中，边长AB=6cm，O为正六边形的中心，过点O作OG⊥AB于点G，连接OA、OB，根据题意得：∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴AG=BG=3，OA=OB=AB=6cm，在中，，即它的边心距等于cm．故答案为：【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形.8．（2022·上海金山·统考二模）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=_______．【答案】12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正方形与内接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，则∠BOC=30°，然后计算即可得到n的值．【详解】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AC，AB分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．9．（2022秋·上海徐汇·九年级统考阶段练习）如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为________cm．【答案】【分析】证明为等边三角形，得到，再利用解直角三角形求解即可．【详解】解：如图：由题可知：是正六边形，，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆与多边形，解题的关键是求出为等边三角形，进一步得到．10．（2022·上海青浦·统考二模）已知正多边形每个内角的度数为，则正多边形的边长与半径的比值为________．【答案】【分析】先根据题意求出正多边形的边数，然后求出此正多边形的中心角，然后再Rt△ACO中求出的值，即可求解．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∴（n-2）×180°=144°×n，∴n=10，∴正多边形的中心角为，如图，过O作OC⊥AB于C，∵OA=OB，∴，AB=2AC，∴，∴，即正多边形的边长与半径的比值为，故答案为．【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，中心角的定义，正弦的定义等，求出中心角是解题的关键．11．（2022秋·上海虹口·九年级统考期中）半径为4的圆的内接正三角形的边长为______．【答案】【分析】首先根据题意作出图形，然后由垂径定理，可得BD=∠BOC=∠A，再利用三角函数求得BD的长，继而求得答案．【详解】解：如图：△ABC是等边三角形，过点O作OD⊥BC于D，连接OB，OC，∴BD=CD=BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴∠BOD=∠BOC=60°，∵半径为4，∴OB=4，∴，∴BC=2BD=，即直径为4的圆的内接正三角形的边长为：．故答案为：．【点睛】此题考查了正多边形和圆的性质、垂径定理以及三角函数等知识．注意掌握数形结合思想的应用．12．（2022·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）若正四边形的半径是1，则它的边长是________．【答案】【分析】利用圆内接四边形的性质及勾股定理计算即可得到答案．【详解】解：如图：根据题意得：OA＝OB＝1，∵四边形ABCD是正四边形，∴∠AOB＝90°，∴AB．即它的边长是：．故答案为：．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键．13．（2022·上海·九年级专题练习）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是_______________．【答案】1：【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，分别用R表示出圆的内接正方形和外切正方形的边长，再求出其比值即可．【详解】解：如图，∵圆的半径为R，∴CD＝ODR，∴内接正方形的边长为R，AB＝OB＝R，∴外切正方形的边长为2R，∴圆的内接正方形和外切正方形的边长比为：1：，故答案为：1：．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的关系，掌握正多边形的性质、正多边形的中心角的计算方法是解题的关键．14．（2022·上海·九年级专题练习）六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．【答案】．【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120︒，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30︒，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．15．（2022·上海·九年级专题练习）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．【答案】54．【分析】根据正多边形的有关概念，可得出三角形圆心角的度数，再求出三角形的面积，由正边形可平均分成个相同的三角形，将求得的三角形面积乘6即可．【详解】解：连接OE、OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠EOD＝，∵OE＝OD＝6，∴△ODE是等边三角形，作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝6×＝3，∴S△ODE＝DE•OH＝×6×3＝9，∴S正六边形ABCDEF＝6S△ODE＝54．故答案为：54．【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的计算，熟悉掌握圆内接正多边形的概念是解题的关键．16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线．【答案】7【分析】连接、，根据圆周角定理得到，即可得出该图形是正几边形，即可得出从一个顶点出发对角线的数量．【详解】解：连接、，点、、、在以为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理，，，即该多边形为正十边形，从一个定点出发，除去自身与相邻的两个点，共可作条对角线，故答案为：7．【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；知道正多边形与圆的位置特点解决本题的关键．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，正六边形的边长为2，则的周长为__．【答案】【分析】作BG⊥AC，垂足为G．由垂径定理得出AC＝2AG，在直角三角形ABG中，求出AG的长，即可得出结果．【详解】作，垂足为．如图所示：则，，，六边形是正六边形，，，，，，的周长为．故答案为．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质是解题的关键．18．（2022·上海·九年级专题练习）正六边形的边长、半径、边心距之比为_________________．【答案】【分析】我们可设正六边形的边长为2，欲求边长、半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．【详解】解：如图所示，边长AB=2；又该多边形为正六边形，故∠OBA=60°，在Rt△BOG中，BG=1，OG=，所以AB=2，即边长、半径、边心距之比为2：2：．【点睛】此题主要考查正多边形边长的计算问题，要求学生熟练掌握应用．19．（2022·上海·九年级专题练习）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．【答案】1【分析】此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可．【详解】根据题意作图可分两种情况：1如图：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圆O上，∴BP=（垂径定理），又，∴OP===；因为ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情况不符合题意，舍去；2，如图，同理可得OP=，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．故答案是：1．【点睛】此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难．20．（2022秋·上海闵行·九年级校考期中）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．【答案】【详解】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，∵OE=OC∴∠OEC=∠OCE，∵∠BOC=∠OEC+∠OCE∴∠OEC=∠OCE=30°∴∠BCE=90°，∴△BEC是直角三角形∴=cos30°=，∴λ6=.考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数考点三：弧长与扇形面积一、单选题1．（2022·上海静安·统考二模）如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据旋转的性质即判断①，由旋转的性质可得，进而可得，，即可判断②，根据相似三角形的性质可以判断③，根据弧长公式计算即可判断④．【详解】解：，，是等腰直角三角形，，，由旋转的性质可得，故①正确；如图，连接，，，点是重心，，，由旋转的性质可得，，，，与相似；故②正确；，故③正确，④点所经过的路程长是，故④错误，故选C．【点睛】本题考查了旋转的的性质，重心的性质，相似三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．二、填空题2．（2022秋·上海·九年级阶段练习）如图，扇形的弧与相切于点P，若，，，则图中阴影面积是______．（结果保留）【答案】【分析】连接，作，，首先证明出四边形和四边形是矩形，得到，，然后证明出，得到，，然后根据勾股定理列方程求出，然后利用割补法求解即可．【详解】连接，作，∵扇形的弧与相切于点P∴∵，，∴四边形和四边形是矩形∴，∴设扇形的半径为r∴，，∵，∴∵∴∴又∵，∴∴，∴在中，∴∴∴∴当时，，不合题意∴∴，∴阴影面积为．故答案为：．【点睛】此题考查了求阴影部分面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．3．（2022·上海松江·校考三模）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为___________．【答案】【分析】连接．根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积．又易证≌，即得出四边形的面积等于的面积，最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接，如图，，点为的中点，，，，，．又，≌，四边形的面积等于的面积，．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，正确连接辅助线，并利用数形结合的思想解答．4．（2022春·上海·九年级上外附中校考阶段练习）如图，中，，将绕顶点C按顺时针方向旋转方向至的位置，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留）【答案】【分析】根据勾股定理求出，分别求出扇形的面积、扇形的面积,根据旋转可得的面积等于的面积，即可求出答案．【详解】在中，，扇形的面积为：，扇形的面积为：．根据旋转可得的面积等于的面积，故==．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理、扇形的面积计算等知识点，能分别求出每部分的面积是解此题的关键．5．（2022·上海杨浦·统考二模）新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于_________．【答案】【分析】首先根据题意可知：当DE为直径时，长度取最大值，再根据圆的周长公式，即可求得【详解】解：由题知，在△ABC内部以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长中内弧，∵点D、E分别是边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵∠A=90°，，∴，∴长度，故答案为：π．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，弧长的计算，理解题意，得到当DE为直径时，长度取最大值是解题的关键．6．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为______．（结算结果保留）【答案】【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，得到，根据弧长公式计算得到答案．【详解】解：连接OE，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE＝，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴，的长＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长计算、平行四边形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．7．（2022秋·上海·九年级校考期中）若扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________cm2．【答案】．【详解】试题分析：扇形的面积=cm2．故答案为3π．考点：扇形面积的计算．【过关检测】一、单选题1．（2020·上海·二模）若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出图形，然后由三角函数及正多边形与圆的关系进行求解即可．【详解】解：由题意可得如图：假设AB为正n多边形的一条边，OC⊥AB，，OA=r，；故选D．【点睛】本题主要考查解直角三角形及正多边形与圆，熟练掌握三角函数及正多边形与圆是解题的关键．2．（2020·上海浦东新·二模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．3．（2021·上海崇明·一模）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．无法确定【答案】B【分析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．【详解】如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圆半径是其内切圆半径的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∴此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B．【点睛】本题考查正多边形和圆及三角函数的定义，熟练掌握余弦的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．4．（2019·上海上海·九年级期中）正六边形的半径与边心距之比为（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选D．【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.5．（2020·上海杨浦·二模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=a；∴OA==故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.二、填空题6．（2020·上海嘉定·二模）半径长为2的半圆的弧长为____(计算结果保留π)．【答案】2π．【分析】根据弧长的计算公式计算即可．【详解】由弧长公式得：2π．故答案为：2π．【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．7．（2020·上海大学附属学校三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．【答案】72【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE至少旋转的度数为的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【详解】如图，由题意可知，所求的问题为的度数由正五边形的性质得：又故答案为：72．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．8．（2021·上海闵行·一模）正六边形的边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）．【答案】【分析】正六边形的半径为人r，根据正六边形的半径与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可解得边心距，继而解题．【详解】如图，设正六边形的半径OB=r，则外接圆的半径r，，在中，，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而边心距是，则正六边形的边心距与半径比值为：，故答案为：．【点睛】本题考查正多边形与外接圆，涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．（2020·上海奉贤·一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是___．【答案】【分析】设为正十二边形的边，连接，过作于，由正十二边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，求出的面积，即可得出答案．【详解】解：设为正十二边形的边，连接，过作于，如图所示：，的面积正十二边形的面积，的面积正十二边形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键．10．（2021·上海·二模）如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____．【答案】【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，从而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的长即可．【详解】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，∵OC＝OB，∴∠OCD＝∠OBC＝30°，∵OC＝6，∴CD＝＝3，∴BC＝2CD＝6，故答案为：6．【点睛】考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得∠BOC的度数．11．（2018·上海·九年级期末）正八边形的中心角为______度．【答案】45°【分析】运用正n边形的中心角的计算公式计算即可.【详解】解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为，故答案为45°.【点睛】本题考查了正n边形中心角的计算.12．（2018·上海崇明·二模）如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB＝4，则CN＝_____．【答案】【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN∵∠ABC+∠CBM=180°∴∠CBM=60°∵AB=4∴BC=4∴CM=BCsin∠CBM=2MB=BCcos∠CBM=2∴AM=AB+MB=6∴MN=AM=6∴CN=MN-CM=6-2故答案为：6-2．【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解答本题的关键．13．（2020·上海长宁·二模）已知正三角形的边心距为，那么它的边长为________．【答案】【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP⊥BC，OP的长即为边心距，即OP=1，由△ABC是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP平分∠ABC，则∠OBP=30°，∴OB=2OP，由勾股定理知：BP==，∴BC=，即边长为，故答案为．【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．14．（2021·上海松江·二模）已知正三角形ABC外接圆的半径为2，那么正三角形ABC的面积为______________．【答案】．【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得三角形的边长即可求得本题的答案．【详解】解：如图所示：连接、、，过作于，正三角形外接圆的半径为2，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．（2021·上海金山·二模）已知在正六边形ABCDEF中，AB＝6，那么正六边形ABCDEF的面积等于_____．【答案】54．【分析】根据正多边形的有关概念，可得出三角形圆心角的度数，再求出三角形的面积，由正边形可平均分成个相同的三角形，将求得的三角形面积乘6即可．【详解】解：连接OE、OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠EOD＝，∵OE＝OD＝6，∴△ODE是等边三角形，作OH⊥ED于H，则OH＝OE•sin∠OED＝6×＝3，∴S△ODE＝DE•OH＝×6×3＝9，∴S正六边形ABCDEF＝6S△ODE＝54．故答案为：54．【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的计算，熟悉掌握圆内接正多边形的概念是解题的关键．16．（上海金山·九年级期末）正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是____．【答案】.【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C；连接OA，则在直角△OAC中，∠O=30°，OC是边心距，OA即半径．再根据三角函数即可求解．【详解】解：过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C，连接OA，在直角△OAC中，∠O=30°，OC是边心距，OA即半径边长为a的正六边形的面积=6×边长为a的等边三角形的面积s=6××a×（a×sin60°）=．故答案为：S＝．考点：正多边形和圆．17．（2019·上海·九年级期末）如果一个正六边形的半径为，那么这个正六边形的周长为______.【答案】12.【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【详解】∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2，正六边形的周长=6a=12，故答案为12．【点睛】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．18．（2021·上海浦东新·模拟预测）如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是________．【答案】1【分析】此题应根据题意先找到圆心位置，再根据圆心位置求出不在圆上的顶点到该圆圆心的距离即可．【详解】根据题意作图可分两种情况：1如图：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圆O上，∴BP=（垂径定理），又，∴OP===；因为ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情况不符合题意，舍去；2，如图，同理可得OP=，在△BOP与△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，综上所述，这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是1．故答案是：1．【点睛】此题是新型概念的题型，实际是求点到圆心的距离的知识点，难度偏难．19．（2020·上海嘉定·二模）如图，在正六边形ABCDEF中，如果向量，，那么向量用向量，表示为____．【答案】22．【分析】如图，连接交于．则