2022-2023学年湖南省长沙市长沙县高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市长沙县高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.命题“VxeR,*2+%20”的否定是（）

A.Vx6x2+x<0B.ER,x2+x<0

C.3x0€>XQ+x0<0D.3x0eR,%□+x0<0

2.已知扇形的半径为1,面积为2（扇形面积公式5=；|可产），则这个扇形的圆心角的弧度数

为（）

A.CB.2\/~3C.2D.4

3.已知4%=10x9x8x7x6,则n的值为()

A.3B.4C.5D.6

4.已知离散型随机变量X服从二项分布X〜B（n,p），且E（X）=4,D（X）=2,贝加=（）

A.16B.8C.4D.2

5.如图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的W青明/,这

首诗不仅意境极好,而且还准确地描述出了清明时节的天气状

况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨.某地区气象监测资料

表明，清明节当天下雨的概率是0.9,连续两天下雨的概率是

0.63,若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率

是（）

A.0.63B,0.7C.0.9D.0.567

6.某学校食堂对30名高二学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如表

格:

偏爱蔬菜偏爱肉类

男生/人48

女生/人162

则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（）

7

)

附：%2n^ad—bc其中九=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，a+b+c+d.

a0.0100.0050.001

6.6357.87910.828

A.95%B,99%C.99.5%D,99.9%

7.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连

在一起，则不同的停放方法的种数为（）

A.16B.18C.24D.32

8.若函数9（©=m》+2/一（6一1）久存在单调递减区间，则实数6的取值范围是（）

A.[3,+oo）B.（3,+oo）C.（-oo,3）D.（-8,3]

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列有关复数的说法正确的是（）

A.若复数z=5,贝吻eRB.若z+5=0,贝吻是纯虚数

1

C.若Z是复数，则一定有|z『=z2D.若Z],Z2eC,贝Jzi•Z2=Z]•Z2

10.对具有线性相关关系的变量K,y有一组观测数据（和%）（i=1,2,3,…,10）,已知£田1%=

20,鹉％=10,则（）

A.数据%-2%+l（i=1,2,3,...,10）的平均数为0

B.若变量x,y的经验回归方程为y=2x+a＞则实数a=-3

C.变量x,y的样本相关系数r越大，表示模型与成对数据％,y的线性相关性越强

D.变量久，y的决定系数解越大，表示模型与成对数据x,y拟合的效果越好

11.在（，彳-；）7的展开式中，下列结论正确的是（）

A.展开式的二项式系数和是128B.只有第4项的二项式系数最大

C./的系数是一7D.展开式中的有理项共有3项

12.在△48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,对于△ABC有如下命题，其中正确的

是（）

A.若a2+炉＞。2,则AABC是锐角三角形

B.若A=*a则△ABC的外接圆的面积等于7T

C.若△ABC是锐角三角形，贝必讥/＞cosB

D.若acosZ=bcosB,则△ABC是等腰直角三角形

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设函数f⑺=%/二；%则“⑶)=一■

14.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩f近似服从正态分布N(110,M),若PQ10W

f<130)=0.35,则估计成绩不及格(在90分以下)的学生人数为.

15.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有

种.

16.已知定义在R上的奇函数/(久)满足/(4+久)+f(-久)=0,若「(2)=4,则曲线y=f(x)

在x=-6处的切线方程为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知函数/(久)=y/~3sin2x+cos2x.

(1)求/'(%)的最小正周期及对称中心；

(2)若xe[-睛],求f(久)的最大值和最小值.

18.(本小题12.0分)

一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会.

(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？

(2)如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？

19.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=器9”为常数)是定义在[-1,1]的奇函数，且/⑴=看

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若/(久)在定义域是增函数，解关于x的不等式f。-1)+/(%)<0.

20.(本小题12.0分)

在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试

的数学成绩，并进行统计分析.在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],共6组,得到如图所示的频率分布

直方图.记分数不低于90分为优秀.

(1)从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于70分，问这名学生数学成绩为优

秀的概率；

(2)在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在［70,100］内的学生中抽取13名，再从这13名学生

中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,求X的分布列与数学期望.

频率

0.030

0.020

0.010

0.005

405060708090100分数

21.(本小题12.0分)

已知函数f(久)=x3—3x2—9x.

(1)求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间［-2,2］的最大值和最小值.

22.(本小题12.0分)

如图，四边形4BCD与BDEF均为菱形，FA=FC,S.^DAB=ADBF=60°.

(1)求证：AC1平面BDEF；

(2)若菱形BDEF边长为2,求三棱锥E-BCD的体积.

答案和解析

1.【答案】D

2

【解析】解：根据题意，命题“VxeR,x+x>0"的否定mxoCR,x^+x0<0.

故选：D.

根据题意，由全称命题的否定方法，分析可得答案.

本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查扇形的面积公式，考查运算求解能力，属于基础题.

根据扇形的面积公式S=^a|r2,得解.

【解答】

解：由S=]a|r2,知2=g|a|-12,解得回=4,

因为扇形的圆心角为正数，

所以这个扇形的圆心角的弧度数为4.

故选D

3.【答案】C

【解析】解：4%=10x9x8x7x6,

可知n=5.

故选：C.

直接利用排列数公式，写出结果即可.

本题考查排列数公式的应用，是基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为离散型随机变量X服从二项分布Xp),且E(X)=4,D(X)=2,

E(X)=np=4

解得

,D(X')=np(l—p)=2'

故选：B.

利用二项分布的期望和方差公式可得出关于n、p的方程组，即可解得九的值.

本题主要考查二项分布的期望和方差公式，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：清明节当天下雨为事件4第二天下雨为事件B,PQ4)=0.9,P(4B)=0.63,

则。出|4)=谭=霭=0.7.

故选：B.

直接利用条件概率公式计算即可求解得到答案.

本题主要考查了条件概率的应用，考查了学生的计算能力及应用能力.

6.【答案】C

【解析】解：易知偏爱蔬菜的总人数为20,偏爱肉类的总人数为10,

男生共计12人，女生共计18人,

30(4x2-16x8)2

则X2==10>7.879>

12x18x20x10

所以我们至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关.

故选：C.

由题意，得到偏爱蔬菜、偏爱肉类以及男生女生的总人数，代入公式中求出观测值，将其与临界

值表进行比较，即可求解.

本题考查独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力.

7.【答案】C

【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题，

首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个,

当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列“，

当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列房，

当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列“，

当最右边三辆时，有车之间的一个排列房，

总上可知共有不同的排列法4x“=24种结果，

故选：C.

本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在

最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最右边两辆时，当最右边三辆时，每一种

情况都有车之间的一个排列“，得到结果.

本题考查排列组合及简单的计数问题，在分类计数时，注意分类要做到不重不漏，在每一类中的

方法数要分析清楚，本题还考查列举法，是一个基础题.

8.【答案】B

【解析】解：函数g(久)=必久+一(°一的定义域为(0,+8),且其导数为=：+久一

(一)，

由。(久)存在单调递减区间知“(久)<0在(0,+8)上有解，即:+%—(b-1)<0有解，

因为函数g(x)的定义域为(0,+8),所以久+§22.

要使工+久—(6-1)<0有解，只需要工+x的最小值小于6-1,

所以2<b-1,即b>3,

所以实数b的取值范围是(3,+8).

故选：B.

首先计算出g'(x),由g(x)存在单调递减区间知“(久)<。在(0,+s)上有解即可得出结果.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.

9.【答案】AD

【解析】解：对于力，设z=a+6i,(a,b€R),贝Uz=a-6i,

若2=z,则b=0,；.zeR,故A正确；

对于B,设z=z=0时，z+z=0,而z不是纯虚数，故2错误；

对于C,当z=l+i时，则|z『=2,zz2=2im,

.••|Z12Kz2,故C错误；

对于D,令Z]=a+6i(a,6eR),z2=m+ni(m,nE.R),

ma

则Z1-z2=—nb+(mb+na)i,

zr-z2=ma—nb—(mb+na)i,

=a-biz2=m—ni>

z1-z2—(a—bi)(jn—ni)—ma—nb—(mb+na)i>

;若Zi，z2£C,贝!Jz】•Z2=Z]•Z2，故。正确.

故选：AD.

由共辗复数的概念及复数相等，判断4应用特殊值法，令z=W=O及z=l+i,判断BC；利用

共轨复数的概念及复数乘法判断。.

本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于4,£巴阳=20,=10,

•,­%=2,y=1»

•••数据看一2%+1。=1,2,3,...,10)的平均数为2-2+1=1,故A错误，

对于B,,变量x,y的经验回归方程为y=2x+a，

.•・I=2x2+a，解得a=—3，故B正确，

对于C,当re时，变量x,y的样本相关系数r越大，表示模型与成对数据x,y的线性相关

性越弱，故C错误，

对于D,由决定系数的定义可知，变量x,y的决定系数解越大，表示模型与成对数据x,y拟合的

效果越好，故。正确.

故选：BD.

对于4,结合平均数公式，即可求解，

对于B,结合线性回归方程的性质，即可求解，

对于C,结合相关系数的定义，即可求解，

对于D,结合决定系数的定义，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的性质，以及相关系数和决定系数的定义，属于中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：对于4二项式系数和为27=128,故A正确，

对于B,由于第=废，所以第四项与第五项的二项式系数均为最大，故B错误，

对于C,的通项为今（Cy-G-k=C我与x-k=（—1）气打写葭€

{0,1,2,3,456,7},

令等=2nk=1,

所以/的系数是（一1）1«=—7,故C正确，

当k=l,3,5,7时，空为整数，所以有理项有4项，故D错误.

故选：AC.

根据二项式展开式的通项特征即可判断CD,由组合数的性质即可判断B,由二项式系数和可判断人

本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

12.【答案】BC

【解析】解：对于4由余弦定理得cosB=一户>0,即B为锐角，

2ac

不能判断△ABC为锐角，故A错误；

对于B：设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=短=碧=2,

即R=1,故其外接圆的面积为TTR2=兀，故8正确；

对于C：若AABC为锐角三角形，贝1]2+8=宗且与>4>>B>0,

sinA>sin（^一B）=cosB,故C正确；

对于D：acosA=bcosB,

由正弦定理得siTL4cos4=sinBcosB,

即sin24=sin2B,

22=28或22=n-2B,即A=B或4+B=],

则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故。错误.

故选：BC.

根据余弦定理即可判断4根据正弦定理，即可判断B；由题意可得与>力>5-3>0,即可判断

C；根据正弦定理和二倍角的正弦公式计算化简，即可判断D.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】—3

【解析】解:根据题意，函数/(X)=仔2—产L

(7。92(%-2),%>2

则"3)=iog2(3-2)=0,则f(/(3))=/(0)=-3.

故答案为：-3.

根据题意，由函数解析式求出〃3)的值，进而计算可得答案.

本题主要考查函数的值，属于基础题.

14.【答案】150人

【解析】解：由正态分布的对称性知，P(90<f<110)=P(110<f<130)=0.35,

所以P(f<90)=0.5-P(90<f<110)=0.5-0.35=0.15,

所以估计成绩不及格(在90分以下)的学生人数为1000x0.15=150人.

故答案为：150人.

利用正态分布的对称性，求出P(f<90)后，即可得解.

本题考查正态分布的对称性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

15.【答案】20

【解析】解：根据题意，用挡板法分析，将7个相同的小球排成一排，中间有6个空位，

在其中任选3个，插入三个挡板，有盘=20种，

故答案为：20.

根据题意，用挡板法分析，将7个相同的小球排成一排，利用挡板将其分为4组，分别对应4个不

同的盒子即可，由组合数公式计算可得答案.

本题考查排列、组合的应用，考查挡板法、间接法的运用，属于基础题.

16.【答案】y=4x+24

【解析】解：由/(4+久)+/(—©=0,令x=—2,则/(2)+/(2)=2/(2)=0,即/(2)=0,

又/(x)为奇函数,贝行(4+久)=-f(-x)=,

故/(x)是以4为周期的周期函数，贝叶(—6)=/(2)=0,

对/(4+x)=/(x),求导得/(4+%)=f'(x),

故尸(久)是以4为周期的周期函数，则［(一6)=((2)=4,

即切点坐标为(一6,0),切线斜率k=4,

故切线方程为y—0=4(%+6),即y=4%+24.

故答案为：y=4乂+24.

求函数的导数，根据导数的几何意义结合切线方程即可得到结论

本题主要考查导数的计算，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键.

17.【答案】解：(1)/(%)=V-3sin2x+cos2x=2sin(2x+'

f(x)的最小正周期为T=g=n,

令sin(2支+*=0,则％一各keZ,

.•・/⑺的对称中心为怎一会,0),kez.

7T/nTC57r

——v21+.—v——,

6-6-6

—2Wsin(2x+—)<1,

•1--1</(%)<2.

.♦.当2X+'=Y，即刀=一器时，f(x)的最小值为一1；

当2%+(日,即x建时，〃久)的最大值为2.

【解析】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，考查了函数思想，属于基础题.

(1)利用辅助角化简，再根据正弦函数的性质即可求解；

(2)根据x的取值范围，求出2%+今的取值范围，从而求出f(x)的最大、最小值以及对应的久值.

18.【答案】解：(1)由题意当去1人时，有戏=6种去法，

当去2人时，共有四=15种去法，

当去3人时，共有金=20种去法，

当去4人时，共有醛=15种去法，

当去5人时，共有玛=6种去法，

当去6人时，共有谶=1种去法；

由分类计数原理可得共有6+15+20+15+6+1=63种去法；

(2)当甲乙都去时，则至少取2人，所以共有C+Q+…+(4=24=16种去法，

当甲乙都不去时，共有C?+不+…+0=24=16种去法,

由分类计数原理，共有16+16=32种去法.

【解析】(1)分去1,2,3,4,5,6人时各自求出去法的种数，再根据分类计数原理即可求解；(2)

分甲乙都去和都不去两种情况，分别求出各自的去法个数，再根据分类计数原理即可求解.

本题考查了排列组合的简单计数原理的应用，考查了学生的分类思想，属于基础题.

(f(0)=0-=0_

19.【答案】解：⑴由题意可知［/⑴1，即JiJ解得｛;二n;，

2ll+a-2

所以函数〃久)的解析式为“X)=普.

(2)不等式f(x-1)+(Q)<0可化为"%-1)<

因为f⑺是定义在的奇函数，所以〃久-1)<

因为f(x)定义在［一1,1］的奇函数，所以久久-1)<

—14％—141

又因为/(%)在定义域［—1,1］是增函数，所以一14一％<1,

,X—1<—X

解得0Wx<3，即不等式的解集为［0,

【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得〃0)=0,又/(l)=g，列方程可得a,6的值，即可

得函数的解析式；

(2)利用函数的奇偶性与单调性分析可以将原不等式变形为/(x-1)<进而可得

—14％—141

-1<%<1,解可得X的取值范围，即可得答案.

—1<—X

本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中

档题.

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.005+0.010x2+0.020+a+0.030)x10=1,

a=0.025,

二数学成绩在［70,80)的有0.03。x10x200=60名，

数学成绩在［80,90)的有0.025x10X200=50名，

数学成绩在［90,100］的有0.010x10x200=20名,

从样本中随机选取一名学生，设“这名学生的分数不低于70分”为事件4”这名学生数学成绩

为优秀“为事件B，

则「(4)=60+50+20=13p(4B)=—=—,

7yle120020,)20010

c、P(4B)1202

"P(8⑷=p7)=10X13=13;

(2)•••采取分层抽样的方法从成绩在［70,100］内的学生中抽取13名，

.•.在［70,80)抽取13x粽=6名，在［80,90)抽取13X瑞=5名，在［90,100］抽取13x言=2名，

从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为X,

则X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=1l=最P(X=1)=#=尚，P(X=2)=#=9

c13c13c13

X的分布列为：

X012

1551

P

261326

EW=oxg+ixA+2x±=A.

【解析】⑴由题意得到a=0.025,则数学成绩在［70,80)的有60名，数学成绩在［80,90)的有50名，

数学成绩在［90,100］的有20名，设“这名学生的分数不低于70分”为事件4“这名学生数学成绩

为优秀”为事件B,利用条件概率公式即可求解；

⑵由题意在［70,80)抽取6名，在［80,90)抽取5名,在［90,100］抽取2名，则X的可能取值为0,1,2,

求得各自对应的概率，即