2017-2018学年上海市静安区高一（下）学期期末数学试卷 （解析版）

2017-2018学年上海市静安区高一第二学期期末数学试卷

一、填空题（本题共8道小题，每小题5分，满分40分）

1.已知200。的圆心角所对的弧长等于50cm,则该圆的半径为cm.

2.方程3sinx-1=0在区间（0,2ir）的解为.

cos2aV2

3.右----,则sin2a的值为•

cos（a+-）2

4.命题“数歹U的前〃项和S〃=3/（吒N*）”成立的充要条件是（填一组符合题

意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母〃）

5.假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年

的年增长率均为常数一，则—=（精确到0.1%）

1

6.已知数列｛〃〃｝的通项公式产与（〃EN*）,那么使得其前〃项和S”大于7.999的〃的

最小值为.

7.函数y=cosx（siar-cosx）（xeR）的最大值为.

8.如图，动点P在以。为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4

分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y（米）关于时间r（分）的函数为y

=f⑺.则该函数的图象大致为（请注明关键点）

二、解答题（本题共4道小题，满分60分）

9.（1）设（攵EZ）,直接用任意角的三角比定义证明：sec?。-tan2（x=l.

（2）给出两个公式：①tana=包竺，②cos（—―a）=sina.

Jcosa2

JTI

请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan（——a）=.

2tana

10.已知余切函数/（冗）=coU.

（D请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；（不必证明）

（2）求证：余切函数/（x）=cotr在区间（0,IT）上单调递减.

11.设数列｛m｝的前〃项和为S”对于〃€N*,（^-1）Sn=qan-ai,其中q是常数.

（1）试讨论：数列｛©,｝在什么条件下为等比数列，请说明理由；

（2）设“1=32,且对任意的〃6N*,d=log2斯有意义,数列｛d｝的前“项和为方,若「9

=19,求力,的最大值.

12.如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB=2百米，8C是没有人行路

（不能攀登）的斜坡，CD是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡AB

上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.

（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡8c的长的方案，用字母表示所测量的角，

计算出8c的长，并化简；

（2）设BC=3百米，4C=S叵百米，ZDBA=/BAC=arccos更，求山崖CD的长.（精

%5

确到米）

2017-2018学年上海市静安区高一第二学期期末数学试

卷

参考答案

一、填空题(本题共8道小题，每小题5分，满分40分)

1.已知200。的圆心角所对的弧长等于50cm,则该圆的半径为—45竺_C777.

TC

【分析】先将角度化为弧度，再根据弧长公式即可即可.

解：圆心角200。=200乂儡=学1,

,弧长为50=学rr,

r=—(cm)，

71

即该圆的半径长4空5。〃九

7T

45

故答案为：—.

71

2.方程3siru-1=0在区间(0,2n)的解为arcsin^或兀一arcsinJ.

----------3-3—

【分析】由题意求得siru=/，利用反三角函数求出方程在区间(0,2n)的解即可.

解：由3sinx-1=0,

得s\nx=

・，1

・・0x=72E+a-rcsin-,

3

或%=(2A+1)TT-arcsin-,依Z；

3

・•・方程在区间(0,2n)的解为：

1、1

x=arcsin-或x=n-arcsin-.

33

«、11

故答案为：arcsin-或n-arcsin-.

33

cos2ay12&

3.若------jT=—,则sin2a的值为一彳.

cos(a+-)2-4—

【分析】把已知等式展开二倍角余弦及两角和的余弦，整理后两边平方求解.

cos2aV2cos2a-sin2aV2

解：由一--大=—,得赤------------=

cos(a+-)2-{cosa-sina}2

.（cosa-sinaYcosa+sina）1ni..1

・・------------------------=一,贝（Jsina+cosa—亍

cosa-sina2/

两边平方得：2sinacosa=—即sin2a=—机

故答案为：-I

4.命题“数列的前”项和S“=3〃2+〃（”eN*）”成立的充要条件是数列为等差数列且m

=4,d=6,（答案不唯一）（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有

字母”）

【分析】根据题意，设该数列为｛"”｝，由数列的前"项和公式分析可得数列为等差数列且G

=4,d=6,反之验证可得S"=3”2+”成立，综合即可得答案.

解：根据题意，设该数列为｛%｝,

若数列的前〃项和S"=3”2+〃，则当〃=1时，ai=Si=4,

当”22时，an=Sn-Sn-\=6n-2,

当〃=1时，ai=4符合a”=6"-2,

故有数列为等差数列且m=4,d=6,

ax2

反之当数列为等差数列且ai=4,d=6时，a„=（＞n-2,5„=（i+^）=3^+m

故数歹U的前〃项和S“=3*2+〃（〃eN*）”成立的充要条件是数列为等差数列且ai=4,4=6,

故答案为：数列为等差数列且ai=4,d=6.

5.假设我国国民生产总值经过10年增长了1倍，且在这10年期间我国国民生产总值每年

的年增长率均为常数〃则r=7.2%（精确到0.1%）

【分析】根据题意，设10年前的国民生产总值为“，则10年后的国民生产总值为2m结合

题意可得a（1+以）'°=2a,解可得r的值，即可得答案.

解：根据题意，设10年前的国民生产总值为。，则10年后的国民生产总值为2〃，

则有a（1+r%）i0=2a,

即（1+,%）|。=2,

解可得：个7.2,

故答案为：7.2.

1

6.已知数列｛斯｝的通项公式a“=产（〃€N*）,那么使得其前n项和S,.大于7.999的〃的

最小值为13.

【分析】直接利用数列的通项公式，建立不等式，解不等式求出结果.

1

解：列｛〃〃｝的通项公式a尸产月(〃EN*),

所以：当8(1-十)>7.999时，

即:1一方>63.992,

1

当”=13时，1一关>63.992成立，

即：”的最小值为13.

故答案为：13

7.函数y=cosx(sinx-cosx)(xeR)的最大值为_追二1

【分析】利用三角函数化简，结合三角函数的有界限可得答案.

解：函数y=cosx(sinx-cosx)=isin2x—icos2x_1=^sin(2x—i

当sin(2x-J)=1时，y取得最大值为座二.

故答案为：至1

8.如图，动点P在以。为圆心，半径为1米的圆周上运动，从最低点M开始计时，用时4

分钟逆时针匀速旋转一圈后停止，设点P的纵坐标y(米)关于时间，(分)的函数为)，

=f(t).则该函数的图象大致为.(请注明关键点)

【分析】根据题意先得出尸/⑺=sin(Vj),再画图.

解：设y=f(f)=Asin(a)f+(p)+b,

：.A=l,T=4,3=竿=5，f=0时，＜p=-J,b=0

71TT

•••产/⑺=sin(-r-2).

故答案为:

二、解答题(本题共4道小题，满分60分)

9.(1)设(依Z),直接用任意角的三角比定义证明：sec2(x-tan2a=l.

(2)给出两个公式：①tana=②cos—a)=sina.

请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan(T-T-a)=」1一.

【分析】(I)直接利用任意角的三角函数的定义证得sec2a-tan2a=1.

(2)由已知条件利用诱导公式，证明tan(--a)=—

2tana

解：(1)证明：设0工&互+3后口),在a的中边上任意取一点P(x,y),r=\OP\=

sec2a-tan2a=。一当=("挈2)一当=g=],即sec2a-tan2a=1.

x2x2x2x2x2

(2)证明：’・•①tana二包竺，②cos(--a)=sina.

coscc2

.*严、sin(^-a)cosa1,1

..：tan(——a)=左——r=———=cotta=------,即Bltan(—―a)=-------.

2cos(^—a)sinatana2tana

10.已知余切函数/(x)=cotr.

(1)请写出余切函数的奇偶性，最小正周期，单调区间；(不必证明)

(2)求证：余切函数f(x)=cotx在区间(0,IT)上单调递减.

【分析】(1)直接利用函数的性质写出结果.

(2)利用单调性的定义和三角函数关系式的变换求出结果.

解：(1)余切函数/(x)=cotx,为奇函数，

最小正周期为n,单调递减区间为(ATGkn+n)(在Z)；

证明：(2)余切函数/(X)=COtX在区间(0,7T)设X1和X2,

则：COtX2-COU|=•

x2)

sinx2'Sinx1

由于：OVxiVx2VIT,

则：-11<箝-12<0,

从而得到：sin（x\-xa）<0,sinxi*sinx2>0,

故：COtX2<COtVu

所以函数在（0,71）为单调递减函数.

11.设数列｛知｝的前〃项和为S〃，对于〃£N*,（^-1）Sn=qan-au其中夕是常数.

（1）试讨论：数列｛斯｝在什么条件下为等比数列，请说明理由；

（2）设0=32,且对任意的正N*,d=log2如有意义，数列｛d｝的前〃项和为北，若丁91

=19,求A的最大值.

【分析】（1）以定义证明数列为等比数列.

（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和及最大值.

解：（1）数列｛〃〃｝的前〃项和为5〃，对于〃WN*,（^-1）Sn=qan-a\9①

当时，（q-1）Sn-\=qan-\-a\（2）,

①-②得：（q-1）an=qan-qan-1,

即：Un=QCln-I»

所以：乌匚=q（常数）,

an-l

所以：当0#O,qWO时，数列｛〃〃｝为等比数列.

n

⑵由⑴得：an=32q-i

所以：bn=5+（n-1）log2q,

由于：719=19,

1918

所以：5X19+^fog2q=19,

即：log2q=

由b〃=5+（/?-1）log2g20,

解得：12.25,

12x1149

故：（〃）max=%=5x12+2•（-§）=30j.

12.如图是一景区的截面图，AB是可以行走的斜坡，已知AB=2百米，BC是没有人行路

（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假设你（看做一点）在斜坡4B

上，身上只携带着量角器（可以测量以你为顶点的角）.

（1）请你设计一个通过测量角可以计算出斜坡8c的长的方案，用字母表示所测量的角,

计算出BC的长，并化简;

（2）设8C=3百米，AC=g百米，ZDBA=7,ZBAD=arccos—,求山崖的长.（精

%5

确到米）

【分析】（1）由题意测得NC4B=a,在△ABC中利用正弦定理求得BC的值；

（2）解法一，AABC中由余弦定理求得/ABC,RtZW&A中求得8。和NC8D的值，在4

BCD中利用余弦定理求得CD的值.

解法二，中求得AC,ZVIBC中利用余弦定理求得cos/。以利用三角恒等变换

求得cosZDAC,在△ACC中利用余弦定理求得CD的值.

解：（1）由题意，可测得/CA8=a,ZABC=p,

21RBC

在△的中，由正弦定理得，

2BC

即--------------=-----

sin[80°-(a+/?)]sina

解得尤=就尚；

（2）解法一，在AABC中，AB=2百米，BC=3百米，