2024年普通高等学校招生数学模拟试卷

2024年普通高等学校招生数学模拟试卷

目录

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.........................................................................1

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分............................................5

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤...............................6

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（2014大纲全国，文1）设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7}4IJMAN中元

素的个数为（）.

A.2B.3C.5D.7

答案:B

解析:••・M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},

•••MnN={l,2,6},

.•.MAN中元素的个数为3,故选B.

2.（2014大纲全国，文2）已知角a的终边经过点（-4,3）,则cosa=（）.

4334

A.-B.-C.--D.--

5555

答案:D

解析:设角a的终边上点（-4,3）到原点0的距离为r,则r=V（-4）2+32=5,

••・由余弦函数的定义，得cosa=X=q,故选D.

r5

3.（2014大纲全国，文3）不等式组「（X的解集为（）.

A.{x|-2<x<-l}B.{x|-l<x<0}

C.{x|0<x<l}D.{x|x>l}

答案:C

解析:[x（x：2）U①

I|x|<L②

由①得,x<-2或x>0,

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由②得

因此原不等式组的解集为{x[O<x<l},故选C.

4.（2014大纲全国，文4）已知正四面体ABCD中,E是AB的中点，则异面直线

CE与BD所成角的余弦值为（）.

A.-B.—CiD.-

6633

解析:如图所示，取AD的中点F,连EF,CF,则EFIIBD,.••异面直线CE与BD所

成的角即为CE与EF所成的角NCEF.

由题知,△ABC,AADC为正三角形，设AB=2,则CE=CF=V3,EF=1BD=1.

・•・在4CEF中，由余弦定理，得coszCEF=%；染:誉=(.+黑>=手,故选

2CE-EF2XV3X16

B.

5.(2014大纲全国，文5)函数y=ln(W+l)(x>-l)的反函数是().

A.y=(l-ex)3(x>-l)

B.y=(ex-I)3(x>-1)

Cy=(l-ex)3(xeR)

D.y=(ex-l)3(xGR)

答案:D

解析:由y=In(我+1),得ey=Vx+l,.'-Vx=ey-l,x=(ey-l)3,

即反函数的定义域为R.

・•・反函数为y=（ex-l）3（x6R）,故选D.

6.（2014大纲全国，文6）已知a,b为单位向量，其夹角为60。,则（2a-

b>b=（）.

A.-1B.OC.lD.2

答案:B

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解析:由已知得|a|=|b|=l,<a,b>=60。，

•••(2a-b)-b=2a-b-b2=2|a||b|cos<a,b>-|b|2

=2xlxlxcos60°-12=0,故选B.

7.(2014大纲全国，文7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、

1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有().

A.60种B.70种C.75种D.150种

答案:c

解析:从6名男医生中选出2名有髭种选法，从5名女医生中选出1名有心

种选法，故共有髭•玛=翳x5=75种选法，选C.

8.(2014大纲全国，文8)设等比数列｛an｝的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则

S6=().

A.31B.32C.63D.64

答案:C

解析:•••S2=3,S4=15,.••由等比数歹()前n项和的性质，得

S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，

•••(S4-S2)2=S2(S6-S4),

即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.

22

9.(2014大纲全国，文9)已知椭圆C:%+券=l(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,

离心率为?，过F2的直线1交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4k，则C的方

程为().

2

A.3=lB.xy+y2=l

32

D£+£1

128124

答案:A

解析:,嗫+底=l(a>b>0)的离心率为当

•••|=日，二a：b：c=3：6：V3.

第3页共13页

又•.•过F2的直线1交椭圆于A,B两点,

△AF1B的周长为4机,

••-4a=4V3,•1•a=V3.

22

••.b=VI.♦.椭圆方程为5+9=1，选A.

10.（2014大纲全国，文10）正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为

4,底面边长为2,则该球的表面积为（）.

A.—B.161IC.91TD.—

44

答案:A

解析:由图知,R2=(4・R)2+2,

9

・・・R2=16-8R+R2+2/♦R=；,

AS表=4TIR2=4TIX巴=巴nc,选A.

164

22

11.（2014大纲全国，文11）双曲线。宏一3=130力＞0）的离心率为2,焦点到

渐近线的距离为旧厕C的焦距等于（）.

A.2B.2V2C.4D.4V2

答案:C

解析:；e=2,，=2.

a

设焦点F2（c,0）到渐近线ygx的距离为低

渐近线方程为bx-ay=0,

.|bc-axO|_G

vc2=a2+b2,-,.b=V3.

由£=2,得，^=2〃••吴=4,

aVcz-bzcz-3

解得c=2..•・焦距2c=4,故选C.

12.（2014大纲全国，文12）奇函数f（x）的定义域为R.若f（x+2）为偶函数，且

第4页共13页

f⑴=1,则f(8)+f(9)=().

A.-2B.-1C.0D.l

答案:D

解析:••・奇函数f(x)的定义域为R,

.•.f(-x)=-f(x),且f(0)=0.

・••f(x+2)为偶函数,••.f(-x+2)=f(x+2).

•,.f[(x+2)+2]=f[-x-2+2)=f(-x)=-f(x),

即f(x+4)=-f(x).

.,•f(x+8)=f[(x+4]+4]=-f(x+4)

・•.f(x)是以8为周期的周期函数，

••.f(8)=f(0)=0,

f(9)=f(8+l)=f(l)=l.

••.f(8)+f(9)=0+l=l.故选D.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.

13.（2014大纲全虱文13）（x-2）6的展开式中x3的系数为.（用数字

作答）

答案”160

解析:由通项公式得T4=C3x6-3（-2）3=-8髭x3,

故展开式中x3的系数为-8髭=-8x襄胃=-160.

14.（2014大纲全国，文14）函数y=cos2x+2sinx的最大值为

答案§

解析:"=cos2x+2sinx=l-2sin2x+2sinx=-2(sinx—1+1,

二当sinx=T时,ymax=|.

X-y>0,

15.(2014大纲全国，文15)设x,y满足约束条件x+2y<3,则z=x+4y的最

,x-2y<1,

大值为

答案：5

解析:画出x,y的可行域如图阴影区域.

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先画出直线y=—x,再平移直线y=-\,

当经过点时，

z=x+4y取得最大值为5.

16.(2014大纲全国，文16)直线11和12是圆x2+y2=2的两条切线.若11与

12的交点为(1,3),则11与12的夹角的正切值等于

答案g

解析:如图所示，设11与圆O:x2+y2=2相切于点B,12与圆O:x2+y2=2相切于

点C,则OB=V2,OA=V10,AB=2V2.

2x

CA厂-c2tana14

・・・tan4BAC=tan2a=------=—1

l-tan2a1--3

4

三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)(2014大纲全国，文17)数列｛an｝满足

al=l,a2=2,an+2=2an+l-an+2.

(1)设bn=an+l-an,证明｛bn｝是等差数列；

(2)求｛an｝的通项公式.

分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公

式.

(1)可用定义证明bn+l-bn=2(常数)即可.

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(2)利用(1)的结果，求出｛bn｝的通项公式及an+1-an的表达式,再用累加法可

求数列｛an｝的通项公式.

(1)证明:由an+2=2an+l-an+2得

an+2-an+l=an+l-an+2,

即bn+l=bn+2.

又bl=a2-al=l,

所以｛bn｝是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)解:由(1)得bn=l+2(n・l],

即an+l-an=2n-l.

于是f(ak+l-ak)=f

k=lk=l

所以an+l-a以n2,即an+l=n2+al.

又al=l,所以｛an｝的通项公式为an=n2-2n+2.

18.(本小题满分12分](2014大纲全国，文18)AABC的内角A,B,C的对边分

另ij为a,b,c,已矢口3acosC=2ccosA,tanA=/求B.

分析:先由已知及正弦定理，将边的关系转化为角的关系，

再由同角三角函数基本关系化弦为切，求出tanC.

根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tanB,即可求角B.

解:由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCeosA.

故3tanAcosC=2sinC,

因为tanA=*所以cosC=2sinC,tanC=|.

所以tanB=tan[180°-(A+CJ]

=-tan(A+C)

_tanA+tanC

tanAtanC-1

=-l,

即B=135°.

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19.(本小题满分12分)(2014大纲全国，文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,

点A1在平面ABC内的射影D在AC±,ZACB=9O°,BC=1,AC=CC1=2.

(1)证明:AC1_LA1B;

(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为次，求二面角A1-AB-C的大小.

分析:解法一：(1)由已知可证平面AA1C1CL平面ABC,再由面面垂直证线面

垂直，利用三垂线定理即得线线垂直.

(2)为利用已知,先寻找并证明AA1与平面BCC1B1的距离为A1E.再由三垂

线定理，确定二面角A1-AB-C的平面角为ZA1FD.最后通过解直角三角形求出

ZA1FD的正切值，

即可得出二面角的大小.

解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解.

(1)设出A1点坐标，确定点及向量坐标，利用数量积为0,证明线线垂直.

(2)设法向量，由已知垂直关系，确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.

解法一:⑴证明:因为A1D_L平面AB&AIDu平面AA1C1C,

故平面AA1C1C1.平面ABC.

又BC_LAC,所以BCJ_平面AA1C1C.

连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形，故AC11A1C.

由三垂线定理得AC11A1B.

(2)BC,平面AAlCl&BCu平面BCC1B1,

第8页共13页

故平面AA1C1C，平面BCC1B1.

作A1E1CC1.E为垂足，则A1E_L平面BCC1B1.

又直线AA1II平面BCC1B1,

因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=V5.

因为A1C为ZACC1的平分线，故A1D=A1E=V3.

作DF_LAB,F为垂足，连结A1F.

由三垂线定理得A1FLAB,

故ZA1FD为二面角A1-AB-C的平面角.

2

由AD=A/AA2-A1D=1得D为AC中点，

D八F「=1-x-A-C--x-B-C-=—V5,ta,nzAAlFYD厂门=—AiD=V1rr5-=.

2AB5'DF

所以二面角Al-AB-C的大小为arctanV15.

解法二:以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

由题设知AID与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.

⑴证明:设Al(a,O,c),由题设有a<2,A(2,0,0),B[0,l,0),

则前=(-2,0,0),词=(a-2,0,c),

AC】=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-l,c).

由|瓯|=2得J(a-2)2+C2=2,

即a2-4a+c2=0.①

于是启•跖=a2-4a+c2=0,所以AC11A1B.

⑵设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),则m±CB,m±BB7，

即m-CB=0,m-BB1=0.

因而=(0,1,0),西=国=(a-2,0,c),

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故y=0,且(a-2)x+cz=0.

令x=c,则z=2・a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为

|CA|.|cos<m,CA>|=^=7==^.

又依题设,A到平面BCC1B1的距离为百，所以c=V3.

代入①解得a=3(舍去)或a=l.

于是初=(-1,0,何

设平面ABA1的法向量n=(p,q,r),

则n±AA1,n±AB,

即n-AAt=0,

n-AB=0,

-p+V3r=0,K-2p+q=0.

令p=V5,则q=2V3,r=l,n=(V3,2V3,l).

又p=(0,0,l)为平面ABC的法向量，

故cos<n,p>=-^-=

|n||p|4

所以二面角A1-AB-C的大小为arccos-.

4

20.(本小题满分12分)(2014大纲全国，文20)设每个工作日甲、乙、丙、

T4人需使用某种设备的概率分别为0.6,050.5,0.4,各人是否需使用设备相互独

立.

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需

使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.

分析：(1)先用字母表示各事件，再由互斥与独立事件的概率可求.

(2)由(1)分析k的可能取值情况，比较即得结果.

解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,

B表示事件:甲需使用设备，

C表示事件:丁需使用设备，

D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备，

E表示事件:同一工作日4人需使用设备，

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F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.

(1)D=A1-B-C+A2-B+A2-B-C,

P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C^x0,52,i=0,l,2,

所以P(D)=P(A1-B-C+A2-B+A2-B-C)

=P(A1-B-C)+P(A2-B)+P(A2-B-C)

=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)

=0.31.

(2)由⑴知，若k=2,则P(F)=0.31>0.1.

又E=B-C-A2,

P(E)=P(B-C-A2)

=P(B)P(C)P(A2)

=0.06.

若k=3,则P(F)=0.06<0.1.

所以k的最小值为3.

21.(本小题满分12分)(2014大纲全国，文21)函数f(x)=ax3+3x2+3x(aw0].

⑴讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围.

分析:")由于导函数的判别式含参数a,因此要根据导数值的正负判断单调

性，需对a进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根，为比较两根的大小，需对

a进行二重讨论.

(2)根据f(x)在(1,2)上是增函数可列出关于a的不等式,注意对a>0或a<0

进行讨论.

解:⑴f(x)=3ax2+6x+3f(x)=0的判别式A=36(l-a).

①若a”,则F(x)沟且f(x)=0当且仅当a=l,x=-l.

故此时f(x)在R上是增函数.

②由于a#0,故当a<l时,f*(x)=O有两个根：

-1+Vl-a。-1-Vl-a

x4l=--------,x2=----.

aa

若0<a<l,则当xG(-8,x2)或xe(xl,+8)时f(x)>0,

故f(x)分别在(-8,x2),(xl,+8)是增函数;

当xe(x2,xl)时故f(x)在(x2,xl)是减函数；

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若a<0,则当*6(・8K1)或,2,+8)时F(x)vO,

故f(x)分别在(-8,xl),(x2,+8)是减函数;

当x£(xl,x2)时F(x)>0,故f(x)在(xl,x2)是增函数.

(2)当a>O,x>O时f(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.

当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(l)>0且F(2拄0,解得

综上,a的取值范围是K，0)U(0,+8).

22.(本小题满分12分)(2014大纲全国，文22)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的

焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q且|QF|=jPQ|.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线1与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线1'与C相交于

M,N两点，且A,M,B,N四点在同一圆上，求1的方程.

分析:(1)设出Q点坐标，利用|QF|芸|PQ|列出关于p的方程，借助于p的几何

意义及抛物线的性质确定p.