2024年中考数学二轮题型突破练习题型11 综合探究题 类型2 与动点有关的探究题（专题训练）（原卷版）

PAGE类型二与动点有关的探究题（专题训练）1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形SKIPIF1<0中（顶点SKIPIF1<0按逆时针方向排列），SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0．

(1)如图1，求SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0的长．(2)SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一动点，点SKIPIF1<0同时绕点SKIPIF1<0按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0．①如图2，当点SKIPIF1<0落在射线SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的长．②当SKIPIF1<0是直角三角形时，求SKIPIF1<0的长．2.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图1，求SKIPIF1<0的长；（2）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，M是高SKIPIF1<0上的一个动点，小亮以SKIPIF1<0为边作等边三角形SKIPIF1<0，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形SKIPIF1<0的边长为3，E是边SKIPIF1<0上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形SKIPIF1<0，其中点F、G都在直线SKIPIF1<0上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．3．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知SKIPIF1<0是等边三角形，点SKIPIF1<0是射线SKIPIF1<0上的一个动点，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交射线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．

(1)如图1，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，猜测线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0的延长线上时，①线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0的面积．4.（2021·浙江中考真题）已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0延长线上的一点，连结SKIPIF1<0．（1）如图1，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延长线于点SKIPIF1<0，如图2所示．若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（3）如图3，若SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0？若存在，请直接写出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一动点，将SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0．”小红：“若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，给出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长，就可求出SKIPIF1<0的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0翻折得到．（1）如图1，当点SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上时，求证：SKIPIF1<0；（2）如图2，若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成SKIPIF1<0的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则求SKIPIF1<0的长．6.（2021·浙江中考真题）问题：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．答案：SKIPIF1<0．探究：（1）把“问题”中的条件“SKIPIF1<0”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；②当点E与点C重合时，求EF的长．（2）把“问题”中的条件“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求SKIPIF1<0的值．7．（2023·重庆·统考中考真题）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0．

(1)如图1，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．(2)如图2，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0上方作等边SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．(3)在SKIPIF1<0取得最小值的条件下，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0右侧作等边SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在直线上一点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0所在直线翻折至SKIPIF1<0所在平面内得到SKIPIF1<0，请直接写出此时SKIPIF1<0的值．8.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFSKIPIF1<0AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．9．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0边上一点，且SKIPIF1<0（n为正整数），E是SKIPIF1<0边上的动点，过点D作SKIPIF1<0的垂线交直线SKIPIF1<0于点F．

【初步感知】(1)如图1，当SKIPIF1<0时，兴趣小组探究得出结论：SKIPIF1<0，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当SKIPIF1<0，且点F在线段SKIPIF1<0上时，试探究线段SKIPIF1<0之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段SKIPIF1<0之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为M．若SKIPIF1<0，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．10.（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？

11.（2021·湖南中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为斜边SKIPIF1<0上一动点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠，使得点SKIPIF1<0的对应点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如图①，若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．（2）如图②，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．（3）如图③，若SKIPIF1<0，是否存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．若存在，求此时SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．12.如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC=34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK=913.如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．14.如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=91（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒25个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含