2019-2020学年广东省深圳市龙岗区七年级（下）期末数学试卷

2019-2020学年广东省深圳市龙岗区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）（2012•海南）计算?•小，正确结果是（）

A.x6B.%5C.%9D.%8

3.（3分）（2019•泉州一模）下列事件中，是必然事件的是（）

A.从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球

B.抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7

C.抛掷一枚普通硬币，正面朝上

D.从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块

4.（3分）（2020春•龙岗区期末）成人体内成熟的细胞的平均直径一般为0.00000073相，可

以用科学记数法表示为（）

A.7.3X106机B.7.3X107wC.7.3X106wD.7.3X10.%

5.（3分）（2007•陕西）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.2ctn,3c/n,5cmB.5cm,6cm,\0cm

C.\cm,\cm,3cmD.3cm,4cm,9cm

6.（3分）（2020春•龙岗区期末）下列运算正确的是（）

A.（ab）2=a2b2B.（tz2）3=a5C.6Z6-r«2=d3D.a2=-

2

a

7.（3分）（2020春•龙岗区期末）如果等腰三角形的一个内角为50°,那么其它两个内角

为（）

A.50°,80°B.65°,65°

C.50°,65°D.50°,80°或65°,65°

8.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，下列条件中能判定直线人〃/2的是（

A

12

\34/

―rp-----H-——4

A.Z1=Z2B.Zl+Z3=180°C.Z1=Z5D.Z3=Z5

9.(3分)(2020春•龙岗区期末)下列各式中，不能运用平方差公式计算的是()

A.(2x-1)(-l+2x)B.(必一1)(ah+\)

C.(-2x-y)(2x-y)D.(-〃+5)(-a-5)

10.(3分)(2020春•龙岗区期末)已知x+y=3,孙=-2,则%2-xy+丁的值是()

A.11B.15C.3D.7

11.（3分）（2020春•龙岗区期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶

到B地，他们离出发地的距离S（千米）和行驶时间/（小时）之间的关系图象如图2

所示，根据图中提供的信息，有下列说法：

（1）他们都行驶了18千米;

（2）甲在途中停留了0.5小时；

（3）乙比甲晚出发了0.5小时；

（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；

（5）甲、乙两人同时到达目的地.

其中符合图象描述的说法有（）

AS（千米）

A.2个B.3个C.4个D.5个

12.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，RtzMCB中，ZACB=90Q,ZVIBC的角平分线

AD,BE相交于点尸，过P作尸F_L4力交BC的延长线于点F,交AC于点H,则下列结

论：①N4PB=135°；②BF=BA：（3）PH=PD；④连接CP,CP平分乙4c8,其中正

确的是（）

A

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空题（每题3分，共12分）

13.（3分）（2020•津阳市一模）计算：x（x-2）=

14.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，已知NACB=NO8C,要用“SAS”判断△ABC

15.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图所示，已知△ABC的周长是30,OB,OC分别平分

ZABC^ZACB,OOJ_8C于£>,且。。=3,则△ABC的面积是.

16.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，A、B、C分别是线段AiB,BiC,CjA的中点,

若△ABC的面积是3,那么△481。的面积是.

三、解答题（共52分）

17.（8分）（2020春•龙岗区期末）计算:

(1)(6〃%2-4a2匕)+2ab；

（2）-l20l8+（A）-2+（3.14-n）°.

2

18.（6分）（2020春•龙岗区期末）求代数式（2a-1）2+（a+1）（a-1）-4a（a-1）的值，

其中a--1.

19.（6分）（2020春•龙岗区期末）在一个不透明的袋中装有3个红球，4个黄球和若干白

球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球.

（1）若袋内有5个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为,是黄球的概

率为,是白球的概率为.

（2）如果任意摸出一个球是黄球的概率是2,求袋中内有几个白球？

5

20.（7分）（2020春•龙岗区期末）为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速

公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：

汽车行驶时间0123-

油箱剩余油量。（力100948882…

（1）在这个变化过程中，是自变量，是因变量；（填中文）

（2）根据上表的数据，请你写出。与，的关系式：；

（3）汽车行驶672后，油箱中的剩余油量是；

（4）该品牌汽车的油箱加满603若以100W/J的速度匀速行驶，该车最多能行驶

km.

21.（8分）（2020春•龙岗区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MV交

AC于点。，交AB于点E.

（1）若/A=40°,求NQBC的度数；

（2）若4E=4,ZXCB力的周长为20,求8c的长.

22.（8分）（2020春•龙岗区期末）如图，点O为线段A8匕的任意一点（不于A、8重合）,

分别以AO,BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和O4=OC,OB=OD,Z

AOC与都是锐角，HZAOC=ZBOD,AQ与8C交于点P,AD交CO于点M,

BC交DO于点N.

(1)试说明：C8=A£＞；

(2)若NCOO=70°,求NAPB的度数.

23.(9分)(2020春•龙岗区期末)直角三角形A8C中，NACB=90°,直线/过点C.

(1)当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作4O_U于点O,BE_L/于点E.求证：

△ACQ丝△CBE.

(2)当AC=8,BC=6时，如图②，点B与点F关于直线/对称，连接BF,CF,动点

M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F

出发，以每秒3个单位的速度沿FfC-B-Cr尸向终点尸运动，点M、N到达相应的

终点时停止运动，过点M作MDLI于点D,过点N作NEL于点E,设运动时间为t秒.

①CM=,当N在F-C路径上时，CN=.(用含f的代数式表示)

②直接写出当△MQC与△CEN全等时r的值.

D图2

图1

2019-2020学年广东省深圳市龙岗区七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）（2012•海南）计算）•小,正确结果是（）

A.x6B.?C.x9D.%8

【考点】46：同底数幕的乘法.

【分析】根据同底数基的乘法的运算法则：am-an=a'n+n（m,n是正整数）求解即可求

得答案.

【解答】解：f•x3=x5.

故选：B.

【点评】此题考查了同底数幕的乘法.此题比较简单，注意掌握同底数累的乘法法则：

同底数累相乘，底数不变，指数相加.

2.（3分）（2019•英德市一模）下列交通标志是轴对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形.

【专题】1：常规题型.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：人不是轴对称图形，故此选项错误；

8、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选：C.

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

部分折叠后可重合.

3.（3分）（2019•泉州一模）下列事件中，是必然事件的是（）

A.从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球

B.抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7

C.抛掷一枚普通硬币，正面朝上

D.从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块

【考点】XI：随机事件.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

【解答】解：A、从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球是不可能事

件；

8、抛掷一枚普通正方体骰子所得的点数小于7是必然事件；

C、抛掷一枚普通硬币，正面朝上是随机事件；

。、从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张牌，恰好是方块是随机事件；

故选：B.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条

件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事

件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

4.（3分）（2020春•龙岗区期末）成人体内成熟的细胞的平均直径一般为0.00000073相，可

以用科学记数法表示为（）

A.7.3X10%"B.7.3X107mC.7.3X106wD.7.3X107w

【考点】II：科学记数法一表示较大的数；1J：科学记数法一表示较小的数.

【专题】511：实数；61：数感.

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXl（T”,与较大

数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数n由原数左边起第一个不为

零的数字前面的0的个数所决定.

【解答】解：0.00000073%=7.3X10"机；

故选：D.

【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axio",其中

〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的o的个数所决定.

5.（3分）（2007•陕西）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（)

A.2cmf3cm,5cmB.5cm,6cmf10C/H

C.\cm,1cm,3cmD.3cm,4cm,9cm

【考点】K6：三角形三边关系.

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”,

进行分析.

【解答】解：根据三角形的三边关系，知A、2+3=5,不能组成三角形；

B、5+6>10,能够组成三角形；

C>1+K3,不能组成三角形；

D、3+4<9,不能组成三角形.

故选：B.

【点评】此题考查了三角形的三边关系.判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两

个数的和是否大于第三个数.

6.（3分）（2020春•龙岗区期末）下列运算正确的是（）

A.（ah）2=a2b2B.（.a2）3=a5C.a6-ra2=（^D.a2=-

2

a

【考点】47：幕的乘方与积的乘方；48：同底数幕的除法；6F：负整数指数基.

【专题】511：实数；512：整式；66：运算能力.

【分析】分别根据积的乘方运算法则，暴的乘方运算法则，同底数基的除法法则以及负

整数指数基的定义逐一判断即可.

【解答】解：A.（"）2=/序，故本选项运算正确；

B.（/）3=/,故本选项运算错误；

C.故本选项运算错误；

D.相2=工，故本选项运算错误.

2

a

故选：A.

【点评】本题主要考查了同底数嘉的除法，负整数指数塞以及哥的乘方与积的乘方，熟

记暴的运算法则是解答本题的关键.

7.（3分）（2020春•龙岗区期末）如果等腰三角形的一个内角为50°,那么其它两个内角

为（）

A.50°,80°B.65°,65°

C.50°,65°D.50°,80°或65°,65°

【考点】KH：等腰三角形的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观.

【分析】题中没有指出该角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而得到答案.

【解答】解：当该角是底角时，另外两个角分别为：50°,80°；

当该角是顶角时，另外两个角分别是：65°,65°.

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角

或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

8.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，下列条件中能判定直线八〃/2的是（）

【考点】JB：平行线的判定与性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；67：推理能力.

【分析】根据平行线的判定逐个进行判断即可.

【解答】解：A、根据N1=N2不能推出/1〃/2,故本选项错误；

B、根据Nl+N3=180°能推出故本选项正确；

C、根据Nl=/5不能推出/1〃/2,故本选项错误；

D、根据/3=/5不能推出故本选项错误；

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，

注意：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两

直线平行.

9.（3分）（2020春•龙岗区期末）下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）

A.（2x-1）（-l+2x）B.（ab-1）（ab+1）

C.（-2犬-y）（2x-y）D.(-。+5)(-4-5)

【考点】4F：平方差公式.

【分析】运用平方差公式（。+匕）（a-b）=/-序时，关键要找相同项和相反项，其结

果是相同项的平方减去相反项的平方.

【解答】解：A、中不存在互为相反数的项，

B、C、£＞中均存在相同和相反的项，

故选：A.

【点评】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键.

10.（3分）（2020春•龙岗区期末）已知x+y=3,孙=-2,则%2-封+/的值是（）

A.11B.15C.3D.7

【考点】4C：完全平方公式.

【专题】11：计算题；512：整式；66：运算能力.

【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可.

【解答】解：；x+y=3,孙=-2,

/.X2-xy+y2—（x+y）2-3xy—32-3X（-2）=15,

故选：B.

【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：（x+y）2=

/+2xy+/.

11.（3分）（2020春•龙岗区期末）甲、乙两同学从4地出发，骑自行车在同一条路上行驶

到B地，他们离出发地的距离S（千米）和行驶时间r（小时）之间的关系图象如图2

所示，根据图中提供的信息，有下列说法：

（1）他们都行驶了18千米；

（2）甲在途中停留了0.5小时；

（3）乙比甲晚出发了0.5小时；

（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度：

（5）甲、乙两人同时到达目的地.

其中符合图象描述的说法有（)

【考点】E6：函数的图象.

【分析】观察函数图象，逐一分析五条说法的正误，由此即可得出结论.

【解答】解：（1）•••两函数图象中y的最大值为18,

，他们都行驶了18千米，说法（1）符合题意；

（2）1-0.5=0.5（小时），

.♦.甲在途中停留了0.5小时，说法（2）符合题意；

（3）观察函数图象可知，乙比甲晚出发了0.5小时，说法（3）符合题意；

（4）♦..当x>l时，甲的函数图象在乙的函数图象的下方，

...相遇后，甲的速度小于乙的速度，说法（4）符合题意；

（5）•.•乙2小时到达目的地，甲2.5小时到达目的地，

.••甲比乙晚0.5小时到达目的地，说法（5）不符合题意.

综上所述：符合题意得说法有4个.

故选：C.

【点评】本题考查了函数的图象，根据函数图象逐一分析五条说法的正误是解题的关键.

12.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，RtzMCB中，/4CB=90°,ZvlBC的角平分线

AD.BE相交于点P,过P作P尸，AD交BC的延长线于点凡交AC于点H,则下列结

论：①NA尸8=135°；@BF=BAi③PH=PD；④连接CP,CP平分其中正

确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【考点】KF：角平分线的性质.

【专题】1：常规题型.

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性

质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④.

【解答】解：在△ABC中，•••NAC8=90°,

NBAC+NABC=90°,

又BE分别平分N8AC、ZABC,

：.ZBAD+ZABE=1.(ZBAC+ZABC)=45°,

2

；./APB=135°,故①正确.

：.ZBPD=45°,

又：尸尸工人。，

:.NFPB=90°+45°=135°,

NAPB=ZFPB,

又,：NABP=/FBP,BP=BP,

MABP丝△FBP,

；.NBAP=NBFP,AB=FB,PA=PF,故②正确.

在△AP”和△FP£)中，

■:NAPH=NFPD=90°,NPAH=NBAP=NBFP,PA=PF,

：.△APHW4FPD,

：.PH=PD,故③正确.

「△ABC的角平分线A。、BE相交于点尸，

点P到AB,AC的距离相等，点P到AB,BC的距离相等，

点P到BC、AC的距离相等，

...点P在NAC8的平分线上，

；.CP平分NACB,故④正确.

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定

理.掌握相关性质是解题的关键.

二、填空题（每题3分，共12分）

13.（3分）（2020•滦阳市一模）计算：x（%-2）=x2-2x

【考点】4A：单项式乘多项式.

【专题】II：计算题.

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=7-2x

故答案为：/-2x

【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于

基础题型.

14.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，已知NACB=NQBC,要用“SAS”判断△ABC

4丛DCB,需添加的一个条件：AC=BZ）.

【专题】553：图形的全等；67：推理能力.

【分析】已知/4CB=NOBC,BC公共，要用“S4S”判断△ABC经△DC8,需添加的

一个条件是AC=BQ.

【解答】解：添加的条件是：AC=BD,

理由是：：在AABC和△OCB中

"AC=BD

<ZACB=ZDBC-

CB=BC

」.△ABC丝△DCS(SAS),

故答案为：AC=BD.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即A4S、

ASA、SAS.SSS,直角三角形可用HL定理.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，

判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的

夹角.

15.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图所示，已知AABC的周长是30,OB,OC分别平分

NA8C和/ACB,OO_LBC于£>,且。。=3,则△ABC的面积是45.

【考点】KF：角平分线的性质.

【专题】552：三角形；67：推理能力.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都

相等（即OE=OD=OF）,从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3,代入求出即

可.

【解答】解：如图，连接04,过。作OELAB于E,OFVACTF,

VOB,OC分别平分/ABC和/4CB,

:.OE=OF=OD=3,

「△ABC的周长是30,ODLBC于D,且0。=3,

ASAABC^^XABXOE+AXBCXACXAX(AB+BC+AC)*3

2222

=工x30X3=45,

2

故答案为：45.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面

积与周长的关系是解题的关键.

16.（3分）（2020春•龙岗区期末）如图，A、B、C分别是线段48,BiC,CM的中点,

若AABC的面积是3,那么△4BC1的面积是21.

【考点】K3：三角形的面积.

【专题】552：三角形；67：推理能力.

【分析】连接ABi,BCi,C4,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABBi,△AMBi

的面积，从而求出△A1B81的面积，同理可求△BiCCi的面积，△AiACi的面积，然后相

加即可得解.

【解答】解：如图，连接ABi,BC\,CA\,

B分别是线段48,B1C的中点，

S^ABBi=S&ABC=3,

SAAMBI=S&ABBI=3,

**.S^A\BBl=SAA\AB1+S&4B81=3+3=6,

同理：SABICCI=6,sA...=6,

°AAA1C1

:.△A151cl的面积=5AAIBBI+S.BIcc\+5AAMCI+SAABC=64-6+6+3=21.

故答案为：21.

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助

线把三角形进行分割是解题的关键.

三、解答题（共52分）

17.（8分）（2020春•龙岗区期末）计算：

（1）（6a%2-402rb）-r-2ab；

（2）-12018+（-1）-2+（3.14-n）°.

2

【考点】2C：实数的运算；4H：整式的除法；6E：零指数募；6F：负整数指数基.

【专题】511：实数；512：整式；66：运算能力.

【分析】（1）利用整式的除法的运算法则运算即可；

（2）运用负整数指数基的运算法则和零指数基的运算法则运算即可.

【解答】解：（1）原式=（6。3庐+2"）-（4a2%+2M）

—3crb-2a；

（2）原式=-1+4+1

=4.

【点评】本题主要考查了整式的除法和实数的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关

键.

18.（6分）（2020春•龙岗区期末）求代数式（2a-1）2+（a+1）（a-1）-4a（a-1）的值,

其中a=-\.

【考点】4J：整式的混合运算一化简求值.

【专题】512：整式；66：运算能力.

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号

合并得到最简结果，把“的值代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=4屋-4a+l+q2-1-4a^+4a

—a2,

当a--1时，原式=1.

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.（6分）（2020春•龙岗区期末）在一个不透明的袋中装有3个红球，4个黄球和若干白

球，它们除颜色外其他都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球.

（1）若袋内有5个白球，从中任意摸出一个球，是红球的概率为1，是黄球的概率

一4一

为1,是白球的概率为_L

-3——12'

(2)如果任意摸出一个球是黄球的概率是2,求袋中内有几个白球？

5

【考点】X4：概率公式.

【专题】543：概率及其应用；69：应用意识.

【分析】(1)根据概率公式计算；

(2)袋中内有x个白球，利用概率公式得到然后利用比例性质求出x即可.

3+4+x5

【解答】解：(1)从中任意摸出一个球，是红球的概率=」—=],是黄球的概率=

3+4+54

4=1,是白球的概率=5=_§_；

3+4+533+4+512

(2)设袋中内有x个白球，

根据题意得^^=2,

3+4+x5

解得x=3,

即袋中内有3个白球.

故答案为工；1；_L.

4312

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.

20.(7分)(2020春•龙岗区期末)为了解某种品牌小汽车的耗油量，我们对这种车在高速

公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：

汽车行驶时间/(/,)0123-

油箱剩余油量。(乙)100948882…

(1)在这个变化过程中，汽车行驶时间是自变量,油箱剩余油量是因变量;(填

中文)

(2)根据上表的数据，请你写出Q与f的关系式：。=100-今；

(3)汽车行驶6〃后，油箱中的剩余油量是76L；

(4)该品牌汽车的油箱加满60L,若以lOOhM〃的速度匀速行驶，该车最多能行驶1()0()

km.

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用；66：运算能力.

【分析】(1)根据函数的定义解答即可；

(2)由表格可知，开始油箱中的油为100L,每行驶1小时，油量减少6L,据此可得t

与。的关系式；

(3)求汽车行驶6〃后，油箱中的剩余油量即是求当f=6时，Q的值；

(4)贮满60L汽油的汽车，理论上最多能行驶几小时即是求当。=0时，，的值.

【解答】解：(1)在这个变化过程中，汽车行驶时间是自变量，油箱剩余油量是因变量；

(2)由题意可知，Q=100-4/；

(3)当f=6时，0=100-4X6=76；

即汽车行驶6〃后，油箱中的剩余油量是76L；

(4)60+6X100=1000,

该车最多能行驶lOOOfon；

故答案为：(1)汽车行驶时间,油箱剩余油量；(2)2=100-4?：(3)76L；(4)lOOOfon.

【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是求函数关系式.注意贮满60L汽油的汽车,

最多行驶的时间就是油箱中剩余油量为0时的t的值.

21.(8分)(2020春•龙岗区期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交

AC于点。，交AB于点E.

(1)若NA=40°,求ND8C的度数：

(2)若4E=4,△C8力的周长为20,求8c的长.

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；66：运算能力.

【分析】(1)由在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,利用等腰三角形的性质，即可求得

ZABC的度数，然后由AB的垂直平分线MN交AC于点D,根据线段垂直平分线的性质，

可求得继而求得/AB。的度数，则可求得NOBC的度数.

(2)根据AE=4,AB=AC,得出CQ+AO=4,由△C8O的周长为20,代入即可求出答

案.

【解答】(1)解：•.•在△ABC中，AB=4C,NA=40°,

ZABC=ZC=10Q

,.'AB的垂直平分线MN交AC于点D,

：.AD=BD,

：.ZABD=ZA=40a,

：.ZDBC=/ABC-ZABD=30°

(2)解：VA£=4,

：.AC=AB=2AE^S,

'：/XCBD的周长为20,

：.BC=20-(CD+BD)=20-CCD+AD)=20-8=12,

：.BC=\2.

【点评】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线

上的点到线段两个端点的距离相等.

22.(8分)(2020春•龙岗区期末)如图，点。为线段AB上的任意一点(不于A、B重合),

分别以A。，B。为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△80。，OA=OC,OB=OD,Z

AOC与都是锐角，且/AOC=NBO。，与BC交于点P,AD交CO于点、M,

BC交。。于点M

(1)试说明：CB=4D；

(2)若/COQ=70°,求NAP8的度数.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力.

【分析】(1)由“SAS”可证△AO。丝△COB,可得CB=A。；

(2)由全等三角形的性质可求/8CO=/D4O,可得/D4O+/C8O=/BCO+/CBO,

由三角形内角和定理可求解.

【解答】证明：(1)VZAOC^ZBOD,

：.ZAOD^ZBOC,

又；OA=OC,OB=OD,

.•.△A。。/△COB(SAS),

：.CB=AD-,

(2)VZCO£)=70o,

...NAOC=NBOO=55°,

：.ZAOD=ZCOD+ZBOD=125°=ZBOC,

'："0。四△COB,

NBCO=ZDAO,

：.ZDAO+ZCBO=NBCO+NCBO,

.•.1800-NAP"180°-ZBOC,

，ZAPB=\25°

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，

掌握全等三角形的判定是本题的关键.

23.(9分)(2020春•龙岗区期末)直角三角形A8C中，N4CB=90°,直线/过点C.

(1)当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作于点£>,BE上I于点、E.求证：

△ACZ)四△CBE.

(2)当AC=8,BC=6时，如图②，点B与点尸关于直线/对称，连接BF,CF,动点

M从点4出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点尸

出发，以每秒3个单位的速度沿F-CfC-F向终点F运动，点M、N到达相应的

终点时停止运动，过点M作MDJJ于点D,过点N作NEJJ于点E,设运动时间为f秒.

①CM=8-r,当N在尸fC路径上时，CN=6-3r,(用含r的代数式表示)

②直接写出当△〃£>€1与△CEN全等时f的值.

图1

【考点】KY：三角形综合题.

【专题】152：几何综合题：553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；66：运

算能力；67：推理能力.

【分析】（1）根据垂直的定义得到/D4C=/EC8,利用AAS定理证明△ACD彩△CBE；

（2）①由折叠的性质可得出答案；

②动点N沿F一C路径运动，点N沿C-B路径运动，点N沿8-C路径运动，点N沿

C-F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算.

【解答】解：（1）△4CO与△C8E全等.

理由如下：..飞。，直线/,

.\ZDAC+ZACD=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCE+ZACD=Wa,

：.ZDAC=ZECB,

在△ACC和△CBE中，

"ZADC=ZCEB

<ZDAC=ZECB»

,CA=CB

.♦.△ACO丝△CBE（AAS）；

（2）①由题意得，AM=t,FN=3t,

则CM=8-t,

由折叠的性质可知，CF=CB=6,

：.CN=6-3t.

故答案为：8-/；6-3t.

②由折叠的性质可知，NBCE=NFCE,

"：ZMCD+ZCMD^90a,ZMCD+ZBCE=90a,

：.ZNCE=ZCMD,

：.当CM=CN时，Z\MDC与△CEN全等，

当点N沿F—C路径运动时，8-t—6-3t,

解得，--1（不合题意），

当点N沿C-B路径运动时，8-t—3t-6,

解得，Z=3.5,

当点N沿8-*C路径运动时，由题意得，8-f=18-3f,

解得，f=5,

当点N沿C-F路径运动时，由题意得，8-/=3r-18,

解得，z=6.5,

综上所述，当f=3.5秒或5秒或6.5秒时，AMDC与ACEN全等.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

考点卡片

1.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成ax10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：“X10",其中

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

2.科学记数法一表示较小的数

用科学记数法表示较小的数，一般形式为aX10",其中1W间＜10,〃为由原数左边起第

一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律

X的取值范围表示方法a的取值n的取值

|心10aX10"整数的位数-1

M<1aXIO"<10第一位非零数字前所有0的个数（含

小数点前的0）

3.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

I.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.同底数塞的乘法

（1）同底数嘉的乘法法则：同底数事相乘，底数不变，指数相加.

（m,〃是正整数）

（2）推广：d"•/•戒（"，n,p都是正整数）

在应用同底数幕的乘法法则时,应注意：①底数必须相同，如23与25,（次序）3与（a2b2）

4,（x-y）2与G-y）3等；②“可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数累的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数累.

5.募的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

Cam）n=amnCm,〃是正整数）

注意：①嘉的乘方的底数指的是基的底数；②性质中“指数相乘”指的是基的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数幕的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的辱相乘.

（出（"是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

6.同底数幕的除法

同底数幕的除法法则：底数不变，指数相减.

a"'-^an—a'"nCa^O,m,〃是正整数，〃?>〃）

①底数因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0;

③应用同底数基除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

7.单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每

―■项时，不能漏乘；③注意确定积的符号.

8.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±/?）2—c^±2ab+b2'.

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a,b可是单项式，也可以是多项式；（2）

对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两

项看做一项后，也可以用完全平方公式.

9.平方差公式

（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

（a+h）（a-b）=tz2-b2

（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和〃可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以

多项式法则简便.

10.整式的除法

整式的除法：

（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幕分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式

里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式.

关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数基相除;

③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式.

（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结果仍是

—•个多项式.

11.整式的混合运算一化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合

运算顺序相似.

12.零指数嘉

零指数累：a°=l(aWO)

,m,m,m

由a"^a=1,a"^a=a"'=^可推出a0=1(a#=0)

注意：O°#l.

13.负整数指数塞

负整数指数累：a"=lap(aWO,p为正整数)

注意：①a#0；

②计算负整数指数基时，一定要根据负整数指数嘉的意义计算，避免出现(-3)一2=(-

3)X(-2)的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

14.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平

面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点(x,y)都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对X、

y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点尸(x,y)是否在函数图象上的方法是：

将点P(x,y)的x