湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(解析版)

2023-2024学年长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级上学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.-18的倒数是(

)A.8 B.-8 C.18 D.2.下列运算正确的是(

)A.(a2)3=a5 B.3.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车.通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为(

)A.0.955×105 B.9.55×105 C.4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.5.已知点P(2a-1,1-a)在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(

)A. B. C. D.6.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是(

)A.一，二，三 B.二，三，四 C.一，二，四 D.一，三，四7.如图，AB/​/DE，∠E=65°，则∠B+∠C=(

)A.135°

B.115°

C.36°

D.65°8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为．(

)

A.5cm B.10cm C.14cm D.20cm9.如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是(

)

A.50° B.40° C.30° D.25°10.如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于

A.15° B.30° C.45° D.60°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.分解因式：3a2+6a+3=______12.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B.若∠OBA=30°，PA=3，则AB的长为

．13.超速行驶是交通事故频发的主要原因之一．交警部门统计某日7：00～9：00经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速为110km/h，则超速行驶的汽车有______辆．

14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，EB=2，则⊙O的半径为______．15.如图，△ABC中，∠C=30°.将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=

°.

16.A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩：A说：如果我得优，那么B也得优；B说：如果我得优，那么C也得优；C说：如果我得优，那么D也得优；D说：如果我得优，那么E也得优.大家说的都没有错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)

计算：(12)18.(本小题8.0分)

先化简，再求值：3a-3a÷a2-2a+119.(本小题8.0分)

如图，过点A(-2,0)的直线l1：y=kx+b与直线l2：y=-x+1交于P(-1,a)．

(1)求直线l1对应的表达式；

(2)求四边形PAOC20.(本小题8.0分)

为了了解九年级学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：

A、1.5小时以上(含1.5小时)

B、1-1.5小时(含1小时，不含1.5小时)

C、0.5-1小时(含0.5小时，不含1小时)

D、0.5小时以下(不含0.5小时)

如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图：

请根据以上条形统计图、扇形统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)学校共调查了______名学生；

(2)扇形统计图中B选项所占的百分比为______．

(3)请补全条形统计图；

(4)若该校九年级共有400名学生，请估计该校九年级平均每天参加体育活动时间在1小时以上(含1小时)的学生约有______名.21.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF/​/AB交ED的延长线于点F．

(1)求证：△BDE≌△CDF；

(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长．

22.(本小题8.0分)

为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对安居琼江河周边污水进行处理．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080t．

(1)求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．

(2)经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？23.(本小题8.0分)

如图，在▱ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE/​/AC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．

(1)求证：四边形ADEC是矩形；

(2)在▱ABCD中，取AB的中点M，连接CM，若CM=5，且AC=8，求四边形ADEC的面积．

24.(本小题8.0分)

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE⊥BD，BD>BC，点A是CAD的中点，且AF//CD．

(1)求证：直线AF是⊙O的切线；

(2)若BC=6，BE=3，求ED的长；

(3)在(2)的条件下，若∠BAE=∠ADE=30°，求△ABD的内心与外心之间的距离d．

25.(本小题8.0分)

定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”．

例如：y=(x-1)2-2的“同轴对称抛物线”为y=-(x-1)2+2．

(1)求抛物线y=-12x2+x+1的“同轴对称抛物线”；

(2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y=ax2-4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B'C'、BB'．

①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值；

②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象与一次函数y=x-1相交于点M和点N(其中M在N的左边)，将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图象向上平移得到新的抛物线L'与一次函数y=x-1相交于点P和点Q(其中P在Q的左边)，满足PM+QN=MN，在抛物线L'上有且仅有三个点R1，R2，R3使得△MNR1，△MNR答案和解析1.答案：B

解析：解：-18的倒数为-8．

故选：B．

直接根据倒数的定义求解．

本题考查了倒数：a(a≠0)的倒数为2.答案：D

解析：解：A.(a2)3=a6，故此选项不合题意；

B.a+2a=3a，故此选项不合题意；

C.2+3无法合并，故此选项不合题意；

D3.答案：C

解析：解：95500=9.55×104．

故选：C．

科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，4.答案：A

解析：解：A.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；

B.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．

故选：A．

根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．5.答案：C

解析：解：根据题意得：2a-1>01-a>0，

解得：0.5<a<1．

故选：C．

首先根据点P在第一象限则横纵坐标都是正数即可得到关于a的不等式组求得a的范围，然后可判断．

把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”6.答案：C

解析：解：∵y=-5x+3

∴k=-5<0，b=3>0

∴直线经过第一、二、四象限．

故选：C．

根据直线解析式知：k<0，b>0.由一次函数的性质可得出答案．

能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限．7.答案：D

解析：

解：过C作CF/​/ED

∵AB//DE，∴CF//AB

∵CF/​/DE

∴∠1+∠E=180° ∵∠E=65°

∴∠1=115°

∵CF/​/AB

∴∠1+∠FCB+∠B=180°

∴∠FCB+∠B=65°

故选：8.答案：D

解析：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=12AC=12×6=3cm，

OB=12BD=12×8=4cm，9.答案：D

解析：解：

∵在⊙O中，AB=AC，

∴∠AOC=∠AOB，

∵∠AOB=50°，

∴∠AOC=50°，

∴∠ADC=12∠AOC=25°，

故选：D．

先求出10.答案：A

解析：解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，

∵点E在AD上，

∴BE=CE，

∴∠EBC=∠ECB，

∵∠EBC=45°，

∴∠ECB=45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，

故选：A．

先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．

此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．11.答案：3(a+1)解析：解：3a2+6a+3，

=3(a2+2a+1)，

12.答案：3

解析：解：∵PA，PB是⊙O的切线，

∴PA=PB，OB⊥PB，

∵∠OBA=30°，

∴∠PBA=90°-30°=60°，

∴△PAB为等边三角形，

∴AB=PA=3，

故答案为：3．

根据切线的性质得到PA=PB，OB⊥PB，根据等边三角形的判定和性质解答即可．

本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．13.答案：80

解析：解：读图可知：

超过限速110km/h的有60+20=80(辆)．

故答案为：80．

根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算．

本题考查读频数分布折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．

利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．14.答案：5

解析：解：连接OC，

设⊙O的半径为R，则OE=R-2，

∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，

∴CE=12CD=4，

由勾股定理得，OC2=OE2+CE2，即R2=(R-2)2+42，

解得，R=5，

则⊙O的半径为515.答案：90

解析：【解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到的，

∴∠CAF=60°；

又∵∠C=30°(已知)，

∴在△AFC中，∠CFA=180°-∠C-∠CAF=90°，

∴∠AFB=90°．

故答案是90．16.答案：C，D，E

解析：解：得优的三个人是C，D，E，理由：

假设A得优，则A，B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾，

∴A不可能得优；

假设B得优，则B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾，

∴B不可能得优；

假设C得优，则C，D，E都得优，这与只有三个人得优相符合，

∴优的三个人是C，D，E．

故答案为：C，D，E．

利用反证法进行逐一验证即可得出结论．

他主要考查了推论与论证，恰当的使用反证法是解题的关键．17.答案：解：(12)-1+(π-3.14)0-|-3|+解析：先化简各式，然后再进行计算即可解答．

本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18.答案：解：原式=3(a-1)a×a2(a-1)2-aa-1

=解析：把多项式分解因式后做除法，化简后再做减法，最后代入求值．

本题考查了分式的化简求值．化简商后再做减法，能使运算简便．19.答案：解：(1)把P(-1,a)代入y=-x+1得a=2，

则P点坐标为(-1,2)；

把A(-2,0)，P(-1,2)代入y=kx+b得0=-2k+b2=-k+b，解得k=2b=4，

所以直线l1的表达式为y=2x+4；

(2)∵y=-x+1交x轴于B，交y轴于C，

∴B(1,0)，C(0,1)，

∴四边形PAOC的面积解析：(1)先把P(-1,a)代入y=-x+1求出a得到P点坐标为(-1,2)，然后把点A(-2,0)，P(-1,2)代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b的值即可得到直线l1的表达式；

(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．

本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)20.答案：80

40%

260

解析：解：(1)学校共调查了20÷25%=80名学生，

故答案为：80；

(2)由扇形统计图可得，

B选项所占的百分比为：1-5%-25%-30%=40%，

故答案为：40%；

(3)C选项的人数为：80×30%=24，

补全的条形统计图如图所示；

(4)400×(25%+40%)=260(名)，

即估计该校九年级平均每天参加体育活动时间在1小时以上(含1小时)的学生约有260名，

故答案为：260．

(1)根据A选项20人占总体的25%，即可求得本次调查的人数；

(2)根据扇形统计图各部分所占的百分比即可求得B选项所占的百分比；

(3)根据(1)中的结果和扇形统计图中C选项所占的百分比，可以求得C选项的人数，然后即可补全条形统计图；

(4)首先根据扇形统计图，得到A选项和B选项人数所占的百分比，进而即可计算出该校九年级平均每天参加体育活动时间在1小时以上(含1小时)的学生人数．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．21.答案：(1)证明：∵CF/​/AB，

∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F．

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD．

在△BDE与△CDF中，

∠B=∠FCD∠BED=∠FBD=CD,

∴△BDE≌△CDF(AAS)；

(2)解：∵△BDE≌△CDF，

∴BE=CF=2，

∴AB=AE+BE=1+2=3，

∵AD⊥BC，BD=CD，解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

(1)根据平行线的性质得到∠B=∠FCD，∠BED=∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD=CD，于是得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到BE=CF=2，求得AB=AE+BE=1+2=3，于是得到结论．22.答案：解：(1)设每周每台A，B两种污水处理设备分别可以处理污水x吨和y吨，

根据题意，得x+2y=6402x+3y=1080，

解得x=240y=200，

∴每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨；

(2)设购买A中污水设备a台，则购买B种污水设备(20-a)台，

根据题意，得12a+10(20-a)≤230240a+200(20-a)≥4500，

解不等式组，得252≤a≤15，

∴当a=13时，A买13台，B买7台；

当a=14时，A买14台，B买6台；

当a=15时，A买15台，B买5台．

∵每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，

∴A买的越少，资金越少，

∴A买13台，B买7台需要的资金最少，解析：(1)根据题意列方程组，解方程组即可；

(2)根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值．

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合，能根据题意列出二元一次方程组和不等式组是解决本题的关键．23.答案：(1)证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC．

又∵DE/​/AC，

∴四边形ADEC是平行四边形．

又∵AC⊥BC，

∴∠ACE=90°．

∴四边形ADEC是矩形；

(2)解：如图，

∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°．

∵M是AB的中点，

∴AB=2CM=10．

∵AC=8，

∴BC=102-82=6．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD．

又∵四边形ADEC是矩形，

∴EC=AD．

∴EC=BC=6．

∴解析：本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键．

(1)利用平行四边形的性质可得AD//BC，结合条件可先证得四边形ADEC为平行四边形，结合AC⊥BC，可证得结论；

(2)由直角三角形的性质可求得AB的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长，再利用矩形的性质可求得AD的长，结合AC可求得矩形ADEC的面积．24.答案：(1)证明：如图1，连接AO并延长交CD于点G，

∵点A是CAD的中点，

∴AG⊥CD，

∵AF/​/CD，

∴OA⊥AF．

∵OA是⊙O的半径，

∴直线AF是⊙O的切线；

(2)解：如图2，连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，

则∠AHC=90°，

∵AE⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=90°，

∴∠AHC=∠AED，

∵点A是CAD的中点，

∴AC=AD，

∴AC=AD，

在△AHC和△AED中，

∠AHC=∠AED∠ACH=∠ADEAC=AD，

∴△AHC≌△AED(AAS)，

∴AH=AE，HC=ED，

在Rt△AHB和Rt△AEB中，

AB=ABAH=AE，

∴Rt△AHB≌Rt△AEB(HL)，

∴HB=EB，

∴HC=HB+BC=BE+BC=3+6=9，

∴ED=HC=9；

(3)解：∵AE⊥BD，

∴∠BAE+∠ABD=90°，

∵∠BAE=∠ADE，

∴∠ADE+∠ABD=90°，

∴∠BAD=90°，

∴BD是⊙O的直径，

由(2)得：ED=9，

∴BD=BE+ED=3+9=12，

在Rt△ABD中，∠ADB=30°，

∴∠ABD=90°-30°=60°，AB=12BD=12×12=6，

如图3，设△ABD的内心为O'，连接O'A、O'B，过点O'作O'M⊥AB于点M，O'N⊥BD于点N，连接O'O，

则O'O=d，∠AMO'=∠BMO'=∠BNO'=∠ONO'=90°，

∵O'为△ABD的内心，

∴AO'平分∠BAD，BO'平分∠ABD，

∴∠MAO'=12∠BAD=12×90°=45°，∠MBO'=12∠ABD=12×60°=30°，O'M=O'N，

∴△AMO'是等腰直角三角形，∠BO'M=90°-30°=60°，

∴AM=O'M，

设AM=x，

则O'M=O'N=x，

BM=O'Mtan60∘=x33=3x，

∵AM+BM=AB=6，

∴x+3x=6，

解得：x=3解析：(1)连接AO并延长交CD于点G，由垂径定理得到AG⊥CD，再由平行线的性质得到OA⊥AF，即可得出结论；

(2)连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于点H，先证△AHC≌△AED(AAS)，得出AH=AE，HC=ED，再证Rt△AHB≌Rt△AEB(HL)，得出HB=EB