2023年江西省于都高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公

里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以

下结论不正确的是（）

注：年份代码1-5分刎时皮年份2OI4-2O1K

A.每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著

B.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关

C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上

D.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列

2.已知集合”={幻——3x—10<0},N*y=，9-x2卜且加、N都是全集H（R为实数集）的子集，则

如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）

A.1x|3<x<5}B.{M工<一3或%>5}

C.{x|-3<x<-2}D.1x|-3<x<5}

3.定义在R上的偶函数/(x),对V%,X2G(^O,0),且X产/，有J(")―/(')〉0成立,已知a=/(ln〃),

h=2，则。，b,c的大小关系为()

7

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

4.已知函数/(工)=公+1+疝2(awR)的最小值为0,贝!()

1.1

A.一B.-1C.±1D.±-

22

5.已知。为坐标原点，角a的终边经过点P(3,机)(机<0)且sina=®机，则sin2a=()

10

4334

A.—B.—C.--D.--

5555

6.已知复数z满足讫=2+i,贝！Iz的共辗复数是()

A.-1-2/B.-1+2/C.l-2iD.1+2/

7.若双曲线的一条渐近线与圆工2+(y—2『=2至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围

是()

A.[V2,+oo)B.[2,-H»)C.(1,V2]D.(1,2]

8.设函数〃x)在R上可导，其导函数为/'(x),若函数在x=l处取得极大值，则函数y=yf(x)的图象可

9.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为()

1234

A.-B.—C."D.一

5555

10.已知双曲线C：2-£=l(a>0,0>0)的焦点为耳，F2,且C上点P满足西.%=(),|朋|=3,|朋|=4,

则双曲线C的离心率为

11.若复数z满足zi=l-i（i为虚数单位），则其共扼复数［的虚部为（）

C.-1

12.已知「，乃是双曲线1-1=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，若点入关于双曲线渐近线的对称点A满足

/片4。=乙40耳（。为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=+y/2xD.y=+x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若函数/（x）=aba,（aeR）与函数g（x）=«,在公共点处有共同的切线，则实数。的值为.

14.如图是一个算法伪代码，则输出的i的值为.

.1

1

While

S一$一，

i+l

EndWhile

Printi

15.已知函数f（x）="—er—l,则关于x的不等式/（2幻+/（1+1）＞-2的解集为.

16.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是cm\最长棱的长度是cm.

[-]

俯视图

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面243,平面ABC,

D、E分别为A3,AC中点.

(1)求证：AB±PEi

(2)求二面角A-PB-石的大小.

18.(12分)已知函数，(x)=x2+(f—2)x—Hnx+2.

(1)若x=2是/(x)的极值点，求f(x)的极大值；

(2)求实数f的范围，使得/(x)N2恒成立.

19.(12分)已知函数/(x)=4sin((yx+e)A>O,3>O,-g<0<W的最小正周期是%，且当x=工时，f(x)

\22J6

取得最大值2.

(1)求/(X)的解析式；

(2)作出/(x)在［0,句上的图象(要列表).

20.(12分)如图，在三棱柱AOF-BCE中，平面A3CD_L平面ABEF,侧面4BCD为平行四边形，侧面为

正方形，AC1AB,AC=2A8=4,“为ED的中点.

(1)求证：EB//平面ACM；

(2)求二面角A1—AC—尸的大小.

x=2>/3+at

21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的的参数方程为「(其中/为参数)，以坐标原点。为极

y=4+J3f

点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为(2,：］,直线/经过点A.曲线C的极坐标方程为

psin2。=4cos6.

(1)求直线/的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

(2)过点。(6,0)作直线/的垂线交曲线C于。,E两点(。在x轴上方)，求向一向的值.

22

22.(10分)已知椭圆。：q+方=1(。>6>0)的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-3&=0垂直,

垂足为B,且点A是线段BF的中点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)若M,N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线％=4交于点

Q,且赤•而=9,求点P的坐标.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由折线图逐项分析即可求解

【详解】

选项A，B显然正确；

对于C,29~L6>0.8,选项C正确；

1.6

1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故。错.

故选：D

【点睛】

本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，是基础题

2.C

【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为Nn(a〃)，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合M,N,根据补集

和交集定义可求得结果.

【详解】

由韦恩图可知：阴影部分表示ND（5M）,

*/M={x［（x-5）（x+2）<0}={x|-2<x<5},N={x|9-%?20}={目-3<xW3},

Nc（4例）={x|-3<x<-2}.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所

求集合.

3.A

【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.

【详解】

解：对v%,w«F,O）,且药声々，有">0

/（X）在无«—,0）上递增

因为定义在R上的偶函数/（x）

所以/（%）在Xe（0,+8）上递减

又因为log2：=k）g26〉2,l<ln;r<2,

所以Z?>Q>C

故选：A

【点睛】

考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.

4.C

【解析】

设二，计算可得/（x）=［需需再结合图像即可求出答案.

-n\Xj_ZA-rUX_1Z/ilX

【详解】

g(%)+〃(x)=ax+\g(x)=Y-\-ax

设则<

=2x2+ax/z(x)=1-x2

则心g(x)+«)+1g(D卜陇瑞湍,

由于函数/(x)的最小值为0,作出函数g(x),〃(x)的大致图像,

结合图像，1一了2=0，得％=±1,

所以a=±l.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.

5.C

【解析】

根据三角函数的定义，即可求出加=-1,得出P(3,-l),得出sina和cosa,再利用二倍角的正弦公式，即可求出结

果.

【详解】

根据题意，sina=5<m，解得m=—\,

册2+910

所以而=(3,-1)，

a-....而3V10

所以sma=-----,cosa=-----,

1010

3

所以sin2a=2sinacosa=——.

故选：C.

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.

6.D

【解析】

两边同乘区化简即可得出答案.

【详解】

i*z=2+i两边同乘-i得z=l-2i,共趣复数为1+2。选D.

【点睛】

z=a+bi(a,beR)的共相复数为^=a-bi

7.C

【解析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心(0,2)到渐近线的距离420,由点到直线的距离公式可得”的范围，再由离心

率公式计算即可得到所求范围.

【详解】

=1(a〉0)的一条渐近线为y=：X,

双曲线二-丁即x—ay=0,

a

由题意知，直线x-ay=O与圆x2+(y-2『=2相切或相离，则2夜a，

解得因此，双曲线的离心率6=£=e(l,&].

故选：C.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

8.B

【解析】

由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间(F,0),(0,l),(l,4w)和x=0,x=1处函数的特征即可

确定函数图像.

【详解】

•••函数/(x)在R上可导，其导函数为尸(x),且函数/(x)在x=l处取得极大值，

・・・当X>1时，r(x)<0；当x=l时，/'(x)=0；当x<I时，/'(x)>0.

.•.x<()时，y=-xf'(x)>0,0cx<1时，y=—V'(x)<0，

当x=0或x=l时，y=-j/'(x)=0；当尤>1时，一V(x)>().

故选：B

【点睛】

根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断

图像问题常见方法，有一定难度.

9.C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为《=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为C；=H),

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数+C；=4,

10-43

6和28不在同一组的概率P=一历一=1.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

10.D

【解析】

根据双曲线定义可以直接求出"，利用勾股定理可以求出C,最后求出离心率.

【详解】

耳村

依题意得，2a=|Pg|=1,\FiF2\=yl\PF2f+\PFlf,因此该双曲线的离心率0=I=5.

=5I^H^I

【点睛】

本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.

11.D

【解析】

由已知等式求出Z,再由共枕复数的概念求得2,即可得2的虚部.

【详解】

1-z__/(l-/)

由zi=l-i,=-1-/,所以共扼复数2=-l+i,虚部为1

i心)

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共扼复数的基本概念，属于基础题.

12.B

【解析】

先利用对称得根据/々AO=NAO6可得AK=C,由几何性质可得乙4耳0=60。，即NM。乙=60,

从而解得渐近线方程.

【详解】

如图所示：

由对称性可得："为A工的中点，且AgLOM,

所以耳A_LAE，

因为/耳40=乙4。6，所以A耳=£O=c,

故而由几何性质可得ZAFtO=60=,即ZMOF2=6()。，

故渐近线方程为旷=±百'，

故选B.

【点睛】

本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出/知。8=60是解题的关键，属于中档

题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-

2

【解析】

函数=的定义域为(0,物)，求出导函数，利用曲线y=与曲线g(x)=五公共点为(毛,%)由于在

公共点处有共同的切线，解得x0=4/,a>0,联立/(%)=g(%)解得。的值.

【详解】

解：函数〃x)=a扇的定义域为(。,+<动，/'(力=(，8'(龙)=)，

设曲线/(x)=alm•与曲线g(x)=«公共点为(/,%),

a1

由于在公共点处有共同的切线，.•.丁=公第，解得与=4。，a>0.

由/(Xo)=g(/)，可得。1叫=瓜.

联立解得。=彳.

alnxQ=po2

故答案为：--.

2

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

14.5

【解析】

执行循环结构流程图，即得结果.

【详解】

执行循环结构流程图得5=9-1-2-3-4=一1<0,结束循环，输出i=4+l=5.

【点睛】

本题考查循环结构流程图，考查基本分析与运算能力，属基础题.

15.(--,+℃)

【解析】

判断g(x)=〃x)+l的奇偶性和单调性，原不等式转化为g(2x)>T(x>)=g(T-)，运用单调性，可得到所

求解集.

【详解】

令g(x)=/(x)+l,易知函数g(x)为奇函数，在R上单调递增,

,f(2x)+.f(x+l)>-2=/(2x)+l+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)X),

g(2x)>-念(xN)=g(—x-)

2x>—x—\,即x>——

3

故答案为：[-g+8]

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

16.22百

【解析】

由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面A8CD为直角梯形，AD//BC,4)_145,侧棱24，底面/188,

由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度.

【详解】

由三视图还原原几何体如下图所示：

该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ADLAB,侧棱24,底面ABCD,

则该几何体的体积为V=-x(*2)x2x2=2(a/),

32v>

PB=@+2?=2仪cm),PC=V22+22+22=2后(cm),

因此，该棱锥的最长棱的长度为26C、，〃.

故答案为：2；2百.

【点睛】

本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.⑴证明见解析；(2)60°.

【解析】

试题分析：

⑴连结P。，由题意可得「。，”，“，人星则窈上平面尸诙，AB±PE;

(2)法一：结合几何关系做出二面角的平面角，计算可得其正切值为故二面角的A-PB-E大小为6()。；

法二：以。为原点建立空间直角坐标系，计算可得平面ME的法向量1=(3,2,6).平面的法向量为

R=(0,1,0).据此计算可得二面角的A—必―E大小为60°.

试题解析：

(1)连结P。，'：PA=PB,；,PD^_AB.VDE//BC,DE1^AB.

又VPDcDE=D,:.A3J_平面PDE,•:PEu平面PDE,

J.AB^PE.

(2)法一：

•.■平面平面ABC,ABC=AB,PDJ_AB,平面ABC.

则又EDL4B,PDC平面AB=。，QEJ_平面R15,

过。做OF垂直尸8与F,连接EF,则EFJLPS,尸E为所求二面角的平面角，

则：DE=-,。尸=1,则柩〃/。/£=匹=6,故二面角的A—大小为60°

22DF

法二：

•.•平面_平面ABC,YffiY®ABC=AB,PDj^AB,W平面ABC.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

u3

0,0),P(0,0,石)，E(0,0),

3

PB=d>0,一百)，而=(。，；，-V3).

设平面PBE的法向量1=(x,y,z),

X—yf3Z=0,

3r-令Z=6,得4=（3,2,6）.

“-Gz=0,''

VDE,平面RIB,，平面RIB的法向量为R=(0,1,0).

/____\•叼1

设二面角的A-PB—E大小为6，由图知，cosO=cos（n,,=rL,pJ,=-

4M2

所以。=60°,即二面角的4一依一E大小为60°.

18.(1)-3.(2)r>l

【解析】

(1)先对函数求导，结合极值存在的条件可求f,然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；

(2)由已知代入可得，*2+(z-2)x-f阮之0在x>0时恒成立，构造函数g(x)=x2+(f-2)x-tlnx,结合导数及

函数的性质可求.

【详解】

(1)f=2x+Z—2—x>0,

x9

由题意可得，/'(2)=2+gf=0,解可得f=-4,

/.1(x)=2x—6+&=2),

xx

易得，当x>2,OVxVl时，f(x)>0,函数单调递增，当1VXV2时，f(x)<0,函数单调递减，

故当x=l时，函数取得极大值f(D=-3；

(2)由/(x)=x2+(t-2)x-"〃x+2>2在x>0时恒成立可得，炉+(t-2)x-，瓦之0在x>0时恒成立,

令g(x)=x2+(£-2)X-tlnx,贝!]g'(x)=2x+/-2-工——1,

xx

(0当仑0时，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，

所以g(X)min=g(1)=t-1>0,解可得仑1,

(H)当-2VfV0时，g(x)在(一上单调递减，在(0,--O,(1,+oo)上单调递增，

22

此时g(1)=/-1<-1不合题意，舍去；

(Hi)当k-2时，g'(x)=生二1匚20,即g(X)在(0,+00)上单调递增，此时g(1)=-3不合题意；

X

(iv)当t<-2时，g(x)在(1,——f)上单调递减，在(0,1),(——+oo)上单调递增，此时g(1)=t-1

V-3不合题意，

综上，t>l时，fix)N2恒成立.

【点睛】

本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值，利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题，分类讨论思想,

属于中档题.

19.(1)/(x)=2sin(2x+?1(2)见解析.

【解析】

(1)根据函数>=/(%)的最小正周期可求出①的值，由该函数的最大值可得出A的值，再由结合。的

取值范围可求得。的值，由此可得出函数y=/(x)的解析式；

(2)由xe[0,句计算出2x+2的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数y=/(x)在区间[0,句上的图象.

【详解】

(1)因为函数)，=/(x)的最小正周期是乃，所以。=——=2.

71

又因为当x=J时，函数y=/(x)取得最大值2,所以A=2,

同时2x7+0=2A»+/(Z;GZ),得(p=2k兀+

因为一所以e=二，所以/(x)=2sin(2x+/]；

226V07

兀\3九

(2)因为xe[O,司,所以2x+.e

7，-6~

列表如下:

71兀3%13%

2x+-7127

66~2~2~6~

兀542万Ibr

X071

677T~12

小)120-201

描点、连线得图象:

111111111

；：2/1111111111

11/111\!11111111

L-----1----厂丁大r4一迦一苞寸—「

1!1

1F10\\\!\2!3；!6!!/!irr

TX『相日苧泉盛也；①；\/nihx

——西耳生卜油%-笆

111111\|11/111

-1111111111

【点睛】

本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.

20.(1)证明见解析(2)45°

【解析】

(D连接80,交AC与。，连接由MO//FB,得出结论；

(2)以A为原点，AC,AB,Ab分别为x,丁，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，利用夹角

公式求出即可.

【详解】

(1)连接8D,交AC与。，连接

在用中，MO//FB,

又EBcZ平面ACM,MOu平面ACM,

所以FB//平面ACM；

(2)由平面ABC£>_L平面ABEF,AC±AB,AB为平面ABC。与平面的交线，故AC_L平面ABEE,故

AFLAC,又AF_LA6,所以A/7，平面ABC。，

以A为原点，AC,AB,AE分别为x,z轴建立空间直角坐标系，

A（0,0,0）,C（4,0,0）,B（0,2,0）,0（4,—2,0）,*0,0,2）,“（2,—1,1）,

设平面ACM的法向量为五=（x,y,z）,恁=（4,0,0）,AM=（2,-1,1）,

m-AC=4x=0

由I-----得而=（0,1,1）,

m-AM=2x-y+z=0

平面ACF的法向量为南=（0,1,0）,

由cos（福同卷=也,

2

故二面角M-AC-F的大小为45°.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21.（1）y=y/3x-2,y2=4x；（2）；

【解析】

X=OCOS0

（1）利用代入法消去参数可得到直线/的普通方程，利用公式.八可得到曲线C的直角坐标方程;（2）设直线

y-夕sin，

X=上~^-t,

的参数方程为-。为参数）,

1

y=­

2

代入＞2=4%得『+8也f—16G=0,根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.

【详解】

x-2>/3+at,

（1）由题意得点A的直角坐标为（省』），将点A代入，得，

y=4+

则直线/的普通方程为y=y/3x-2.

由夕§由沼=4cos。得/7为岳26=42以第。，即y2=4x.

故曲线C的直角坐标方程为/=4x.

X=y3------1,

(2)设直线的参数方程为｛2a为参数)，

1

.y=2(

代入9=©得产+8.—166=0.

设。对应参数为*E对应参数为则4+/2=-8有，82=-168，且6>04<0.

._1____1__J1_]/+,_]

,,阿阿可广1+[=77=耳.

【点睛】

参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如cos?a+sin2a=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程，通过选取相

x2+y~2=p2

X=z7cos0