2024年中考数学二轮题型突破练习题型6 几何最值（复习讲义）（原卷版）

②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形【知识精讲】如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．【模型总结】为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．考点05将军饮马1.两定（异侧），一动2.两定（同侧），一动3.一定，两动4.两动，两动知识提炼：折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题1.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值是()2.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是．3.如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则SKIPIF1<0的最大值为_______．4．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的三等分点，SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0的值是___________．

5.如图，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转60°得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，可推出结论：SKIPIF1<0问题解决：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0三个顶点的距离和的最小值是___________6．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在矩形的边上沿SKIPIF1<0运动．当点SKIPIF1<0不与点SKIPIF1<0重合时，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0对折，得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则在点SKIPIF1<0的运动过程中，线段SKIPIF1<0的最小值为__________．

7．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形SKIPIF1<0中，E，F分别是SKIPIF1<0上的动点，M，N分别是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的最大值为______．

8．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点E在线段SKIPIF1<0上运动，点F在线段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的最小值为__________．

9．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线SKIPIF1<0与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线SKIPIF1<0上的一动点，动点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0的最小值是________．

10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是_____．11.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝SKIPIF1<0S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为．12.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？13.（1）如图1，在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ，桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）14.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝42，∠ABC＝45º，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM＋MN的最小值.15、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.EEADBCNM⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何