2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册641平面几何中的向量方法64

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册6.4.1

平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例

同步练习

学校:姓名：班级：学号：

选择题

1.在四边形ABCO中，AC=（1,2）,~BD=（-4,2）,则该四边形的面积为（）

A.V5B.2V5C.5

2.如图,BC,OE是半径为1的圆。的两条不重合的直径，前

2FO,则而•而的值是（）

A.VB.*

c•4D.

3.已知河水的流速大小为5m/s,若一艘小船沿垂直于河岸的方向以12m/s的速度大

小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（）

A.13m/sB.12m/sC.17m/sD.15m/s

4.如图所示，矩形ABC。中,48=4,点E为AB中点，若万EJ.而,

贝"屁|=()

A.|B.2显

C.3D.2V2

5.在△ABC所在平面内有一动点P,令刀2+而2+配2=T，当丁取得最小值时「

为△4"的（）

A.垂心B.重心C.外心D.内心

6.在直角梯形ABC。中，^ADC=90°,AB=1,AD=DC=2,则前.前=（）

A.2B.-2C.3D.6

7.如图所示，在矩形ABC。中，AB=4,点E为ABDK--------------------

的中点，且屁，而，则|而|等于（）\

A.|B.2>/3

A

C.3D.2V2B

8.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,

处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为

400M则该学生的体重（单位：kg）约为（）

（参考数据：取重力加速度大小为g=10TTI/S2,V3A1.732）

9.平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知（而+配—2/）•（荏一万）=0,则

△4BC的形状为（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

10.在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=-3a-b>CD=-4a-3b，其中五，石不

共线，则四边形A8C。为（）

A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形

11.如图，。为△ABC的外心，AB=4,AC=2,4BAC为-

钝：角：，例是边BC的中点，则祠.而的值为（）CD

D.7、-----/

12.（多选题）如图1,“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组

对边分别平行，点A,8是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上

（内部以及边界），若加=xa+y而，则x+y的取值可能是（）

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A

O

图1

A.-6B.1

二.填空题

13.在四边形4BC£＞中，若前=(1,2)，~BD=(-4,2).则向量前与前的夹角为

四边形ABC3的面积为.

14.已知四边形ABC。中，AB=2,AC=4,4BAC=60°,P为线段AC上任意一点,

则而•正的取值范围是.

15.如图，半圆的直径4B=2,。为圆心，C为半圆上不

同于A,8的任意一点，若P为半径OC上的动点,

贝U(可+丽)•正的最小值是.

16.如图，在矩形ABCD+,AB=V3,BC=3,BE1AC,垂足为E,则ED=.

17.如图所示，小船被绳索拉向岸边，小船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么

小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是.(写出所有正确答案的序号)

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；⑷船的

浮力保持不变.

三.解答题

18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，\0A\=2\AB\2,/.OAB=y,

(1)求点8,C的坐标;

(2)求证：四边形048c为等腰梯形.

19.如图所示，在△ABC中，N84c=120。，AB=AC=3,点。在线段BC上，且

BD=»C.求:

(1)4D的长；

(2)N£MC的大小.

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20.已知正方形48CZ),E,尸分别是C£>,A。的中点，BE,CF交于点P.求证:

⑴BE1CF；

(2)4P=AB.

21.平面上有两个向量瓦(=(1,0),互=(0,1),今有动点P从P0(—1,2)开始沿着与向量

5+石相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|京+功.另一点。从Qo(-2,-1)出

发，沿着与向量3瓦t+2瓦相同的方向做匀速直线运动，速度大小为13瓦(+2球|.设

P,。在t=0秒时分别在与，Qo处，则当PQ_LPoQo时，求f的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分

析问题解决问题的能力，属于中档题.

通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可.

【解答】

解：因为在四边形ABC。中，AC=(1,2).前=(—4,2),AC-JD=0,

所以四边形ABCD的对角线互相垂直，

又|同二Vl2+22=V5.\BD\=V(-4)2+22=2V5，

该四边形的面积为之|元I•I前I=：x遍X2遮=5.

故选C.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面几何中的向量方法，向量在平面几何中的应用，属于基础题型.

由而=而+而，FF=FO+OF，且前=一赤，TD-FE=(FO+0D)■(FO+0E^)

即可求解.

【解答】

解：VD=~F0+0D，而=甫+荏，且说=一荏，

所以尸D-FE=(FO+OD)­(FO+OE)=FO-0D=--1=

3.【答案】A

【解析】

【分析】

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本题考查向量在运动学中的应用，属于基础题型，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向

上游方向，即小船在静水中的速度正斜向上游方向，河水速度正平行于河岸，

合速度亍指向对岸，静水速度大小|流|=，诳2+|正|2,即可求解.

【解答】

解：设小船在静水中的速度为西，河水的流速为近，

讥与正的合速度为我

•••为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，

即小船在静水中的速度W斜向上游方向，河水速度正平行于河岸，合速度F指向对岸,

二静水速度|说I=川训2+I诟|2=V122+52=13(m/s).

故选A.

4.【答案】B

【解析】解：如图所示，建立直角坐标系."t

则B(4,0),E(2,0).DL--------71c

设。(0,m),(m>0),C(4,m).

DE=(2,-m).AC=(4,m).\一"E*~?

DF1~AC>

2x4—m2=0,

解得m2=8.

|DE|=V22+8=2V3.

故选：B.

如图所示，建立直角坐标系.利用屁J.而，可得屁•而=0,再利用向量模的计算公

式即可得出.

本题考查了向量的垂直与数量积的关系、模的计算公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：不妨设三角形为直角边边长为1的等腰三J’，

角形，11c

则4(0,0),8(1,0),C(0,l),设P(x,y),

彳6>1X

则7=p^2+PB2+PC2=x2+y2+(x-I)2+y2+x2+(y-I)2=3x2+3y2-

2x—2y+2

=3(x-i)2+3(y-i)2+p

.,.当x=y=1时，T取得最小值，

此时pg9,

•••三角形的重心坐标为(上F，号)，即G(),

p©,》是三角形的重心，

故选：B.

利用特殊值法建立坐标系，结合向量模长的公式进行判断即可.

本题主要考查向量数量积的应用，根据条件利用特殊值法，建立坐标系将条件转化为向

量坐标是解决本题的关键.考查学生的计算能力.

6.【答案】A

【解析】解:AC-JD=(AD+DC)(BA+AD)=AD-BA+AD-AD+DC-'BA+DC-AD，

因为四边形A8CD是直角梯形，

所以而•瓦？=0，觉•而=0，

则三-BD=AD-AD+DC-BA=\AD\2+\DC\-\BA|cosl80°=4+2x1x(-1)=

2,

故选：A.

利用平面向量的和差关系，结合梯形的特征可得衣BD=AD-AD+DC-BA=

\AD\2+\DC\-\BA|cosl80°=4+2xlx(-1)=2.

本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量在平面几何中的应用，根据条件建立适当的坐标系，利用屁，而求出

AZ)的长，即可求出|屁属于基础题.

【解答】

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解：以A为坐标原点，A8所在直线为x轴，AO所在直线为y轴，建立如图所示的直角

坐标系.

设|AD|=a(a>0)，

则4(0,0),C(4,a),£)(0,a),E(2,0),

所以屁=(2,—a)，前=(4,a).

因为屁1彳？，

所以屁•前=0，

所以2x4+(—a)-a=0,即a2=8.

所以a=2近，

所以屁=(2,-2e)，

所以|屁|=22+(-2V2)2=2V3-

8.【答案】B

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查了向量在物理中的应用问题，是基础题.

由题意知同=同=400(N),夹角。=60°,计算N=-(耳+磅的模长，得到体重.

【解答】

解：由题意，设胳膊的拉力为耳，耳,两只胳膊的夹角为仇

'G

则同=同=400(N),夹角。=60°,

所以^+耳+瓦=6，

即1=一(耳+瓦)；

所以=(耳+■/=4002+2x400x400xcos60°+4002=3x4002：

|G|=400V3(/V).

则该学生的体重(单位：kg)约为40g=40x1.732269(kg)，

故选：B.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本题为三角形形状的判断，记准向量的加减法则，并准确化简向量式是解决问题的关键,

属中档题.

由向量的运算法则可得（加一万1+尻一万彳）・（南-1?）=0，&\i（AB+AC）-（AB-

AC）=0,进而得区四=|前I，即AABC是等腰三角形.

【解答】

解：由（丽+配一2/）•（荏—而）=0,得（加—而+小一团”（希一前）=0,

所以（荏+AC）-（AB-AC）=0<

所以|画2T而r=0,

则画=\AC\,

故△ABC是等腰三角形.

故选。.

10.【答案】D

【解析】

第10页，共18页

【分析】

本题主要考查了平面向量的线性运算及向量法研究平面几何问题，属于基础题.

根据向量运算得到而=2就，知而、就共线且不等，得解.

【解答】

解：AD=AB+BC+CD=(a+2h)+(-3a-b)+(-4a-3K)=-6a-2b,

故而=2BC,

4D〃BC月.4。HBC,

四边形ABC。是梯形.

故选。.

11.【答案】B

【解析】

【分析】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的

关键，属于中档题.

取AB、4c的中点D、E,可知。。1.AB,0E1AC,所求薪■AO=AD-AO+AE-A0'

由数量积的定义结合图象可得易./=|易|2,AE-AO=\AE\2,代入计算即可.

【解答】

解：取AB、AC的中点。、E,可知0D14B,0E1AC

是边BC的中点，

AM=+AC)，

・•・4M•40=；(AB+AC)-40=^AB-AO+^AC-AO=AD-AO-VAE-AO,

由数量积的定义可得而.布=I利衲cos/.OAD'

而|阿cos|画，故而•一=|而」=4;

同理可得族.AO=\AE\2=1，

故G为+族•/=5，

故选：B.

12.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结

合图形解答问题.

根据题意，画出图形，结合图形，得出求x+y的最大值时，只需考虑图中6个顶点的

向量即可，分别求出即得结论.根据其对称性，可知x+y的最小值.

【解答】

解：求久+y的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：

当赤=市=市+0•而时，x+y=l,

当而=无=砺+赤=赤+a+荏=3万+或时，x+y=4,

当而=屈=a+荏=2而+刃时，x+y=3,

当诃=而=或+存+而=3而+2市时，x+y=5,

当而=而=a+而=而+而时，x+y=2,

当丽=丽时，x+y=l,.

•1•x+y的最大值为3+2=5.

根据其对称性，可知x+y的最小值为-5.

则x+y的取值范围是[—5,5],

第12页，共18页

观察选项，选项B,C均符合题意.

故选BC.

13.【答案】5

【解析】解：•・•而・前=-4+4=0，

AC1前.所以向量而，前的夹角为；；

又|硝=Vl2+22=V5，\~BD\=V42+22=V20.

四边形48C£＞的面积5=段而II前I="而*痴=5.

故答案为：:；5.

由亚•前=0可得前1.前，求得夹角，再求得向量的模，于是四边形ABC。的面积

S=\\AC\|RD|.

本题考查了向量垂直与数量积的关系、对角线相互垂直的四边形的面积，属于基础题.

14.【答案】[一4]

BC=2V3,AB1BC,

以B为原点建立坐标系如图，

作PE1BC于E,

设P点横坐标为x,则xG[0,273].

EC=2V3—x，

PE=Y(2V3-X).

•••P(/(26一乃)，

.-.PBPC

V3「l显r-

=(r,—(x-2V3))•(2V3-x,—(x-2>/3))

l1r-o

=%(%-2V3)+-(%-2V3)2

410^3..

=-x2L-----x+4，

33

由二次函数可知，当X=延时得最小值-三

44

当x=0时得最大值4,

•••丽・正的范围为[一4],

故答案为[―：,4].

利用所给条件容易判定三角形A8C为直角三角形，以B为原点建立坐标系，设尸点坐

标，得到数量积，利用二次函数可得最值.

此题考查了向量数量积，数形结合，二次函数等，难度适中.

15.【答案】后

【解析】

【分析】

本题考查数量积的运算，关键是根据。是AB的中点，得到m+而=2而，属于中档

题.

由向量的加法，可得为+而=2P0,将其代入(对+丽)・正中，变形可得(可+而)-

PC=-2(|P0|-1)2-p由二次函数的性质，计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，。为圆心，即。是AB的中点，则苏i+而=2的，

则(方+PB)-PC=2P0-PC=2[POj-IPC|cos7r

=-2|PO|(l-|PO|)=2(|PO|-i)2-i>-i,

即(丙+而)•定的最小值是/

故答案为，

16.【答案】叵

2

【解析】

【分析】

第14页，共18页

建立坐标系，设后1二几公，将点E的坐标用;I表示，由BE14C得薪.品1=0,进一步

得到关于4的方程从而求出E的坐标，于是可以通过求|易|得出结果.

【解答】

解：以4为坐标原点，A。、A8所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，

则4(0,0)，8(0,a)，C(3,V3),。(3,0),AC=(3„V3)­

设成=4A，则E的坐标为(34,,四；1)，故薪=(3九四4-百)，

vBE1AC,

二届•品=0，

即94+34-3=0,解得4=3

4

・・・呜分故而=©-分

响=炉用等

故答案为叵.

2

17.【答案】①③

【解析】

【分析】本题主要考查平面向量的物理运用，涉及到向量的投影，以及正余弦函数的性

质，属于中档题.由已知设水的阻力为了，绳的拉力为凡声与水平方向夹角为6(0＜。＜

》则

一;

f

\F\C0Se=\f\,T，结合正余弦函数的单调性可求得.

cosO

【解答】

解：设水的阻力为了，绳的拉力为乱声与水平方向夹角为。(0＜。＜技.

则F|cos0=|7|，.•」为二

cu«“

增大，COS。减小，.1旧I增大.

•；|7|sin。增大，二船的浮力减小.

18.【答案】(1)解：连接。B,设B(3B)，

则由已知有加=\0A\+\AB\cos(n-^0AB)=|,yB=\AB\sin(n-Z.0AB)=

所以儿=OB+BC=(|,言)，

所以B(|,»C(|,争；

(2)证明：因为晶=&真品=(|,苧)，

所以=0C＞

^AB//OC'

又。4与BC不平行，位|=|品j=2，

所以四边形OA8C为等腰梯形.

【解析】本题考查平面向量共线的条件及平面向量的几何运用.

(1)利用已知求出B的坐标，然后利用鼠=OB+BC=(|,言)即可求解C的坐标;

(2)利用向量共线的条件即可求解.

19.【答案】解：(1)设AB=a,AC=b，

则而=荏+前=荏+^BC=荏+；(就一荏)=|南+^AC=|五+|K.

第16页，共18页

所以|同|2=而2=(|五+押2

J2T-1」

--a+2x-a-Z?+-h

999

421

=-x9+2x-x3x3xcosl20P+-x9=3.

!I99

故40=V3.

(2)设NDAC=。，则。为而与前的夹角.

因为c(W)

网的一v/5X3

能，能石_ix9+^x3X3X(-l)

0,

所以8=90。，^Z-DAC=90°.

【解析】本题考查平面向量的三角形法则以及模的定义及平面向量的数量积的定义及性

质，属于基础题.

(1)设出而=落AC=b，求得而=|百+，后从而由|同『=而2求得A。的长；

(2)设乙n4c=8,贝岭为前与前的夹角.

由夹角公式得到cos6=黑绦=0,从而得到。=90°,即4ZMC=90°.