2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）

1.（2分）己知@=2,那么犯心=.

b3h----

2.（2分）如图，DE//BC,AE=DE=1,BC=3,则线段CE的长为.

B4----------------------------iC

3.（2分）如图，AB是口。的直径，CZ）是口O的弦，ZACD=30°,4）=1,则4?=

4.（2分）若圆锥的母线长为8a〃，其底面半径为2a”，则圆锥的侧面积为cm2（结果

保留万）.

5.（2分）已知x=l是方程d+2/nx—3=0的一个根，则机=.

6.（2分）一组数据1、2、3、4、5的方差是___.

7.（2分）关于x的一元二次方程犬-2;<:+。=0有两不等实根，则。的取值范围是—.

8.（2分）抛物线y=x2-2x+l的顶点坐标是.

9.（2分）把函数y=V的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图

象的函数表达式是—.

10.（2分）已知二次函数卜=4（*-2）2+以。>0）,当自变量x分别取一1、4、6时，对应的

函数值分别为％,%，内，则%，丫2，的大小关系是一（用号连接）.

11.（2分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心、AC长

为半径画弧，交于点。，再分别以3、。为圆心，大于,8。的长为半径画弧，两弧交

2

于M,N,作直线MN,分别交AB、BC于点E、F，则线段防的长为.

12.（2分）若实数"？、〃满足利+〃=2,则代数式2加2+W+m-”的最小值是.

二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中

恰有一项符合题目要求.）

13.（3分）关于x的方程（加+1）/+2如-3=0是一元二次方程，则（）

A.6工±1B.m=\C.m^\D.1

14.（3分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，

点数1朝上的概率是（）

A.-B.-C.1D.0

65

15.（3分）如图，为口。的弦，点C为45的中点，AB=8,OC=3,则口。的半径长

为（）

A.4B.5C.6D.7

16.（3分）如图，已知UABCD,以8为位似中心，作ElAgCD的位似图形口E3FG,位似

图形与原图形的位似比为-，连结CG,DG,若口458的面积为30,则ACDG的面积为

3

D.6

17.（3分）二次函数y=加+bx+c（a,b,。为常数，且aw0）中的x与y的部分对应值如

表:

X-1013

y-1353

则代数式-枭32人）的值为（）

915

A.-B.—C.9D.15

22

18.（3分）如图，矩形A8CZ）中，AB=4,BC=2,以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，

旋转后的矩形记为A£FG,如图所示.CD所在直线与AE、GF交于点、H、I,CH=IH.则

线段印的长度为（）

A.3&B.272C.5D.-

2

三、解答题（本大题共有10小题，共计78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.）

19.（10分）用适当的方法解方程：

（1）（x-1）2=9；

（2）?+4x-5=0.

20.（6分）如图，转盘被等分成6个扇形，每个扇形上依次标有数字1,2,3,4,5,6.在

游戏中特别规定：当指针指向边界时，重新转动转盘.

（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为.

（2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的

概率.

5

\y2\/

21.（6分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用

数据，并记录如表：

日期6月1日7月1日8月1日9月1日10月1日11月1日12月1日

使用量（方）9.5110.129.479.6310.1210.1211.03

（1）求这7个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数；

（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元.

22.（6分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成,

若竹篱笆总长为36m,设垂直于墙的一边长为xm.

（1）若所围的面积为160〃，，求x的值？

（2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？

23.（6分）已知直线y=x+3分别交x轴和y轴于点A和3,抛物线y=+fex+c经过点

A和3,且抛物线的对称轴为直线x=-2.

（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为；

（2）试确定抛物线的解析式；

（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用23铅笔或黑色水笔加黑加粗）,

观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围

24.(6分)如图，己知43是口。的直径，点C在口。上，过点。的直线与A3的延长线交

于点P,连接AC,若C4=CP,ZA=30°.

(1)求证：CP是口。的切线；

(2)若。4=1,求弦AC的长.

25.(8分)如图，A48c中，BD平分ZABC,E为8c上一点，NBDE=NBAD=90。.

(1)求证：BD2=BABE；

(2)求证：ACDE^ACBD；

(3)若AB=6,BE=8,求CD的长.

26.(8分)【发现】

如图(1),为口。的一条弦，点C在弦Afi所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道

ZAC8的度数—(填“变”或“不变”)；若ZAO8=150。，则乙4cB=—°，爱动脑

筋的小明猜想，如果平面内线段45的长度已知，N4CB的大小确定，那么点C是不是在某

一个确定的圆上运动呢？

【研究】

为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究.如图(2),若AB=2垃,直线他

上方一点C满足/4CB=45。，为了画出点C所在的圆，小明以他为底边构造了一个等腰

RIAAOB,再以。为圆心，为半径画圆，则点C在□。上.请根据小明的思路在图（2）

中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹,并用28铅笔或黑色水笔加黑加粗）.后

来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段4?的长度已知,

ZACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的

几何模型称之为“定弦定角”模型.

【应用】

（1）如图（3）,AB=2G，平面内一点C满足NACB=60。，则AABC面积的最大值为.

（2）如图（4）,已知正方形以45为腰向正方形内部作等腰反%£,其中应：=54,

过点£作防_LAB于点F,点P是ABE尸的内心.

①ZBPE=°,/BPA=°；

②连接CP，若正方形A8CD的边长为2,则CP的最小值为.

图(3)图(4)

27.（11分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两

个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为

逆相似.例如，如图（1）,△西钿，且沿周界C£>EC与C4BC环绕的方向（同为逆

时针方向）相同，因此ACDE和AC4B互为顺相似;如图（2）,侬，且沿周界CDEC

与C54C环绕的方向相反，因此ACDE和ACBA互为逆相似.

（1）根据以上材料填空：

①如图(3),AB//CD,则AACBs©x>,它们互为相似(填“顺”或“逆”，下同)；

②如图(4),R4K中，ZACB=90°,C£>_LAB于点O,则AABCs,它们互为相

似；

③如图(5),若NZMfi=N£BC=90。，并且3D_LCE于点F,贝U,它们互为

相似；

(2)如图(6),若AAOBSACOD,指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指

出它们互为顺相似还是互为逆相似；

(3)如图(7),在RtAABC中，ZC=90°,AC=20,8C=15,点P在AABC的斜边上，

且AP=16,过点P画直线截AABC,使截得的一个三角形与AABC相似，则满足的截线共

有一条.

C

/(小

ABAB

图⑴图⑵

ABADBAEB

图⑶图(4)图(5)

B

K

0ACA

图⑹图⑺

28.(11分)已知抛物线6：y=-f+2x+3与x轴交于点A、B(点A在点B左边)，与y

轴交于点C,抛物线C?经过点A，与x轴的另一个交点为£(4,0),与y轴交于点0(0,-2).

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)点PG啕为线段上一动点(不与A、3重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线q

于点M,交抛物线C2于点N.

①请用含，〃的代数式分别表示点“、N的坐标；

②设四边形OMEN的面积为S,求S关于〃，的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时机

的值；

③在点尸移动的过程中，若CM=DN#Q,则机的值为.

(3)如图(2),点Q(0,〃)为y轴上一动点(0</<4),过点。作x轴的平行线依次交两条

抛物线于点R、5、T、U,则7I/-RS=.

图⑴图⑵

2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）

1.（2分）已知3=2,那么生心=1.

b3b-------

【解答】解：・..3=2,

b3

/.3a=2b,

3a-b2b-b.

--------=--------=1.

bb

故答案为：1.

2.（2分）如图，DE!IBC,AE=DE=1,3。=3,则线段CE的长为.2.

【解答】解：・・・£«/ABC,

/.ZAD£=ZS,

-AE=DE=lf

:.ZADE=ZDAE,

:.ZDAE=ZB,BC=3,

AC=BC=3,

/.CE=AC-AE=3-1=2,

故答案为：2.

3.（2分）如图，43是口O的直径，8是口。的弦，ZACD=30°,AD=\则AB=2

【解答】解：・・••是口0的直径，

/.ZADB=90°,

vZB=ZACr）=30°,

/.AB=2AZ）=2xl=2.

故答案为2.

4.（2分）若圆锥的母线长为8cm,其底面半径为2cm,则圆锥的侧面积为_164_c?/（结

果保留乃）.

【解答】解：圆锥的侧面积=2万x8x2+2=16万（a/）.

故答案为：167r.

5.（2分）已知x=1是方程x2+2〃比一3=0的一个根，则〃7=1.

【解答】解：把%=1代入x2+2mx-3=0得l+2/刀-3=0,解得机=1.

故答案为：1.

6.（2分）一组数据1、2、3、4、5的方差是2.

【解答】解：5=（1+2+3+4+5）+5=3,

—和-3）*2一3）~3-3）、（4一3）2+（5一3向=2.

故填2.

7.（2分）关于x的一元二次方程x2-2》+。=0有两不等实根,则“的取值范围是_a<1_.

【解答】解：根据题意得△=4-%>0,

解得"1.

故答案为a<1.

8.（2分）抛物线y=x2-2x+l的顶点坐标是—（1,0）—.

【解答】解：•.•y=x2-2x+l=（x-l）2,

抛物线顶点坐标为（1,0）.

故答案为：（1,0）.

9.（2分）把函数y=Y的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图

象的函数表达式是_y=（x+2>+l_.

【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=V的图象向左平移2个单位，再向

上平移1个单位得y=(x+2)2+L

故答案为y=(x+2)2+l.

10.(2分)已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取一1、4、6时，对应的

函数值分别为M，为，力，则%，为，%的大小关系是_必<乂<M_(用号连接)•

【解答】解：当x=-l时，y=〃(一1一2)2+c=9a+c；

当％=4时，y2=。(4-2)2+c=4a+c；

当x=6时，y3=a(6—2y+c=16〃+c.

/.4ci+c<9a-hc<16a+c,

%<yv必•

故答案为：必<凶<为.

11.(2分)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心、AC长

为半径画弧，交AB于点、D,再分别以B、。为圆心，大于工叨的长为半径画弧，两弧交

2

于M,N,作直线MN,分别交AB、BC于点E、F,则线段EF的长为-.

~2~

【解答】解：•.♦RtAABC中，ZACS=90°,AC=6,BC=8,

.•.由勾股定理得，48=序*=10,

由题可得，AD=AC=6,

:.BD=lO-6=4,

由题可得，MN垂直平分处，

:.BE=2,ZBEF=ZACB=90°,

又・・・ZB=NB,

/.^ABCS"BE，

EFBE

•.---=---,

CABC

即竺=2,

68

解得

2

故答案为：

2

12.（2分）若实数加、〃满足〃2+"=2,则代数式2/+L+机-〃的最小值是_-6_.

【解答】解：设y=2m2+m〃+"?一九，

\-m+n=2f

:.n=2-m,

y=2M+m（2一机）+m一（2—m）—irr+4m-2=（TT?+2）2-6,

此为一个二次函数，开口向上，有最小值，

当机=-2时，y有最小值为-6,

故答案为：—6.

二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中

恰有一项符合题目要求.）

13.（3分）关于x的方程（加+1）/+2侬-3=0是一元二次方程，则（）

A.他¥±1B.m=\C.m^\D.m^—\

【解答】解：由题意得：相+lwO,

解得：机工-1,

故选：D.

14.（3分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，

点数1朝上的概率是（）

A.-B.-C.1D.0

65

【解答】解：•.•抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1

朝上的只有1种结果，

・••第7次抛掷，点数1朝上的概率是工，

6

故选：A.

15.（3分）如图，为口O的弦，点C为他的中点，AB=8,OC=3,则口。的半径长

【解答】解：至于C,

AC=CB，

•/A8=8,

/.AC=CB=4,

在RtAAOC中，OC=3,

根据勾股定理，

OA=>]32+42=5.

故选：B.

16.（3分）如图，已知匚458,以3为位似中心，作口/WCZ）的位似图形CIEBFG,位似

图形与原图形的位似比为士，连结CG,DG.若口ABCD的面积为30,则△CDG的面积为

3

（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：连接8G,

­.•□ABCD和LEBFG是以8为位似中心的位似图形，

.•.点D、G、8在同一条直线上，FGHCD,

•.•四边形ABCD是平行四边形，面积为30,

.•・ACZ出的面积为15,

•：FG!/CD,

:.即FGs邸CD,

.BG_FG_2

而一而一3'

DG1

-----=—,

BD3

ASJ的面积=15x』=5,

3

故选：C.

17.（3分）二次函数y=ax?+bx+c（。，b,c为常数，且awO）中的x与y的部分对应值如

表:

X-1013

y-1353

则代数式-2（4。+26+C）的值为（）

2a

915

A.-B.—C.9D.15

22

【解答】解：・.•当x=0和x=3时，y值相等,

.••二次函数图象的对称轴为直线,

2

._A_2

"~2a~2,

,・•当％=1时，y=5,

3

.,.当x=2x——1=2时，y=5,

2

/.4a+2b+c=5.

b/人〜、3=15

-----（4。+2b+c）=-x5=­•

2a22

故选：B.

18.（3分）如图，矩形ABC。中，4?=4,BC=2,以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转,

旋转后的矩形记为AEFG,如图所示.CD所在直线与AE、GF交于点H、/,CH=IH.则

线段〃/的长度为（）

二。

T-----------------------------15

A.3近B.2&C.5D.-

2

【解答】解：如图，连接4，AC,

・・・以点A为旋转中心将矩形ABC。旋转,旋转后的矩形记为AEFG,

/.AG=AD,ZGAE=ZDAB=90°,

在RtAAGI和RtAADI中，

[AG=AD

[AI=AI

RtAAGI=RtAADI(HL),

/.ZGAZ=ZZM/,

1.90°-Z.GAI=90°-ZDAI,

:.〃AH=ZA1D,

:」H=AH,

又・・・/H="C,

:JH=HC=AH,

.'.ZMC=90°,

.•.ZZW+ZZMC=90。，

又・・・ND4C+NDG4=90。，

/.ZDA/=ZDCA，

又・・・NAD/=NA£)C=90。，

AA£)/SACD4,

AD_D/

DC~ADf

2_D1

••—,

42

..C/=ID+CD=5,

:.IH=-IC=-,

22

故选：D.

三、解答题(本大题共有10小题，共计78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.)

19.(10分)用适当的方法解方程：

(1)(X-1)2=9;

(2)；r+4x-5=0.

【解答】解：(1)x-1=±3,

所以xi=4,x2=-2；

(2)(x+5)(x-1)=0,

x+5=0或x-1=0,

所以xi=-5,X2=l.

20.(6分)如图，转盘被等分成6个扇形，每个扇形上依次标有数字1,2,3,4,5,6.在

游戏中特别规定：当指针指向边界时，重新转动转盘.

(1)自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为-；

~2-

(2)请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的

概率.

【解答】解：（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为3=L,

62

故答案为：—;

2

（2）画树状图如图：

开始

-------------------------------------------------------------------

1----------------2345----------------6

123456123456123456123456123456123456

共有36个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的结果有10个，

.•.两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率为吧=』.

3618

21.（6分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用

数据，并记录如表：

日期6月1日7月1日8月1日9月1日10月1日11月1日12月1日

使用量（方）9.5110.129.479.6310.1210.1211.03

（1）求这7个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数；

（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元.

【解答】解：（1）将这7个数据重新排列为:9.47,9.51,9.63,10.12,10.12,10.12,11.03,

则这7个月每月煤气使用量的众数为10.12方，中位数为10.12方，平均数为

9.47+9.51+9.63+10.12+10.12+10.12+11.03,八，七、

----------------------------------------=10（万）；

7

（2）估计小强家一年的煤气费为3x12x10=360（元）.

22.（6分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成,

若竹篱笆总长为36根，设垂直于墙的一边长为xm.

（1）若所围的面积为160〃，，求x的值？

（2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？

【解答】解：(1)由题意得:

x(36-2x)=160,

解得：玉=8,x2=10,

v0<36—2x<36,

/.0<x<18,

的值为8或10.

(2)设长方形鸡场的面积为S,由题意得:

S=%(36-2%)

=-2x2+36%

=-2(X-9)2+162,

*/-2<0，

当x=9时，S取得最大值，最大值为162.

・••当x的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162加，

23.(6分)已知直线y=x+3分别交x轴和y轴于点A和8,抛物线y=0¥?+bx+c经过点

A和8,且抛物线的对称轴为直线x=-2.

(1)抛物线与x轴的另一个交点。的坐标为

(2)试确定抛物线的解析式；

(3)在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象(请用25铅笔或黑色水笔加黑加粗),

观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围—.

>4

4-

3-

2-

1-

-4-3-2-1O-1~X

-1-

【解答】解：(1)・.•直线y=x+3分别交工轴和y轴于点A和8,

.,.点A(-3,0),点3(0,3),

・・・抛物线的对称轴为直线x=-2.

二.点C(—1,0),

故答案为(-1,0);

(2)・・・抛物线丁=加+云+。经过点4-3,0),3(0,3),点。(一1,0),

c=3

二."0=9。―3b+c,

0=a-h+c

a=1

.j=4,

c=3

.•.二次函数的解析式为：y=/+4x+3：

(3)如图所示:

当—3<x<0时，二次函数值小于一次函数值，

故答案为：—3<x<0.

24.(6分)如图，已知是口O的直径，点C在口O上，过点C的直线与的延长线交

于点P，连接AC,若C4=CP,ZA=30°.

(1)求证：CP是口0的切线：

(2)若。4=1,求弦AC的长.

c

图1

-OA=OC,ZA=30°,

/.ZA=ZACO=30°,

・.・C4=CP，

/.ZA=ZP=30°,

.•.ZACP=180o-ZA-ZP=180°-30o-30°120°,

.\ZOCP=ZACP-ZACO=120o-30o=90°

.•.OC上CP,

二.CP是口。的切线;

图2

-OA=OB=\,

AB=2,

・.・AB是口。的直径,

/.ZACS=90°,

•・・NA=30。，

/.BC=-AB=\,

2

：.AC=JAB?-BC?=G.

25.(8分)如图，AA3C中，比)平分NA3C,E为BC上一点,ZBDE=ZBAD=90°.

(1)求证：BD2=BABE；

(2)求证：ACDESACBD：

(3)若A8=6,BE=8,求CD的长.

【解答】(1)证明：・・・BO平分NABC,

:.ZBAD=ZDBE,

又・；ZA=ZBDE,

;.MAD^MDE,

.BA_BD

BD-BE?

:.Blf=BABE；

(2)证明：-/ABAD^ABDE,

:.ZADB=ZDEB,

・・・ZBD£=90。，

.・.ZDBE+ABED=90°，

ZADB+ZEDC=^，

;.ZDBE=ZEDC,

又

...ACDESACBD；

(3)解：由(1)得：BEr=BABE,

-.-AB=6,BE=3,

：.BDr=6X8=48,

:.BD=4y/3,

:.c°sNABD=2=4=昱,

BD402

.•.ZABD=30。,

:.ZABD=ZDBC=3（T,

ZC=30°,

:"C=/DBE,

BD=CD=4y/3.

B

ADC

26.（8分）【发现】

如图（1）,"为口O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道

NACB的度数不变（填“变”或“不变”）；若乙4。8=150。，则ZACB=°.爱

动脑筋的小明猜想，如果平面内线段A3的长度已知，NAC5的大小确定，那么点C是不是

在某一个确定的圆上运动呢？

【研究】

为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究.如图（2）,若48=20,直线45

上方一点C满足NACB=45。，为了画出点C所在的圆，小明以他为底边构造了一个等腰

RtAAOB,再以。为圆心，为半径画圆，则点C在口。上.请根据小明的思路在图（2）

中完成作图（要求尺规作图，不写作法,保留作图痕迹，并用23铅笔或黑色水笔加黑加粗）.后

来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段他的长度已知，

NACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的

几何模型称之为“定弦定角”模型.

【应用】

(1)如图(3),AB=2g,平面内一点C满足NAC8=60。，则AA8C面积的最大值为.

(2)如图(4),已知正方形以AB为腰向正方形内部作等腰ABAE,其中3E=84,

过点£作防，46于点尸，点尸是MEF的内心.

①ZBPE=°,ZBPA=°；

②连接CP,若正方形458的边长为2,则CP的最小值为一.

图⑴图⑵

图⑶图(4)

【解答】解：【发现】根据圆周角性质，NACB的度数不变,

vZAOB=150°,

ZACB=-ZAOB=75°,

2

故答案为：不变，75°；

【研究】补全图形如图1所示,

（,

【应用】（1）如图2,

图2

记A48c的外接圆的圆心为O,连接OA,OB,

•.•ZACB=60。，

:.ZAOB=2ZACB=\20°,

-.-OA=OB,

;.NO48=30°,

过点。作于"，

AH=—AB=>/3,

2

在RtAAHO中，设口。的半径为2r,则O4=r,

根据勾股定理得，（2r）2--=3,

：.r=l（舍去负数），

.,.04=2,OH=\,

•.•点C到43的最大距离/?为r+O〃=2+l=3,

・"MBC1s大=：A8.〃=：x2/x3=3/,

故答案为：36；

(2)①•.•EF_LM

，NE尸8=90°,

:.ZBEF+ZEBF=90°,

•.•点P是ABEb的内心，

PE,PF分别是ZBEF和NEBF的角平分线，

ZBEP=-ZBEF,ZEBP=ZABP=-ZABE,

22

NBPE=180°-(ZBEP+NEBP)=180°--(NBEF+NEBF)=180°-工x90°=135°；

22

在AB庄和中，

BE=BA

<NEBP=ZABP,

BE=BA

:MPE"BPA(SAS).

ZBPA=ZBPE=\35°,

故答案为：135。，135°;

②如图3,

作^ABP的外接圆，圆心记作点O,连接OA,OB,在优弧AB上取一点。，连接AQ,BQ,

则四边形APBQ是口。的圆内接四边形，

ZAQB=180°ZBE4=45°,

ZAOB=2ZAQB=90°,

.-.OA=OB=—AB=yf2,

2

连接OC,与口。相交于点P此时，CP是CP的最小值，

过点。作OM_LAB于A/,ON1CB,交C3的延长线于N,

则四边形OMBN是正方形，

:.ON=BN=BM=、AB=1,

2

:.CN=BC+BN=3,

在RtAONc中，oc=JON，+CN?=屈,

•••C鼎城小值=CP'=OC-OP'=/0-42,

故答案为：Vio—V2.

Q

图3

27.(11分)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两

个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为

逆相似.例如，如图(1),邈A,且沿周界ODEC与C4BC环绕的方向(同为逆

时针方向湘同，因此△(；£>£■和ACAB互为顺相似;如图(2),Affl?«@A，且沿周界CDEC

与C8AC环绕的方向相反，因此△€»£•和AC8A互为逆相似.

(1)根据以上材料填空：

①如图(3),AB//CD,则AAOBSACS,它们互为逆相似(填“顺”或“逆”，下

同)；

②如图(4),由罐中，ZACS=90°,8_1_48于点£),则44庚3____，它们互为相

似；

③如图(5),若NZMB=N£BC=90。，并且J_CE于点F,贝U,它们互为

相似：

(2)如图(6),若AAOBSACOD,指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指

出它们互为顺相似还是互为逆相似；

(3)如图(7),在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=20,3C=15,点P在AABC的斜边上，

且AP=16,过点P画直线截AABC,使截得的一个三角形与AABC相似，则满足的截线共

Ac

A

AB4B

图⑴图⑵

ABADBAEB

图(3)图(4)图(5)

LB

K

0ACA

图(6)图⑺

【解答】解：(1)®-.-ABHCD,

:.MOB^ACOD,

A4O8和ACOD互为逆相似，

故答案为：逆；

ZADC=ZBDC=90°=ZACB,

I、•.•ZL4=ZA,

.-.AABC^AACD,

AABC和AACD互为逆相似；

II、ZB=ZB,

:.^ABC^\CBD.

・•.AABC和ACBO互为逆相似；

故答案为：AACD（或ACB。），逆；

③・・・3DJ_CE,

/.ZBFC=90°,

:ZCBD+ZC=90°,

vZEBC=90°,

二NCBD+ZABD=90。,

.•.ZABD=NC,

^ABD^^BCE，

・•.AAa）和ABCE互为顺相似；

【注：I、当AABXAFCB时，八钻。和AFC8互为逆相似；

II＞当AA5£）^AFB石时，AAB3和AfBE互为逆相似；】

故答案为：ABCE,顺；

（2）AAOC^ABOD,AAOC和AB。。互为逆相似；

理由：・2OBs^COD,

.,.四=丝，ZAOB=NCOD,

COOD

ZAOB-ZBOC=/COD-/BOC,

.・.ZAOC=/BOD,

AOOB

•~co~~ob'

：.-O-A=-O-C,

OBOD

:2OCs耶OD,

：.A4OC和ABOD互为逆相似；

（3）在RAA中，AC=20,BC=15,根据勾股定理得，

AB=y）AC2+BC2=7202+152=25,

vAP=\6,

.\BP=AB-AP=9,

如图1,

①过点尸作PGLBC于G,

\ZBGP=900=ZACB,

vZB=ZB,

AABC^APBG,

.AB_BC

而一而‘

.25_15

—=,

9BG

,BG=S上<比，

255

.•.点G在线段3C（不包括端点）上,

过点P作尸G〃_LAC于G",

ZAG〃P=ZACB,

vZA=ZA,

.•.AABCSMPG”，

.AB_AC

…赤一后’

.25_20

"16"AG7,

.AC„=20X16=64<AC）

255

.•.点G”在线段AC（不包括端点）