2024年中考数学二轮题型突破练习题型5 圆的相关证明与计算 类型2 与切线有关的证明与计算（专题训练）（教师版）

PAGE类型二与切线有关的证明与计算（专题训练）1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若直径SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)详见解析(2)SKIPIF1<0【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；(2)根据已知条件可知SKIPIF1<0，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段SKIPIF1<0的长度．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（取正值），∴SKIPIF1<0，【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．2.如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据对顶角相等可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，根据角度的转化可得SKIPIF1<0，进而即可证明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，分别求得SKIPIF1<0，进而根据勾股定理列出方程解方程可得SKIPIF1<0，进而根据SKIPIF1<0即可求得．【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．3．（2023·江西·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点D，E为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0的长；(2)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】（1）如图所示，连接SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，再由圆周角定理得到SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，再根据弧长公式进行求解即可；（2）如图所示，连接SKIPIF1<0，先由三角形内角和定理得到SKIPIF1<0，则由圆周角定理可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，得到SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0，进一步推出SKIPIF1<0，由此即可证明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．【详解】（1）解：如图所示，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵E为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0；

（2）证明：如图所示，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．

【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据三角形的外角的性质，SKIPIF1<0即可求解．（2）根据SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，勾股定理求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

（2）∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上，且SKIPIF1<0．

(1)求证：EF与SKIPIF1<0相切；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用圆周角定理得到SKIPIF1<0，结合已知推出SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，即可证明结论成立；（2）设SKIPIF1<0半径为x，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用正弦函数求得半径的长，再在SKIPIF1<0中，解直角三角形即可求解．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0半径，∴EF与SKIPIF1<0相切；（2）解：设SKIPIF1<0半径为x，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，经检验，SKIPIF1<0是所列方程的解，∴SKIPIF1<0半径为4，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．6.如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，交SKIPIF1<0于点E，过点D作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点F，连接SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）由题意根据圆周角定理得出SKIPIF1<0，结合同弧或等弧所对的圆周角相等并利用经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线进行证明即可；（2）根据题意利用相似三角形的判定即两个角分别相等的两个三角形相似得出SKIPIF1<0，继而运用相似比SKIPIF1<0即可求出SKIPIF1<0的长．【详解】解：（1）证明：∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径∴SKIPIF1<0（直径所对的圆周角是直角）即SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（等边对等角）∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（同弧或等弧所对的圆周角相等）∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0（两个角分别相等的两个三角形相似）∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，过点E作SKIPIF1<0于点D，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点P．

(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，利用角平分线的性质和等边对等角，证明SKIPIF1<0，即可解答；（2）根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长，再利用勾股定理得SKIPIF1<0的长，即可得到SKIPIF1<0的长，最后证明SKIPIF1<0，即可解答．【详解】（1）证明：如图，连接SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据勾股定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正弦的概念，熟练运用上述性质是解题的关键．8.如图，AB为SKIPIF1<0的直径，C为SKIPIF1<0上一点，D为AB上一点，SKIPIF1<0，过点A作SKIPIF1<0交CD的延长线于点E，CE交SKIPIF1<0于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使SKIPIF1<0．（1）求证：CF是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据题意判定SKIPIF1<0，然后结合相似三角形的性质求得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，然后结合等腰三角形的性质求得SKIPIF1<0，从而判定CF是SKIPIF1<0的切线；（2）由切线长定理可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，然后利用勾股定理解直角三角形可求得圆的半径．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0AB是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即CF是SKIPIF1<0的切线；（2）SKIPIF1<0CF是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的半径为x，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握相关定理与性质是解决本题的关键．9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0，垂足为E．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）如图：SKIPIF1<0，然后根据等边对等角可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0即可证明结论；（2）如图：连接SKIPIF1<0，有圆周角定理可得SKIPIF1<0，再解直角三角形可得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，然后说明SKIPIF1<0，最后根据弧长公式即可解答．【详解】（1）证明：如图：连接SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0。∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）解：如图：连接SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得SKIPIF1<0，再根据等量代换和直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O作SKIPIF1<0于G，连接OC，OD，则SKIPIF1<0，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：如图2，过点O作SKIPIF1<0于G，连接OC，OD，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四边形OGEC是矩形，∴SKIPIF1<0，设⊙O的半径为x，Rt△CDE中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴⊙O的半径是4.5．【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．11.（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上一点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出SKIPIF1<0，利用已知条件进行等量转换即可求出SKIPIF1<0，最后利用SKIPIF1<0可证明SKIPIF1<0，从而证明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0切线．（2）根据互余的两个角相等，利用SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，设参数表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再根据勾股定理用参数表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，最后利用SKIPIF1<0即可求出参数的值，从而求出SKIPIF1<0长度，即可求SKIPIF1<0的长．【详解】（1）解：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示，

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0切线．（2）解：连接SKIPIF1<0，如图所示，

由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度．12.如图，SKIPIF1<0ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝2SKIPIF1<0，BC＝6，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）连接OA，证明OA⊥AD即可，利用角平分线的意义以及等腰三角形的性质得以证明；（2）求出圆的半径和阴影部分所对应的圆心角度数即可，利用相似三角形求出半径，再根据特殊锐角三角函数求出∠BOC．【详解】解：（1）如图，连接OA并延长交BC于E，∵AB=AC，△ABC内接于⊙O，∴AE所在的直线是△ABC的对称轴，也是⊙O的对称轴，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠MAD=∠BAD，∠MAD+∠BAD+∠BAE+∠CAE=180°，∴∠BAD+∠BAE=SKIPIF1<0×180°=90°，即AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线；（2）连接OB，∵∠OAD=∠OEC=90°，∠AOD=∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对称轴，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设半径为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（取正值），经检验SKIPIF1<0是原方程的解，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质，圆周角定理，三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，灵活运用切线的判定方法是解题的关键．13．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，四边形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接四边形，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证SKIPIF1<0是直角三角形，用勾股定理求出SKIPIF1<0长，再通过三角形相似即可求解．【详解】（1）连接SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为半径，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，（2）∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0直径，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0．【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．14.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作SKIPIF1<0，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）如图1，延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，即可根据切线的判定可得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；（2）如图2，连接SKIPIF1<0，先根据圆周角定理证明SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，列比例式可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的半径为4，根据勾股定理可得SKIPIF1<0的长．【详解】（1）证明：如图1，延长SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴AB⊥BD，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切；（2）解：如图2，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴∠AOF＝∠BOF＝90°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明SKIPIF1<0．15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，点E是斜边SKIPIF1<0上一点，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0经过点D，交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0．

(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由角平分线的定义可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再根据平行线的判定可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再根据切线的判定即可得出结论；（2）连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，再由圆周角定理可得SKIPIF1<0，根据角平分线的定义可得SKIPIF1<0，利用锐角三角函数求得SKIPIF1<0，再由直角三角形的性质可得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0是等边三角形，可得SKIPIF1<0，从而证明SKIPIF1<0是等边三角形，可得SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再利用扇形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的半径，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0于点D，又∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的半径，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）解：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定、直角三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质及扇形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．16.如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值．【答案】（1）见详解；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）由题意，先证明OA是∠BAC的角平分线，然后得到BO=CO，即可得到结论成立；（2）由题意，先求出BD=4，OD=5，然后利用勾股定理求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，结合直角三角形ODF，即可求出tan∠F的值．【详解】解：（1）∵DF∥AC，∴∠CAO=∠F，∵∠OAB＝∠F，∴∠CAO=∠OAB，∴OA是∠BAC的角平分线，∵AD是⊙O的切线，∴∠ABO=∠ACO=90°，∴BO=CO，又∵AC⊥OC，∴AC是⊙O的切线；（2）由题意，∵OC＝3，DE＝2，∴OD=5，OB=3，CD=8，∴SKIPIF1<0，由切线长定理，则AB=AC，设SKIPIF1<0，在直角三角形ACD中，由勾股定理，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠OAB＝∠F，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，以及三角函数，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出所需的长度，从而进行解题．17．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．

(1)求证：①SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；②SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）①根据菱形的性质得出SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而即可得证；②连接SKIPIF1<0，根据等弧所对的圆周角相等得出SKIPIF1<0，根据直径所对的圆周角是直角得出SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，即可得证；（2）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．根据菱形的性质以及勾股定理求得SKIPIF1<0，进而根据等面积法求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，即可求解．【详解】（1）证明：①SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的半径的外端点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．②连接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0直径，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）解：连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0菱形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键．18.如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以斜边SKIPIF1<0上的中线SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0的另一个交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）若SKIPIF1<0的直径为5，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】【分析】（1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN．

（2）连接SKIPIF1<0，分别求出BD=5，BE=SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0求解即可．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线．（2）连接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0，故M为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．19.如图，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的