2020-2021学年巴中中学高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年巴中中学高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.直线+3y-3=0的倾斜角为（）

A.-30°B,30°C.120°D.150°

2.下面四个命题中真命题的是（）

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的

抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;

③在回归直线方程夕=0.4%+12中，当解释变量%每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；

④对分类变量X与丫的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与丫有关系”的把握程度越大.

A.①④B.②④C.①③D.②③

3.已知直线x+y，og4a=0与直线2x—丫-3=0平行，则a的值为（）

1

A.-B.2C.4D.16

4.若直线0始终平分圆0：0的周长，则0的最小值为（）

A.8B.12C.16D.20

5.已知圆Ci：（尤一a）2+（y-b）2=4（a,b为常数）与C2：/+y2一=o.若圆心的与c2关于直线

X-y=0对称，则圆G与的位置关系为（）

A.内含B.相交C.相切D.相离

6.半径为2CM的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）

A.V3cmB.2y/3cmC.2cmD.4cm

7.已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.

其中错误命题的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

id主祝ADl0左臂国

A麟

A.—B.37rD.67r

9.有关命题的说法错误的是

A.命题“若/-乐翳强=购测算=工”的逆否命题为：“若常:学工则/-警京外赛岸期)”

B.ax=r是"7?-警君书辑=悔”的充分不必要条件

C.若那纯簪为假命题，则p、q均为假命题

D.对于命题萨::3K图愚使得第3年富：«：1«：电，则一静:‘歌图露均有婢开嘉'H■，空解

10.过椭圆盘+，=l(a>b>0)的左焦点Fl作x轴的垂线交椭圆于点P,尸2为右焦点，若"1PF2=

60。，则椭圆的离心率为()

A.立B.3C.；D.|

2323

11.抛物线y2=4x的焦点尸是椭圆1+旨=l(a>b>0)的一个焦点，且它们的交点M到尸的距离为

I，贝Ua的值为()

A.4B.2C.iD.：

39

12.在三棱锥4一BCD中，E,F分别为AC,4。的中点，设三棱锥4-BCD的体积为匕，四棱锥B-

CDFE的体积为匕，则匕：％=()

A.4：3B.2：1C.3：2D.3：1

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.抛物线y2=6x的焦点坐标为.

14.在三棱锥中，PA_L平面ABC,AB=BC=CA=2应，且三棱锥P-ABC的体积为/若三棱锥P-

ABC的四个顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为.

15.过点4(2,0)且与圆/+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程为.

16.双曲线式-艺=的离心率为颗Jm等于____.

16m4

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.设命题p：实数x满足/_4x+3<0，命题q：实数x满足2x-l>0,若使得pvq为真，P人勺为

假，求实数x的取值范围

18.【选做题】在4、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分.解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

8.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵3/=1:有特征值41=4及对应的一个特征向量&=［：］.

（1）求矩阵M;

（2）求曲线5-+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线的方程.

C选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为Jx=2cosa,g为参数）.以直角坐标系

j=sina

原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线［的极坐标方程为pcos|6—§=2啦.•点

P为曲线C上的动点，求点P到直线，距离的最大值.

19.已知几何体4BCCEF中，4B//CD,4D=DC=CB=1,Z.ABC=60°,

四边形ACFE是矩形，FB=V2，M,N分别为EF,4B的中点.

(I)求证：MN〃平面FCB；

（口）若FC=1,求点4到平面MCB的距离.

20.已知圆C的圆心在直线匕：2x-y+1=0上,与直线3K-4y+9=0相切，且截直线%：4%-3y+

3=0所得的弦长为2,求圆C的方程.

21.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,c)(c>0)到直线Lx-y—2=0的距离为逑.设P为

2

直线1上的点，过点P作抛物线C的两条切线P4PB,其中4,B为切点.(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(%o,y0)为直线，上的定点时，求直线4B的方程；

(3)当点P在直线/上移动时，求|4可•|BF|的最小值.

22.如图，在三棱柱=2ZDMB中，已知4BMC=30。.，AB=

7T

BC=1,BBi=2,乙BCG=-.

(1)求证：JBL平面ABC；

(2)设方=4鬲(0W4W1)，且平面48道与B/E所成的锐二面角的

大小为30。，试求;I的值.

23.椭圆E：W+、=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,焦距为2,过&作垂直于椭圆长轴

的弦|PQ|,其长度为3.

(I)求椭圆E的方程；

(口)若过&的直线2交椭圆于4B两点.判断是否存在直线I使得乙4尸2口为钝角，若存在，求出，的斜

率k的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：

解：直线百久+3y—3=0化成斜截式，得y=—4％+1,

・・・直线的斜率k=—

3

••・设直线的倾斜角为a,••.tcma=-与，结合a€[0,180。），得a=150。.

故选：D.

由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解.

本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题.

2.答案：D

解析：解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数

的绝对值越接近于0；故②为真命题；

在回归直线方程9=0.4%+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，

故③为真命题；

对分类变量X与丫的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与y有关系”的把握程度越小，故④为

假命题；

故真命题为：②③，

故选。.

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据回归系数的几何意义，可

判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④.

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法，相关系数，回归系数及独立性检验等知识点，难度

不大，属于基础题.

3.答案:A

解析：

本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.

由直线的平行关系可得2/094。=-1，解之可得.

解：x+ylog4a=0与直线2%-y-3=0平行，

•1•210g4a=-1>解得a=

故选A.

4.答案：C

解析：试题分析：因为，直线S始终平分圆S的周长，所以圆心(-4,-1)在直线0上，从而,

4a+b=1,

所以，0回，故选C。

考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。

点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。应用均值定理，“一正,

二定，三相等”缺一不可。

5.答案：B

解析：解：根据题意可得圆G的圆心(a,b),半径a=2,

圆C2的圆心(1,0),半径6=1.

因为圆心C1与C2关于直线x-y=0对称，

所以，解得a=°，b=l，

I22-。

所以圆Cl的圆心(0,1),

所以IGC2I=V12+I2=V2.

n+r2=3,匕-r2|=1,

所以1<\CtC2\<3,

所以两圆相交，

故选：B.

(b=_1

由于圆心C1与C2关于直线X-y=0对称，则］b,解得a,b,进而可得IC1C2I，再计算6+「2,

I------=0

I22

|ri-r2|,即可得出答案.

本题考查两圆的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题.

6.答案：A

解析：解：设圆的半径为R,圆锥的底面半径为r,高为h,最高处距桌面距离为：H

根据题意：2m•=TTR

•••R=2r

・・.h=V/?2—r2=V3r

.••最高处距桌面距离：H=2^=V3

故选A

根据折叠原理，折叠前半圆的弧长为圆锥的底面周长即：2仃=兀心找到两者的关系，再求得圆锥

的高，利用等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2,即为最高处距桌面的距离.

本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，

仔细论证，属中档题.

7.答案：B

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象

能力，是中档题.

在①中，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时.，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线；

在②中，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直；在③中，只有这

个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面.

解：在①中，根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，

只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，

这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，故①错误；

在②中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，

另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，

这些直线都与已知直线垂直，故②正确；

在③中，根据平面与平面垂直的性质定理可知，

只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，故③错误.

故选：B.

8.答案：B

解析：试题分析:

由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图，所求几何体

的体积为：口旗城盛烂第幅=飒.

考点：由三视图求面积、体积.

点评：本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能

力.

9.答案:C

解析：试题分析：4命题“若£-禽#既=螂则需=小'的逆否命题为：“若

富#工则£-&•*既#0”，正确；

8.由6-甑曲篝=小得：后域踪=鬟，所以‘3=1"是“£-甑阴篝=1针的充分不必要条件，正

确；

C.若好於密为假命题，则p、q均为假命题，错误，当p、q一真一假时，源於密也是假命题；

。.因为特称命题的否定是全称命题，对于命题跖丸；图到吏得£#霖注心:蒯，则

-到:瞬i：管邈＞均有K?书罡㈣,正确。

考点：四种命题的书写；充分、必要、充要条件的判断；特称命题的否定；复合命题真假的判断。

点评：注意否命题与命题的否定的区别，属于基础题型。

10.答案:B

解析：解：由题意知点P的坐标为（一吟）或（一c,—当，

出PF2=60°,

a

即2GC=V3fo2=V3(a2—c2).

・•・V3e2+2e—V3=0,

・•.e=/或e=-V5(舍去).

故选：B.

把久=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据“止尸2=60。推断出患=遍整理得be2+2e-

a

A/3=0.进而求得椭圆的离心率e.

本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力.

11.答案：B

解析：解：•••抛物线漠=4x的焦点尸(1,0),

••・椭圆各'=l(a>b>0)的一个焦点F(l,0),

•••它们的交点M到F的距离为|,

...变+_1_=1，解得。2=久舍)，或a?=4.

a2a2-l9

即Q=2.

故选：B.

由抛物线必=4x的焦点F(l,0),知椭圆的一个焦点F(l,0),由它们的交点M到F的距离为:求得M的

横坐标，进一步得到纵坐标，代入椭圆方程即可求得a值.

本题考查抛物线与椭圆的简单性质，考查计算能力，是基础题.

12.答案：A

解析：解：设点B到平面/CD的距离为九，三棱锥4—BCD的体积为匕,

在三棱锥A-BCD中，:E,F分别为AC,4。的中点，

"S-EF=]SA4C£>，则/-4EF=HAEF■八=]',SA4CD,九=1匕，

.••四棱锥B-COE尸的体积彩=%—；匕=3匕.

故选：A.

由E,尸分别为AC,AD的中点，可得SMEF=：SAACD，得到三棱锥B—4EF的体积与匕的关系，进一

步得到七与匕的关系，则答案可求.

本题考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题.

13.答案：(|,0)

解析：解：抛物线y2=6x的焦点坐标为(|,0).

故答案为：(|,0).

利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.

14.答案：16兀

解析：

本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求

出球的半径是解题的关键，是中档题.

由三棱锥P-ABC的体积为号求出P4将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底

面的距离d等于三棱柱的高P4的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积.

解：•.•三棱锥P-4BC的体积为*

•­.|xyx(2V2)2xPA=^,

PA=也,

3

将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，

球心到底面的距离d等于三棱柱的高P4的一半，

•••△ABC是边长为2&的正三角形，

••.△ABC外接圆的半径r=也，

3

球的半径为］(半)2+(.)2=2,

，球。的表面积为47rx22=16TT.

故答案为：167r.

15.答案：?+?=1

解析：解：设动圆圆心的坐标为P(x,y),由/+4%+y2-32=0,得：(％+27+y2=36,

.•.圆/+4x+y2_32=0的圆心坐标为8(-2,0),半径为6.

•.,动圆过点4(2,0)且与圆公+4x+y2—32=0内切，

\PA\+\PB\=6>\AB\.

••.P的轨迹是以4B为焦点的椭圆，且a=3,c=2,b=炳,

两边再平方并整理得：5/+9y2=45.

椭圆方程为交+。=1.

95

故答案为g+y=1.

］化圆的一般式为标准式，求出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，由题意P的轨迹是以4B为焦点

的椭圆，且a=3,c=2,b=烟,即可得答案.

本题考查了轨迹方程，解答的关键是得出P的轨迹是以4B为焦点的椭圆，且a=3,c=2,b=花，

考查了学生的运算能力，是中档题.

16.答案：9

解析：解：,•,双线巴-旺=1可a2=16,b2=,

16m

又离心为：，则e=亍=J］+去—

故答案为.

利用双曲的离心率计算式e=£=h+,即可得.

a7Q2

熟练双曲线的离心率算公式e=£=卜+与是解题关键.

2

QYa

17.答案：(；,1］口［3,桢)

解析：解：命题P：实数支满足V-4x+3<0，即命题p：实数x满足1<X<3,

命题q：实数x满足2x—1>0,即命题q：实数x满足x>g,

若使得puq为真，PA0为假，当p真q假时，l<x<3且,此时x不存在；当p假q真时,

2

—<x<1或x>3,

2

所以实数x的取值范围是(；,1］口［3,池).

18.答案：解：(1)由已知得即2+3b=8,2c+6=12得b=2,c=3.

所以葭=

32'

由题意羽

(2)设曲线上任一点P(x,y),P在M作用下对应点P，即

K一亡

了=x+2yx=

12

，解得‘代入5/+%+4炉=1得产+v2=2

y=-4-

即曲线5/+细+4_/=1在M作用下的新曲线方程7+/=2

解析：解析1.利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算即可求出

2.先利用利用矩阵的特征值与特征向量的关系及矩阵的运算求出坐标，再代入到已知曲线中即可求

得

19.答案：(/)证明：取BC的中点Q,连接NQIQ,则NQ=/c,NQ〃AC,-------7V----(

1r>o\：A

又MF=\AC,MF//AC,二：二:弋‘

:.MF=NQ,MF〃NQ,则四边形MNQF是平行四边形，

MN//FQ,FQu平面FCB,MNC平面FCB,

MN〃平面FCB.

(〃)解：AD=DC=CB=1,/.ABC=60°,可得44cB=90。，AC=V3,AB=2.

又FC=1,FB=V2.BC=1,•••FCIBC,又乙ACB=90°,即4c1BC.BC_L平面4CFE.

设点4到平面MCB的距离为/i,则匕-MCB=三SAMCB-九。

四边形4CFE为矩形,又以-MCB=^B-ACM=|XBCxS^=£xlx：xlxV3=,

3ACM5Lo

SAMCB=5X1XJI+(y)2=g

叵L-

，九=』=弩，则点4到平面MCB的距离为出.

衿77

解析：。)取BC的中点Q,连接NQ,FQ,利用三角形中位线定理与平行四边形的判定可得四边形MNQF

是平行四边形，因此MN〃尸Q,再利用线面平行的判定定理即可证明.

(〃)由4B〃CD,AD=DC=CB=1,^ABC=60°,可得ZL4cB=90°,AC=痘,AB=2.进而得到

FC1BC,ACIBC,BC工平面ACFE.设点4到平面MCB的距离为/i,则以.MCB=•儿四边形

ACFE为矩形，又5-MCB=%-ACM=gxBCXSAACM，即可得出.

本题考查了空间位置关系、线面平行的判定定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定

理、直角三角形的判定与性质、三棱锥的体积计算公式、”等体积法”，考查了推理能力与计算能

力，属于难题.

20.答案：解：设所求圆方程为(*-a)2+(x-2a-l)2=r2,

圆心到直线3x-4y+9=0的距离为r=户3厂+刃=仁

圆心到直线G：4x-3y+3=0的距离为d=比二岁椀=詈，

d2+I2=r2,即展+1=(a—l)2,

解得a-0,r2=1或a——,r2=—,

21441

所以圆方程为/+(y-1)2=1或。-92+⑶_詈)2=篝

解析：设所求圆方程为0—a)2+(x—2a—l)2=「2,分别求出圆心到直线3x-4y+9=0的距离

和圆心到直线分4x—3y+3=0的距离，由此能求出圆心和半径，从而能求出圆的方程.

本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用.

21.答案：解：⑴依题意d1”二2]=述,解得©=i(负根舍去).

V22

••・抛物线C的方程为刀2=4y.

(2)设点A。。yi),B(X2,y2).

由％2=4y,即y=—x2,得y'=—x.

42

抛物线C在点4处的切线P4的方程为y—y1=%■(%_xj,

2

即yx+yxxj.

22

1々

y1=-xi2，Ay=—X-y.

42t

,:点P(x0,yo)在切线P4上,

•••yo=y-yi•①

同理，yo=~y2-@

综合①，②得，点/Qi，yD，B（%2，y2）的坐标都满足方程Vo=5'o-y・

•・,经过力（％1，yi）,B（X2，y2）两点的直线是唯一的，

X

直线A8的方程为yo=—x-y,即XoX-2y-2y()=O.

20

(3)由抛物线的定义可知|4日=yi+1,|BF\=丫2+1，

•••I”175F|=(yi+l)(y2+l)

=y1+丫2+y】丁2+1-

=4乂

联“1

/x-2y-2yo=0,

消去%得y2+(2y0-%o)y+yo=°-

yi+y2=xl-2y0,yry2=yl-

••,点PQo，y°)在直线，上，；•Xo-yo-2=0.

\AF\-\BF\=x1-2y0+yl+1

=yo-2yo+(yo+2)2+i

=2yQ+2y()+5=2.

19

.•.当y0=-一时，|4尸|“8口取得最小值为一.

22

解析：略

22.答案：(1)证明：因为侧面4B1BBiQC,BQu侧面881clC,

故ABJ.8C1，

在△"的中，BC=1,CC[=BBI=2/BCC1=5,由余弦定理得

BCi=V3.

故BC2+BC：=CC/,所以BCIBCi，

而BCnAB=B,BC]L平面ABC

(2)解：由(1)可知，AB,BC,BG两两垂直.以B为原点，BC,BA,所在直线为x,y,z轴建立

空间直角坐标系.则8(0,0,0),4(0,1,0),3式-1,0,6),C(l,0,0),^(0,0,73).

CQ=(-1,0,冉)，：.CE=(一九0,V3A).

•••£(1-1,0,732),

则荏=(1一尢一1,遍；I)，AB[=(-1,-1,V3).

设平面4&E的法向量为元=(x,y,z),

则((1+旧衣=0,

(―x—y+V3z=0

•.・记=(头，白7，百)是平面48述的一个法向量•

2—AZ—A

BA=(0,1,0)是平面BE/的一个法向量，

・•・平面4&E与B&E所成的锐二面角的余弦为I|3-3；3।=T.

ixj(.)2+(总)2+3

两边平方并化简得2万—54+3=0,4=1或;I=|(舍去)

解析：(1)证明：AB1BCX,BC1BC