2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年上海交大附中高二（上）期末数学试卷

一、填空题（共12小题）.

1.复数；2’的虚部为_____.

1-1

（=2t-l

2.直线/i：xi（/GR）,/：ax+y+3=0若则〃=_______.

（y=4t+42f

'y<2

3.已知变量x,y满足约束条件<x+y>4，则z=3x+y的最大值为.

x-yC1

4.若方程N+（A+3i）x+&+4=0有实数根，则实数上的取值是.

5.抛物线y=4N的准线方程为.

6.若圆锥底面半径为1,高为愿，则其侧面积为.

7.已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=®AC=BC=AD=BD=返,则三棱锥A-BC。

的体积是.

8.在北纬45°东经30°有一座城市A,在北纬45°东经120°有一座城市B,设地球半径

为R,则A、3两地之间的距离是.

22

9.尸是双曲线二一匚=1上的一点，Fi,尸2为焦点，若|尸川=7,则|PB|=.

916

10.设复数Z|,Z2满足|Z||=1,|Z2|=2,Z[+Z2=J^-i,则|ZLZ2|=.

11.已知异面直线所成角为70°,过空间定点P与“北成55°角的直线共有条.

12.三角形A8C的AB边在平面a内，C在平面a外，AC和8c分别与面a成30°和45°

的角，且平面A8C与平面a成60°的二面角，那么NACB的大小为.

二、选择题（共4小题）.

13.设复数z=a+4•（其中a、hER,i为虚数单位），则“a=0”是“z为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.已知P\（ai,bl）与尸2（42,62）是直线>="+1（k为常数）上两个不同的点，则关

于八：aix+biy-1=0和'a2x+"y-1=0的交点情况是（）

A.存在2,P,尸2使之无交点

B.存在k,P,P2使之有无穷多交点

C.无论A,Pi,P2如何，总是无交点

D.无论鼠Pl,P2如何，总是唯一交点

15.平行六面体A8CO-48C01的六个面都是菱形，那么点4在面A3。上的射影一定

是△AB1Q的心，点4在面BGO上的射影一定是△BGO的心.（）

A.外心、重心B.内心、垂心C.外心、垂心D.内心、重心

16.正方体ABC。-AiBiGd中，M为CG的中点，P在底面ABC。内运动，且满足

=NCPM,则点P的轨迹为（）

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

三、解答题

17.直三棱柱A8C-48G中，底面ABC为等腰直角三角形，ABLAC,AB=AC=2,A4,

=4,“是侧棱CG上一点，设MC=〃.

（1）若求〃的值；

（2）若6=2,求直线BAi与平面ABM所成的角.

18.已知方程x2+x+p=0有两个根X”X2,p€R.

（1）若仅I-X2|=3,求实数p的值;

（2）若M|+g|=3,求实数p的值.

19.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为

“刍舞”的五面体(如图1).其中四边形A8C。为矩形，EF//AB,△E4O和△F3C是

三角形，“刍薨”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别里，为全新的混凝土结构.它

由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍薨”，其中前后两坡屋面

ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F

在平面A8CD和8c上射影分别为H,M,己知HM=5米，BC=10米，梯形A8EF的面

积是面积的2.2倍.设NFMH=8(0<8<4).

(1)(2)(3)

(1)求屋顶面积S关于。的函数关系式；

(2)已知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度

确定，造价为9600元/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当。为何值

时，总造价最低？

20.如图，已知长方体ABCQ-AEG。，AB=2,A4i=l,直线8D与平面A488所成的

角为30°,AE垂直3D于E.

(1)若月为棱43上的动点，试确定F的位置使得AE〃平面8CF,并说明理由；

(2)若尸为棱48上的中点；求点A到平面8OF的距离；

(3)若尸为棱4囱上的动点(端点Ai,自除外)，求二面角F-80-A的大小的取值

范围.

21.设曲线E是焦点在x轴上的椭圆，左、右焦点分别是Fi,Fi,且|FiB|=2,M是曲线

上的任意一点，且点M到两个焦点距离之和为4.

(1)求E的标准方程；

（2）设椭圆上P（-l,y）,判断以（尸2为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E的长

轴为直径的圆的位置关系并说明理由；

（3）设点N（入，H）为曲线E上确定的一个点，若直线6：丫=履+〃?与曲线E交于两点

C,D（C,D异于点N）,且满足|而+而|=|NC-ND卜请问直线b是否恒过定点？

若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

参考答案

一、填空题(共12小题).

1.复数二2一的虚部为1

1-1

解：复数上2(l+i)=l+i,

1-1(1-i)(1+i)

•••复数人的虚部为1.

1-1

故答案为：1.

(x=2t-l1

2.直线1\：<(ZGR),I2：以+)叶3=0,若/i则a=—

ly=4t+4~2~

(x=2t-1

解：•・,直线kP(怎R),

ly=4t+4

・・・直线八的直角坐标方程为2%->6=0.,

V/2：or+y+3=0,/i±/2,

.\2a-1=0,解得〃=工.

2

故答案为：

'y<2

3.已知变量x,y满足约束条件•x+y》4，则2=知+>，的最大值为11

x-yC1

解：不等式组对应的平面区域如图

由z=3x+y得y=-3x+z,

平移直线y=-3x+z,则由图象可知当直线y=-3x+z经过点A时直线)，=-3x+z的截距

最大，

此时z最大，

=

由4'vy=2得1(x2,即A(3,2),

x-y=1(y=2

止匕时z=3X3+2=ll,

故答案为：11.

4.若方程/+*+3i)x+A+4=0有实数根，则实数k的取值是-4

解：；方程/+(%+3i)x+k+4=0有实数根，

设xo是方程x2+(k+3i)x+k+4=0的实数根，

/.(a)2+Ho+4+左)+3直=0

xo2+to+4+Zr=0,且3必=0,

解得k=-4.

故答案为：-4.

5.抛物线y=4N的准线方程为_丫=0_.

解：整理抛物线方程得x2=g,.•.0=5

・・,抛物线方程开口向上，

...准线方程是丫=-今

故答案为：y=.

6.若圆锥底面半径为1,高为M，则其侧面积为21T.

解：圆锥的高位愿，底面半径为1,所以圆锥的母线为：2,

圆锥的侧面积：yX2TtX2=2n

故答案为：2TT.

7.已知三棱锥A-BCD中，AB=CD=M，AC=BC=AD=BD=M，则三棱锥A-BCD

的体积是返.

-3一

解：如图，AB=CD=®,AC=BC=AD=BD=a，

A

取C£）的中点。，连接A。，BO,可得AO_LC£>,BOLCD,

又AORBO=O,则CO_L平面AOB,

在△ACZ）中，求得A0=J（V§）2_（号）2=^>

在△BC£>中，同理求得BO=H,

2______________

乂AB=y[2,：,SAAB0VX亚X42_（喙）2=1.

2

...三棱锥4-BCD的体积是V=lSAABOxCD=y-

故答案为：返.

3

8.在北纬45°东经30°有一座城市4,在北纬45°东经120。有一座城市B,设地球半径

TT

为R,则A、B两地之间的距离是

解：由己知地球半径为R,

则北纬45。的纬线圈半径为返R

2

又；两座城市的经度分别为东经30°和东经120。

故连接两座城市的弦长心=亨五•后R

K

则A,8两地与地球球心。连线的夹角NAO8=—

3

JT

则A、B两地之间的距离是飞-R

JT

故答案为：--R

o

22

9.尸是双曲线三--匚=i上的一点，Fx,乃为焦点，若|尸m=7,则|PF2|=13.

916

解:由双曲线的定义知，||PFi|-|PB||=2a=6,

.,.|PF2|=|PFI|±6=7+6=1或13,

「焦距|BB|=2c=2义后记=10,

...当|PA|=1时，|PA|+|PR=8<10,不能构成三角形,舍去，

.,.|PF2|=13.

故答案为：13.

10.设复数zi,Z2满足|zi|=l,|Z2|=2,Z]+Z2=V^-i,贝lj|zi-Z2|=_

解：设z”Z2在复平面内对应的向量为西，西，

Z1+Z2对应的向量为OZ3，如图所示，

因为Z1+Z2=j^-i,

所以|Z1+Z2|=2,

所以COS/OZIZQ=1+2_2―』，

COSZ-U41431X2X24

又因为/。2123+/4。22=180°,

=-

所以cos/Z1OZ2cosZOZ1Zg=-^-，

222

所以|Z^|=0Z1-K)Z2-20Z1-0Z2-COSZZ10Z2=1+4+1=6,

所以WZ；I=V6，故|zi-Z2|=|Z2Z；I=V6.

故答案为："y6-

Zly*-Z、

11.已知异面直线”，〃所成角为70°,过空间定点P与m人成55°角的直线共有3条.

解：将直线4,人平移，使两直线经过点P,如下图所示:

设直线小〃所成角的角平分线为C,

过点P垂直于直线。，人所在平面的直线为d,

因为a,。所成角为70°,

当直线/经过点尸且直线/在直线小b所在平面内且垂直于直线c,

此时直线/与直线a,6所成的角均为强。;7°：一=55°，

当直线/在直线c,"所在平面内时，

若/绕着点尸旋转，此时/与直线”，人所成角相等，

且所成角从弓一=35°变化到90°,再从90°变化到35°,

所以此时满足条件的/有2条，

综上所述，过空间定点P与a,b成55°角的直线共有3条.

故答案为：3.

12.三角形ABC的AB边在平面a内，C在平面a外，AC和BC分别与面a成30°和45°

的角，且平面ABC与平面a成60°的二面角，那么NAC8的大小为90°或

2注

arccos---.

3—

解：从C向平面作垂线C。，连接4。，B。，作CELAB,连接。E,

根据三垂线定理，DE±AB,

设CQ=〃，NCBD=45°,8。=扬，ZCAD=30°,

AC=2CD=2h,NCEZ)是二面角的平面角，

NCED=60°,CE=^&h,

3_

根据勾股定理,AE=^^-li,BE=J^h,AB=AE+BE=招，

根据勾股定理逆定理，AB^BCi+AC2,

(第Q2=(@)2+(2/i)2,

/.ZACB=90°,

另一种是N8是钝角，CE在三角形A8C之外，

AB=AE-BE=J^h,

3

根据余弦定理，AB--AC+BC1-2ACXBCXcosC,

C^h)2=(2〃)2+(&/?)2-2X2〃X扬cosC,

cosZACB-^^-,ZACB=arccos-^-^-.

33

二、选择题

13.设复数z=a+6i（其中a、6eR,i为虚数单位），则“。=0”是“z为纯虚数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

解：复数z=a+6i（其中a、〃6R,i为虚数单位），当＜2=0,且6#0时，z为纯虚数，

则％=0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，

故选：B.

14.已知Pi（防，bi）与Pi（公，历）是直线y=H+l（%为常数）上两个不同的点，则关

T'/i：a\x+b\y-1=0fe：ayc+bzy-1=0的交点情况是()

A.存在A,P|,P2使之无交点

B.存在k,Pi,P2使之有无穷多交点

C.无论％,Pl,尸2如何，总是无交点

D.无论鼠Pl,P2如何，总是唯一交点

解：Pi（ai,bi）与P2（〃2,历）是直线y=kx+l（k为常数）上两个不同的点，直线y

=履+1的斜率存在，

bn-b1

:.k=------,即aiWs,并且力=生“+1,bi—kai+X,

a2-a1

/.02b\-a\bi=ka\a2-kaiai+a2~a\—ai-ai,

aJx+b|Y=1

«，解得：（a必2-sbi）x=b2-",

=

a2x+b2yl

即（ai-ai）x=bi-b\.

方程组有唯一解.

故选：D.

15.平行六面体A8C£>-ABiGDi的六个面都是菱形，那么点Ai在面ABQi上的射影一定

A.外心、重心B.内心、垂心C.外心、垂心D.内心、重心

解：；平行六面体ABC。-ALBCQI的六个面都是菱形，

AiA=AiBi=AiDi,

点4在面ABQi上的射影。到A、Bi、。三点的距离相等，

...点Ai在面AB\D\上的射影O一定是△ABQi的外心；

设4在平面8QG中的射影为M,连接4G、A\M,

则A\M是AiCi在平面BDC\中的射影，

•.•平行六面体ABCD-AIBIGDI的六个面都是菱形，

：,BD//B\D\,AICI±BI£)I,：.A\C\VBD,

由三垂线定理得CtM±BD,

同理可证明BA/_LOG,DMVBCx,

点Ai在面BCiD上的射影一定是△BCi。的垂心.

故选：C.

16.正方体ABC。-AIBIGOI中，M为CG的中点，尸在底面ABC。内运动，且满足/。2口

=ZCPM,则点尸的轨迹为()

A.圆的一部分B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

解：'：ZDPDt=ZCPM,M为CG的中点，二蛇上2_1=垂.

PCDPDP

4=2

PC

在平面ABC。内以。为原点建立平面直角坐标系，设OC=1,P(x,y),

•.包=2

PC

：.PD=2PC

；•7x2+y2=2Vx2+(y-l)2

.2j4s24

••x+(ry)

在底面ABC。内运动，

轨迹为圆的一部分

故选：A.

三、解答题

17.直三棱柱ABC-AiBCi中，底面ABC为等腰直角三角形，AB1AC,AB=AC=2,A4]

=4,M是侧棱CCi上一点，设MC=fi.

(1)若求力的值;

(2)若仁2,求直线BAi与平面ABM所成的角.

解：(1)以A为原点，以AB,AC,A4为坐标轴建立空间直角坐标系A-Jtyz,

则8(2,0,0),Ai(0,0,4),C(0,2,0),M(0,2,h),

BH=(-2,2,/I),A[C=(0,2,-4),

若5M_L4C,则而忑=0,即4-4力=0,

：.h=\

(2)当h=2时，M(0,2,2),BH=(-2,2,2),研=(2,0,0),BA1=(-

2,0,4),

，一•

则H里,

设平面A8M的法向量为门=(x,y,z)

.n•BM=0

令z=l可得丢=(0,-1,1).

.___n-BA]_4_77o

n1InllBAjV2X2V55

设直线BAi与平面ABM所成的角为。，则sin0=|cos<n，西>|=H,

5

.n_.'/W

..u-——.

arcsinD

18.已知方程P+x+p=O有两个根X],X2,pGR.

(1)若团-12|=3,求实数p的值；

(2)若团|+咫|=3,求实数〃的值.

解：(1)因为方程]2+x+p=0有两个根羽，必p£R,

则X]+X2=-1,X\X2=p,

因为|XI-X2|=3,所以|X[-乂2I2=9，即|(X]->2)2-4X]>21=9,

可得|l-4p|=9,解得p4或-2；

(2)①当xi,尤为两个实根时，△=l-4p20,所以同看，

2=22=

所以(|xj|+|X2I)9，所以Xj+X2+21X^2l9>即

2-=

(xj+x2)2XJx2+21xjx2I9>

所以l+2p+2bl=9,解得p=-2；

②当M,及为两个共辗虚根时，即pg时，

|刈+|阅=3,即|XI|+|x1|=3,所以|x1|h^，

由韦达定理可得,p=k/2号;

综上所述,P=-2或自

19.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书本记载了一种名为

“刍费”的五面体(如图1).其中四边形ABC。为矩形，EF//AB,△E4。和△FBC是

三角形，“刍薨”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构.它

由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍薨”，其中前后两坡屋面

ABEF和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形，点F

在平面ABC。和BC上射影分别为H,M,己知HM=5米，8c=10米，梯形A8EF的面

(1)(2)(3)

（1）求屋顶面积s关于。的函数关系式;

（2）己知上部屋顶造价由屋顶面积确定，造价为600元/平方米，下部主体造价由高度

确定，造价为9600元/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅，试问：当。为何值

时，总造价最低？

解：(1)在R3HM中，FM=——^―-=—

cosZFMHcos8

SMBC=LM・BC=4-X-^-X10=2J一,

22cos9cos8

•.•梯形ABEF的面积是△FBC面积的2.2倍，即SWABEF=2.2S^BC,

.•.屋顶面积5=2(SMBC+SWABEF>=2X3.2S“BC=2X3.2X—-

COSyCOSy

e€(o,今).

(2)在RtZ\FHM中，F/7=WM«tan0=5tan0,

,下部主体的高度为6-5tan0,

总造价y=—^-义600+(6-5tan0)X9600=9600X(1(^+6-5sin^)=9600

cos8cos8cos8

105s9

X(~^+6),

COS0

设/(O)=l°-5s\",要使总造价最低，则/(。)最小，

cosy

-5cos8"cos8+(10-5sin9),sin6lOsinQ-5

/⑹=2e2

COScos0

令/(6)=0,则sin0=/,

・・・ee(o,为…$

46

TTTTTT

当06(0,--)时，f(0)V0,f(0)单调递减，当0G(---,---)时，f(0)>0,

664

/（6）单调递增,

.•.当时，f（0）取得最小值，

6

TT

故当8—时，总造价最低.

o

20.如图，已知长方体ABCQ-A山iG。”AB=2,AAi=l,直线20与平面AABB所成的

角为30°,AE垂直8。于E.

（1）若尸为棱4为上的动点，试确定尸的位置使得AE〃平面BGF,并说明理由；

（2）若尸为棱4步上的中点；求点A到平面B。下的距离；

（3）若F为棱上的动点（端点4,除外），求二面角F-BO-A的大小的取值

范围.

B.F1

解：（1）当丁4—=合时，AE〃平面AGF,证明如下：

B]A]3

延长AE交CQ于点因为A。，平面ABBMi,

所以NQBA就是直线8。与平面AB81A1所成的角，即/QBA=30°,

所以A£>=ABtan30°=2返，

3

由所以NOAE=30°,£>M=ADtan30°=—,

3

在CQ上取点N,使得D]N《，连结MN,AiN,

BiFi9A

因为钉1=5,则B/A，

D।A।o1O1O1

又4尸〃GN,所以4FGN是平行四边形，

则4N〃FG,D\N=DM,DiN〃DM,

则。iNMD是平行四边形，

所以MN〃O£）i〃AAi,MN=DDi=AAt,

所以AiAMN是平行四边形，

所以AM〃4N,

所以AM〃GF,又AA/仁平面BCiF,GFu平面BG凡

所以AM〃平面BCiF,即AE〃平面BCiF；

（2）因为SABD9X竿X2挈,

所以VF-ABD^XI'等邛,

由长方体的性质可得，BF=V2,BD=3^,DF=画，

33

所以BF1+FD2=BD2,

所以BFLDF,

所以S^DF^X加X尊邛’

设点A到平面BDF的距离为h,

则由以-9产=匕一"。可得，lx^p-h=^"所以hRG，

故点4到平面BDF的距离为25；

5

（3）作FPLAB,垂足为P,作PQVBD于Q,连结FQ,

则FPJ_平面ABC。，BOu平面4BCD,

所以FPJ_B。，同理FPJ_PQ,

因为FPCPQ=P,FP,PQu平面FP。，

所以平面FP。，而FQu平面FP。，

所以BDYFQ,

所以NFQP是二面角F-8。-A的平面角，

设3F=x（0<x<2）,则由是矩形可得BP=x,FP=BBi=l,

贝ijPQ=BPsin30°=/*

所以tanNFQP罢工€（1.0），

PQx

又NR2P是锐角，

所以/尸2尸€（亍IT，子TT），

所以二面角尸-8。-A的大小的取值范围为（g兀,-7Ty）.

21.设曲线E是焦点在x轴上的椭圆，左、右焦点分别是Q,3,且|BB|=2,M是曲线

上的任意一点，且点M到两个焦点距离之和为4.

（1）求E的标准方程；

（2）设椭圆上P（-l,-1）,判断以（后为椭圆右焦点）为直径的圆与以椭圆E的长

轴为直径的圆的位置关系并说明理由；

（3）设点Na,|i）为曲线E上确定的一个点，若直线乙：y=Ax+，〃与曲线E交于两点

C,D（C,D异于点N）,且满足|前+而|=|亚-而|"请问直线，2是否恒过定点？

若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

解：（1）由题意可得2c=2,2a=4,所以。=2,c=\,b2—a2-c2—3,

22

所以椭圆的方程为：三-+，=1；

43

（2）由⑴可得右焦点尸2（1,0）,|PF2|=J（-1-1）2+（_|_）2=_|,

中点CI坐标（0,孑），圆的半径为八=?,

44

椭圆E的长轴为直径的圆