北京市中考数学模拟测试卷【含解析】

2021年北京市中考数学模拟测试卷

一、选择题(此题共16分，每题2分)

1.(2分)4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地

球卫星“东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距

地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为()

A.0.439X106B.4.39X106C.4.39X1045D.439X103

2.12分)以下倡导节约的图案中，是轴对称图形的是()

D.1440°

4.12分)在数轴上，点A,B在原点。的两侧，分别表示数”，2,将点A向右平移1个

单位长度，得到点C,假设CO=B。，那么〃的值为()

A.-3B.-2C.-1D.1

5.12分)锐角/AO8,如图，

(1)在射线。4上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作苒，交射线OB于点£>,

连接CD；

(2)分别以点C,。为圆心，C£>长为半径作弧，交会于点M,N；

(3)连接。W,MN.

根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是()

A.NCOM=NCODB.假设OM=MN.那么N4OB=20°

C.MN//CDD.MN=3CD

6.12分）如果胆+”=1,那么代数式（亘蛆-+L•加2-〃2）的值为（）

2m

inmn111

A.-3B.-1C.1D.3

7.12分）用三个不等式ab>0,L<工中的两个不等式作为题设，余下的一个不等

ab

式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加

公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一局部

时间t0W/V1010W/V2020^r<3030《fV40方240

人数

学生类型

性别男73125304

女82926328

学段初中25364411

高中

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20〜30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20〜30之间

所有合理推断的序号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

二、填空题（此题共16分，每题2分）

9.（2分）分式工ZL的值为0,那么x的值是.

X

10.12分）如图，△4BC,通过测量、计算得aABC的面积约为川2.（结果保存一

11.（2分）在如下图的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的

序号）

①长方体②圆柱③圆锥

12.（2分）如下图的网格是正方形网格，那么°（点A,B,P是

网格线交点）.

AB

13.（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a,切（“>0,b>0）在双曲线）'=匕上，点

X

A关于x轴的对称点B在双曲线丫=殳，那么ki+k2的值为.

x

14.（2分）把图I中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分

别拼成如图2,图3所示的正方形，那么图1中菱形的面积为.

15.（2分）小天想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差so2,在计算平均数的

过程中，将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,-4,9,-5,

记这组新数据的方差为sR那么5|2M（填"或"<"）

16.12分）在矩形ABC。中，M,N,P,。分别为边AB,BC,CD,D4上的点（不与端

点重合），对于任意矩形A8CD,下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在•个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是.

二、解答题（此题共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题5分，第25题5分,

第26题6分，第27-28题，每题5分）解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程，

17.（5分）计算：I-V3I-（4--rr）0+2sin600+（1）

4

4（x-l）<Cx+2

18.15分）解不等式组：x+7、

19.（5分）关于x的方程/-2x+2m-1=0有实数根，且机为正整数，求机的值及此时方

程的根.

20.（5分）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E,尸分别在AB,A。上，BE=DF,

连接EF.

（1）求证：ACA.EF；

（2）延长EF交CQ的延长线于点G,连接BQ交AC于点O.假设8。=4,tanG=L,

2

求A。的长.

21.（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新

指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了局部信

息：

a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30Wx<40,40<x<50,50W

61.762.463.665.966.468.569.169.369.5

c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:

100

90

80

70

60

50

40

3001234567891011)

d.中国的国家创新指数得分为69.5.

(以上数据来源于?国家创新指数报告(2021)?)

根据以上信息，答复以下问题：

(1)中国的国家创新指数得分排名世界第;

(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在

内的少数几个国家所对应的点位于虚线/1的上方，请在图中用“O”圈出代表中国的点；

(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万

美元；(结果保存一位小数)

(4)以下推断合理的是.

①相比于点A,8所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加

快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点B,C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决

胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.

22.(6分)在平面内，给定不在同一条直线上的点A,B,C,如下图，点。到点A,B,C

的距离均等于a⑦为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G,/ABC的平分

线交图形G于点。，连接AO,CD.

(1)求证：AD=CD；

(2)过点。作垂足为£作OF,5c垂足为F,延长。尸交图形G于点

连接CM.假设AO=CM,求直线。E与图形G的公共点个数.

23.(6分)小云想用7天的时间背诵假设千首诗词，背诵方案如下:

①将诗词分成4组，第i组有芍首，i=l,2,3,4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三

遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=\,2,3,4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第I组XIXIXI

第2组X2X2X2

第3组

第4组X4X4X4

③每天最多背诵14首，最少背诵4首.

解答以下问题：

(1)填入X3补全上表;

(2)假设XI=4,X2=3,X3=4,那么X4的所有可能取值为;

(3)7天后，小云背诵的诗词最多为首.

24.(6分)如图，尸是窟与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是2L上一动点，连接

PC交弦AB于点D.

小腾根据学习函数的经验，对线段PC,PD,AO的长度之间的关系进行了探究.下面是

小腾的探究过程，请补充完整：

(1)对于点C在篇上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC,PD,AO的长度的几

组值，如下表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

PCIcm3.443.303.072.702.252.252.642.83

PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83

AD!cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC,PD,AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和

的长度都是这个自变量的函数；

(2)在同一平面直角坐标系，中，画出(1)中所确定的函数的图象；

^~012343

*__1__J_R__k--J__U-_A__!

(3)结合函数图象，解决问题：当PC=2P£＞时，A。的长度约为cm.

25.(5分)在平面直角坐标系X。)，中，直线/：y=fcv+l(AWO)与直线x=k,直线y=-%

分别交于点A,B,直线x=Z与直线y=-k交于点C.

(1)求直线/与y轴的交点坐标；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段A8,BC,C4围成的区域(不含边界)

为W.

①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②假设区域W内没有整点，直接写出k的取值范围.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=/+法-1与y轴交于点A,将点A向右

a

平移2个单位长度，得到点8,点B在抛物线上.

(1)求点8的坐标(用含〃的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)点P[1,-1),Q(2,2).假设抛物线与线段P。恰有一个公共点，结合函数

2a

图象，求a的取值范围.

27.17分)ZAOB=30Q,4为射线OA上一定点，OH=«+1,P为射线0B上一点，M

为线段上一动点，连接满足NOMP为钝角，以点P为中心，将线段顺时

针旋转150°,得到线段PN,连接ON.

(1)依题意补全图1:

(2)求证：ZOMP=ZOPN；

(3)点M关于点”的对称点为Q,连接QP.写出一个0P的值，使得对于任意的点M

的内部或边上，那么称DE为△ABC的中内弧.例如，图1中DE是△4BC的一条中内弧.

图1图2

(1)如图2,在RtZXABC中，AB=AC=2亚，D,E分别是AB,AC的中点，画出△

ABC的最长的中内弧踊，并直接写出此时施的长：

(2)在平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,0),C(430)在△A8C中,

D,E分别是AB,AC的中点.

①假设/=1,求AABC的中内弧尼所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②假设在△ABC中存在一条中内弧赢,使得箍所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上,

直接写出/的取值范围.

2021年北京市中考数学模拟测试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（此题共16分，每题2分）

1.（2分）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地

球卫星“东方红一号"成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距

地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（）

A.0.439X106B.4.39X106c.4.39X105D.439X103

【分析】科学记数法的表示形式为。X10"的形式，其中间＜10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39X105.

应选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为10"的形式，其

中〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

2.12分）以下倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

8、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

。、不是轴对称图形，故此选项错误.

应选：C.

【点评】此题主要考查了轴时称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

局部折叠后可重合.

3.12分）正十边形的外角和为（）

A.180°B.360°C.720°D.1440°

【分析】根据多边的外角和定理进行选择.

【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°,

所以正十边形的外角和等于360°

应选：B.

【点评】此题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度.

4.（2分）在数轴上，点A,8在原点。的两侧，分别表示数”，2,将点A向右平移1个

单位长度，得到点C,假设C0=80,那么〃的值为（）

A.-3B.-2C.-1D.1

【分析】根据C0=8。可得点C表示的数为-2,据此可得〃=-2-1=-3.

【解答】解：•••点C在原点的左侧，且C0=8。，

.•.点C表示的数为-2,

-'•a—~2-I--3.

应选：A.

【点评】此题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键.

5.（2分）锐角NA08,如图，

（1）在射线上取一点C,以点。为圆心，OC长为半径作苒，交射线08于点

连接CD：

（2）分别以点C,。为圆心，CD长为半径作弧，交甫于点M,N；

（3）连接OM,MN.

根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是（）

A.NCOM=NCODB.假设。M=MN.那么N4O8=20°

C.MN//CDD.MN=3CD

【分析】由作图知CM=C£>=OM再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.

【解答】解：由作图知CM=CD=DN,

：.ZCOM=ZCOD,故A选项正确；

•：OM=ON=MN,

.♦.△OMN是等边三角形，

：.NMON=60°,

,:CM=CD=DN,

.,.NMOA=NAOB=/2ON=LNMON=20°,故8选项正确;

3

设ZAOB=ZBON=a,

那么NOCD=NOCM=18O,-a,

2

AZMCZ)=180°-a,

又•:NCMN=L/OCN=a,

2

ZMCD+ZCMN^180°,

:.MN〃CD,故C选项正确；

'：MC+CD+DN>MN,豆CM=CD=DN,

：.3CD>MN,故。选项错误；

应选：D.

【点评】此题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等

知识点.

6.12分）如果加+"=1,那么代数式（窣工-+L•加2-〃2）的值为（）

m-mnm

A.-3B.-1C.1D.3

【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把等式代入计算即可求出值.

【解答】解：原式=2/n+m-n.（m+"）（相_〃）=_①」.（m+〃）⑵一〃）=3（w+„）,

m（m-n）m（m-n）

当）z+〃=l时，原式=3.

应选：D.

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键.

7.（2分）用三个不等式ab>0,工〈工中的两个不等式作为题设，余下的一个不等

ab

式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可.

【解答】解：①假设a>6,ab>0,那么!〈工，真命题；

ab

②假设“6>0,—<—>那么a>b,真命题；

ab

③假设—<—>那么必>0,真命题；

ab

组成真命题的个数为3个；

应选：D.

【点评】此题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义;

熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键.

8.12分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加

公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一局部

时间1OWfV1010WY2020WY3030WY40f240

人数

学生类型

性别男73125304

女82926328

学段初中25364411

高中

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20〜30之间

所有合理推断的序号是()

A.①③B.②④C.①②③D.①②③④

【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中

趋势的一项指标.将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个

数是奇数，那么处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,

那么中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5X97+25.5X103)

4-200=25.015,一定在24.5-25.5之间，正确；

②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12,那么中位数在

20-30之间，故②正确.

③由统计表计算可得，初中学段栏OWfVIO的人数在0-15之间，当人数为0时中位

数在20-30之间；当人数为15时，中位数在20-30之间，故③正确.

④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0-15,35,15,18,1,当0W

f<10时间段人数为0时，中位数在10-20之间；当0Wt<10时间段人数为15时，

中位数在10-20之间，故④错误.

应选：C.

【点评】此题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键.

二、填空题（此题共16分，每题2分）

9.（2分）分式三士的值为0,那么x的值是1.

X

【分析】根据分式的值为零的条件得到1=0且XW0,易得X=L

【解答】解：•.•分式目的值为0,

X

.'.x-1=0且xWO,

故答案为1.

【点评】此题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的

值为零.

10.（2分）如图，△ABC,通过测量、计算得AABC的面积约为1.9CT?/.（结果保存一

【分析】过点C作C£>J_AB的延长线于点。，测量出48,C。的长，再利用三角形的面

积公式即可求出AABC的面积.

【解答】解：过点C作CO_L4B的延长线于点。，如下图.

经过测量，AB=2.2c〃?，CD=1.7cm,

：.SAABC=L比S=Lx2.2X1.7=«1.9（CTO2）.

22

故答案为：1.9.

&

D

【点评】此题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是

解题的关犍.

11.（2分）在如下图的几何体中，其三视图中有矩形的是①②.（写出所有正确答案

的序号）

①长方体②国柱③圆锥

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，

据此作答.

【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，

圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，

圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，

故答案为：①②.

【点评】此题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见儿何体的三视图是解题的关键.

12.（2分）如下图的网格是正方形网格，那么NB4B+如P84=45°（点4,B,P是网

格线交点）.

AB

【分析】延长AP交格点于。，连接8。，根据勾股定理得到尸£>2=皿）2="22=5,PB2

=「+32=10,求得PD?+DB2=PB2,于是得到NPD3=90。，根据三角形外角的性质即

可得到结论.

【解答】解：延长AP交格点于D,连接BD,

那么P£>2=8Z）2="22=5,/>屏=12+32=10,

：.PD2+DB2=PB2,

；・NPDB=90°,

ZDPB=ZPAB+ZPBA=45°,

故答案为：45.

D

B

【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三

角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

13.(2分)在平面直角坐标系X。)•中，点A(a,幻(4>0,b>0)在双曲线、=匕上，点

X

4关于x轴的对称点B在双曲线)，=殳，那么的值为0.

X

k

【分析】由点A(mb)(a>0,b>0)在双曲线丁=—L上，可得匕="，由点A与点8

x

关于x轴的对称，可得到点8的坐标，进而表示出七，然后得出答案.

【解答】解：・・•点A(〃，b)(tz>0,fe>0)在双曲线丁=匕上，

:・k\=ab；

又,:点4与点8关于入轴的对称，

:.B(a,-b)

♦.•点B在双曲线丫=乜上，

x

".ki--ab；

'.k\+ki—ab+(-ab)=0；

故答案为：0.

【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及

互为相反数的和为0的性质.

14.(2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分

别拼成如图2,图3所示的正方形，那么图1中菱形的面积为12.

【分析】由菱形的性质得出。4=0C,OB=OD,AC1.BD,设OA=x,08=y,由题意

得：卜+尸5,解得：［x=3,得出AC=2OA=6,BD=2OB=4,即可得出菱形的面积.

IxwlIy=2

【解答】解：如图1所示：

•；四边形4BCD是菱形,

：.OA=OC,OB=OD,ACLBD,

设OA=x,OB—y,

由题意得：（x+尸5,

Ix-y=l

解得：卜=3,

1y=2

：.AC=2OA=6,80=208=4,

菱形ABC。的面积=LCXB。=工X6X4=12；

22

故答案为：12.

D

图1

【点评】此题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正

方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键.

15.（2分）小天想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差scA在计算平均数的

过程中，将这组数据中的每一个数都减去90,得到一组新数据2,0,4,-4,9,-5,

记这组新数据的方差为sR那么s/=so?（填"或〃<"）

【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的

波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.

【解答】解：•••一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均

数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，

/.那么5i2=5o2.

故答案为=.

【点评】此题考查方差的意义：一般地设"个数据，XI,…%的平均数为彳，那么方

差S2=L[（xi-X）2+（X2-X）2+…+5”-彳）2],它反映了一组数据的波动大小，方

n

差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差

不变.

16.（2分）在矩形ABCD中，M,N,P,Q分别为边A8,BC,CD,D4上的点（不与端

点重合），对于任意矩形4BCD,下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是①②③.

【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理

即可得到结论.

【解答】解：①如图，•••四边形ABCC是矩形，连接AC,BD交于0,

过点。直线和0M分别交AB,BC,CD,于M,N,P,Q,

那么四边形MNPQ是平行四边形，

故当MQ〃PN,PQ//MN,四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNP。是平行四边形；故正确；

②如图，当PM=QN时，四边形MNP。是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；

故正确；

③如图，当尸M_LQN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确：

④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ,

那么△AMQg/XDQP,

：.AM=QD,AQ=PD,

,:PD=BM,

：.AB=AD,

...四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误;

故答案为：①②③.

【点评】此题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判

定定理，熟记各定理是解题的关键.

二、解答题（此题共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题S分，第25题5分,

第26题6分，第27-28题，每题5分）解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程，

17.（5分）计算：I-V3I-（4-71）°+2sin600+（1）

4

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数基的性质、特殊角的三角函数值、负指数塞

的性质分别化简得出答案

【解答】解：原式=«-1+2X零+4=遮-1+«+4=3+2«.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

（4（xT）<x+2

18.（5分）解不等式组：Jx+7、

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共局部就是不等式组的解集.

4（x-l）<x+2①

【解答】解：四〉*②，

L3

解①得：x<2,

解②得xV5，

那么不等式组的解集为x<2.

【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中

间找；大大小小找不到”的原那么是解答此题的关键.

19.15分）关于x的方程/-2X+2〃L1=0有实数根，且,"为正整数，求，"的值及此时方

程的根.

【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案.

【解答】解：•••关于x的方程--2X+2〃L1=0有实数根，

：.b2-4ac=4-4(2m-1)20,

解得：机W1,

为正整数，

••"2=1,

.".X2-2x+l=0,

那么5-1)2=0,

解得：X1=X2=1.

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出，"的值是解题关键.

20.(5分)如图，在菱形ABC。中，AC为对角线，点E,尸分别在A8,AD±,BE=DF,

连接EF.

(1)求证：ACA.EF；

(2)延长EF交8的延长线于点G,连接8。交AC于点O.假设80=4,tanG=L,

2

求AO的长.

【分析】(1)由菱形的性质得出AB=A。，AC1BD,OB=OD,得出AB：BE=AD：DF,

证出EF//BD即可得出结论；

(2)由平行线的性质得出NG=NA£)O,由三角函数得出tanG=tan/AQO=£B=L,

0D2

得出OA=LOD,由80=4,得出。。=2,得出OA=1.

2

【解答】(1)证明：连接8。，如图1所示：

：四边形ABC。是菱形，

：.AB=AD,AC1BD,OB=OD,

"：BE=DF,

：.AB：BE=AD：DF,

J.EF//BD,

：.AC±EF；

12）解：如图2所示：

:由（1）得：EF//BD,

：.ZG=ZADO,

tanG=tanZADO=-2^.=A.

OD2

:.OA=LOD,

2

"：BD=4,

：.OD=2,

；.OA=1.

图2

【点评】此题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌

握菱形的性质是解题的关键.

21.（5分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新

指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了局部信

息：

a.国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30Wx<40,40Wx<50,50W

x<60,60Wx<70,70<x<80,80Wx<90,90WxW100）；

61.762.463.665.966.468.569.169.369.5

c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图:

」」」」」II」！,

01234567891011

d.中国的国家创新指数得分为69.5.

(以上数据来源于?国家创新指数报告(2021)?)

根据以上信息，答复以下问题：

(1)中国的国家创新指数得分排名世界第17；

(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在

内的少数几个国家所对应的点位于虚线4的上方，请在图中用“O”圈出代表中国的点;

(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万

美元；(结果保存一位小数)

(4)以下推断合理的是.①②.

①相比于点A,8所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加

快建设创新型国家〃的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点8,C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决

胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值.

【分析】⑴由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果;

(2)根据中国在虚线/i的上方，中国的创新指数得分为69.5,找出该点即可；

(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结

果；

(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②

的合理性.

【解答】解：(1)•••国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，

,国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17,

故答案为：17；

(2)如下图：

(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创

新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；

故答案为：2.8；

(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，

①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加

快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力：合理：

②相比于点8,C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决

胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值；合理；

故答案为：①②.

【点评】此题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知

识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键.

22.(6分)在平面内，给定不在同一条直线上的点A,B,C,如下图，点。到点力，B,C

的距离均等于aS为常数)，到点。的距离等于a的所有点组成图形G,/ABC的平分

线交图形G于点D,连接CD.

(1)求证：AD=CD\

(2)过点。作£＞E，8A,垂足为E,作OFL8C,垂足为F,延长。F交图形G于点M,

连接CM.假设AO=CM,求直线QE与图形G的公共点个数.

B・•C

【分析】11)利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆。0,由NABO=NCB。得到

AD=CD＞从而圆周角、弧、弦的关系得到AD=C£＞；

(2)如图，证明CQ=CM,那么可得到8c垂直平分。M,利用垂径定理得到8c为直

径，再证明OOLOE,从而可判断DE为。0的切线，于是得到直线OE与图形G的公

共点个数.

【解答】(1)证明：•••到点。的距离等于a的所有点组成图形G,

图形G为△ABC的外接圆。。，

平分/A8C,

NABD=NCBD,

AAD=CD)

：.AD^CD；

(2)如图,"：AD=CM,AD=CD,

:.CD=CM,

'CDMLBC,

；.BC垂直平分。M,

/.BC为直径，

AZBAC=90a,

VAD=CD)

ODVAC,

：.OD//AB,

'：DE±AB,

：.OD±DE,

.•.OE为OO的切线，

直线OE与图形G的公共点个数为1.

【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直

平分线的交点，叫做三角形的外心.也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定.

23.(6分)小云想用7天的时间背诵假设干首诗词，背诵方案如下：

①将诗词分成4组，第i组有制首，i=l,2,3,4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(计1)天背诵第二遍，第(注3)天背诵第三

遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，，'=1，2,3,4；

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1组XIXIXI

第2组X2X2X2

第3组

第4组X4X4X4

③每天最多背诵14首，最少背诵4首.

解答以下问题：

(1)填入X3补全上表；

(2)假设xi=4,%2=3,X3=4,那么X4的所有可能取值为4,5,6

(3)7天后，小云背诵的诗词最多为23首.

【分析】(1)根据表中的规律即可得到结论；

(2)根据题意列不等式即可得到结论；

(3)根据题意列不等式，即可得到结论.

【解答】解：(1)

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天

第1组XIXIXI

第2组XIX2X2

第3组X3X3X3

第4组X4X4X4

(2)•••每天最多背诵14首，最少背诵4首，

.•.XI24,X324,X424,

，XI+X328①，

,.31+X3+X4W14②，

把①代入②得，X4<6,

.•・4WX4W6,

・・・X4的所有可能取值为4,5,6,

故答案为：4,5,6；

(3)・・•每天最多背诵14首，最少背诵4首，

・・・由第2天，第3天，第4天，第5天得，

M+X2W14①，X2+A3W14②，Xl+X3+X4=14③，X2+X4W14④，

①+②+④-③得，3X2^28,

.•.X2〈至，

3

XI+X2+X3+X414=-5-2.,

33

.".Xl+X2+X3+X4<23—,

3

,7天后，小云背诵的诗词最多为23首，

故答案为：23.

【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的

关键.

24.(6分)如图，P是众与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是会上一动点，连接

PC交弦AB于点、D.

小腾根据学习函数的经验，对线段PC,PD,AO的长度之间的关系进行了探究.下面是

小腾的探究过程，请补充完整：

(1)对于点C在篇上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC,PD,4。的长度的几

组值，如下表：

位置1位置2位置3位置4