2019-2020学年人教A版宁夏银川九中高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个

几何体依次分别为（

IXI⑵

俯视图

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

2.下列命题为真命题的是（）

A.平行于同一平面的两条直线平行

B.与某一平面成等角的两条直线平行

C.垂直于同一平面的两条直线平行

D.垂直于同一直线的两条直线平行

3.下列命题中错误的是（：）

A.如果aJL#,那么戊内一定存在直线平行于平面产

B.如果那么a内所有直线都垂直于平面尸

C.如果平面a不垂直平面尸，那么a内一定不存在直线垂直于平面广

D.如果a_Ly,ly,a0|£=?,那么？_Ly

4.正方体胆中，异面直线必与反7所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.(272+4>B.(2^/2+6>C.6万D.(3+4加

6.梯形44G4（如图）是一水平放置的平面图形地如的直观图（斜二测），若44/。'

=1,则平面图形月BCD的面积是（）

C.5&D.1072

7.已知一直线斜率为3,且过北3,4）,两点，则x的值为()

A.4B.12C.-6D.3

8.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个侧面的距离为a,则这个三棱

柱的体积是（）

A.-SaB.L网

C.-SaD.-Sa

3423

9.一个球的体积和表面积在数值上相等,则该球半径的数值为（)

A.1B.2C.3D.4

10.若直线过点（1,2）,（4,2+73）,则此直线的倾斜角是（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

11.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4cm,高为12cM.现要为100个这种相同规格

的笔筒涂色（笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计）.如果每0.5馆涂料可以涂

那么为这批笔筒涂色约需涂料（）

A.1.23kgB.1.76kgC.2.46AgD.3.52kg

12.已知函数<>)=卜：+4"减，若f(2a+l)>/(a),则实数白的取值范围是()

K-4r,r<0

A.(-co,-1)|J(-1,+co)B.(-8,-3)<J(-1,+oo)

C.(-L-g)D.(-3,-1)

二、填空题(共4道小题，每题5分，共20分)

13.函数了=：+1咤式丫+3)的定义域.

14.若三点收3,1),颐-2力)，式8,11)在同一直线上，则实数匕等于.

15.已知正六棱锥底面边长为a,体积为41",则侧棱与底面所成的角为.

2

16.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中心=助=0,

NR4c=30°,若它们的斜边?15重合，让三角板曲)以壁为轴转动，则下列说法正确

的是.

①当平面平面火BC时，C、D两点间的距离为

②在三角板用D转动过程中，总有JWICD；

③在三角板月ED转动过程中，三棱锥体积的最大值为9.

三、本题共六道题，17题10分，其余各题每题12分，共70分)

17.如图，圆柱的底面半径为2,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点

为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.

(I)计算圆柱的表面积；

(II)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.

18.设集合J4={X|-14<3),B=(x|2x-4>x-2],C={x|x2a-1}.

(1)求以1B;

(2)若B(JC=。，求实数。的取值范围.

19.三棱柱壁。-4片G中，平面月FC,A4B。是边长为4的等边三角形，D为边壁

的中点，且％=2度.

(1)求证：平面&CDJ.平面RDG；

(2)求证：力6〃平面。阳；

(3)求三棱锥D-C44的体积.

20.如图，在三棱锥P-HB。中，汽7，底面妈7,ABLBC,D,E分别是四，PB的

中点.

(1)求证：DE”平面PAC;

(2)求证：AB1PB;

(3)若PC=BC,求二面角P-RB-。的大小.

21.已知定义域为R的函数工是奇函数，

2+a

(1)求a,2?的值；

(2)若对任意的teR,不等式/(产-2t)+/(2F-h)<0恒成立，求k的取值范围.

22.如图所示，正四棱锥P-J1BCD中，。为底面正方形的中心，侧棱风与底面月BCD所

成的角的正切值为理.

2

(1)求侧面R4D与底面壁如所成的二面角的大小；

(2)若E是而的中点，求异面直线PD与松所成角的正切值；

(3)问在棱加上是否存在一点产，使即1侧面阳C,若存在，试确定点9的住置；若

不存在，说明理由.

D

参考答案

一、选择题（本题12道小题，每题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）

1.如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个

几何体依次分别为（）

正视图侧视图

CO）

俯视图（4）

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台

D,三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

【分析】三视图复原，判断4个几何体的形状特征，然后确定选项.

解：如图（1）三视图复原的几何体是放倒的三棱柱；

（2）三视图复原的几何体是四棱锥；（

3）三视图复原的几何体是圆锥；

（4）三视图复原的几何体是圆台.

所以（1）（2）（3）（4）的顺序为：三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台.

故选：C.

2.下列命题为真命题的是（）

A.平行于同一平面的两条直线平行

B.与某一平面成等角的两条直线平行

C.垂直于同一平面的两条直线平行

D.垂直于同一直线的两条直线平行

【分析】选项力、8、D均可以从正方体模型中找到反例，故都不正确.选项。可以用反

证法进行证明，故。正确.

解：如图1,4G〃平面壁⑵，用4〃平面壁⑵，但是4。「|弓。=。，所以力错；

4。、&。与平面壁⑵所成角度大小相同，但是4。「|5。=。，所以B错；

44,4力，44,4月，但是耳外「|耳4=月，所以。错；

如图2,假设a_La,bla,且4「|》=力，

则过一点有两条直线均垂直于平面,

故假设不成立，

即垂直于同一平面的两条直线平行,

所以。正确.

故选：C.

图1图2

3.下列命题中错误的是（）

A.如果aJ•尸，那么a内一定存在直线平行于平面?

B.如果aJ•产，那么a内所有直线都垂直于平面产

C.如果平面a不垂直平面力,那么a内一定不存在直线垂直于平面足

D.如果a_Ly,/?!/,=那么？_Ly

【分析】如果a，#,则a内与两平面的交线平行的直线都平行于面尸，进而可推断出力命

题正确；仪内与两平面的交线平行的直线都平行于面故可判断出8命题错误；根据

平面与平面垂直的判定定理可知。命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正

确.

解：如果a_L#,则a内与两平面的交线平行的直线都平行于面产，故可推断出力命题正

确.

B选项中a内与两平面的交线平行的直线都平行于面尸，故8命题错误.

。根据平面与平面垂直的判定定理可知。命题正确.

。根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确.

故选：B.

4.正方体期"中，异面直线必与所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】由题意即正方体图形，利用正方形的特点.由于利用异面直线的定义

即可得求.

解：根据题意，的正方体儿纪。-4494中，易得幺40=90°.

ADHBC

二异面直线必与BC垂直，即所成的角为90°,

故选：D.

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.（20+4泗B.（25/2+6>C.6万D.（淄+4）方

【分析】直接利用组合体的表面积公式的应用求出结果.

解：根据几何体的三视图转换为几何体为两端为圆锥体，中间为圆柱体的组合体.

所以：S=2x；x2万*淄+2x2万=2也万+4万.

故选：A.

6.梯形44G4（如图）是一水平放置的平面图形须如的直观图（斜二测）,若4〃/。'

轴，44〃/轴，A4=：qa=2,44=1,则平面图形必如的面积是（）

A.5B,10C.5收D.10播

【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形壁⑵的形状，求出底边边长,

上底边边长，以及高，然后求出面积.

解：如图，根据直观图画法的规则，

直观图中44〃。，'，44=1,=原图中加〃5，

从而得出且40=244=2,

直观图中44〃G4，A4=|q4=2,=原图中＞IB"CD,AB=1CD=2,

即四边形壁⑵上底和下底边长分别为2,3,高为2,如图.

故其面积S=；（2+3）x2=5；

故选：A.

7.已知一直线斜率为3,且过收3,4）,与X,7）两点，则x的值为（）

A.4B.12C.-6D.3

【分析】由一直线斜率为3,且过北3,4）,用x,7）两点，代入斜率公式，可构造关于x的方

程，解方程求出了值.

解：若过壁的直线斜率为3,

解得x=4

故选：A.

8.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个侧面的距离为a,则这个三棱

柱的体积是（）

1112

A.-SaB.-SaC.D.-Sa

3423

【分析】将该斜三棱柱补成一个四棱柱，将其放倒使侧面与它所对的棱的距离为d,成为

四棱柱的高，然后求体积.

解：将该斜三棱柱补成一个四棱柱，该四棱柱的底面积为S,高为。，故四棱柱的体积为黝，

二%三财

故选：C.

9.一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】设该球的半径为R,球的体积公式为，=表面积公式为S=4万K,根据球

的体积和表面积在数值上相等列方程，即可解得球的半径

解：设该球的半径为R,

依题意，-n

3

解得R=3

故选：C.

10.若直线过点。,2）,（4,2+73）,则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90。

【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，求得倾斜角的值.

解：•••直线过点（1,2）,（4,2+73）,

■，直线的斜率为卜=三变二=虫.

4-13

设直线的倾斜角为a,则0。£&<180°,

由tan&=虫，可得a=30°,

3

故选：A.

11.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4CM,高为12cm.现要为100个这种相同规格

的笔筒涂色（笔筒内外均要涂色，笔筒厚度忽略不计）.如果每0.5炮涂料可以涂配2,

那么为这批笔筒涂色约需涂料()

A.1.23kgB.1.76姐C.2.46炮D.3.52kg

【分析】先求出一个笔筒的里外面积，再求出100个笔筒的总面积，又每05炮涂料可以涂

1m1,所需涂料易求.

解：由题设知，这种规格的笔筒表面积是万x42+0x4x2xl2=112万，

里外的全面积为224万，

100个这种相同规格的笔筒的全面积为100X224>7=22400万cm?=2.24万疝，

又每0.5炮涂料可以涂配2,

故所需涂料数为2.24万x0.5=1.12万炮m3.52炮，

故选：D.

12.已知函数F(X)=[£+4X，XX),若/(2a+l)>/(a),则实数。的取值范围是()

[r2-4r,x<0

A.(-8,-l)U(-；,+8)B.(-oo,-3)kJ(-l,+8)

c.D.(-3,-1)

【分析】先判断函数人x)的奇偶性和单调性，求参数的取值范围.

解：因为函数/(x)=F：+4，'X20,所以作出函数/&)的图象，则函数/(X)为偶函数，且

\x2-4x,x<0

在(0,+8)上单调递增.

则了(加+1)>/(a),等价为/(|2a+l|)>/(|aD,

所以|2a+平方得4〃+4a+1>d,即3a?+4a+l>0,

解得a>-：或a<—1.

故选：A.

二、填空题(共4道小题，每题5分，共20分)

13.函数y=」+log式X+3)的定义域_(-3x_0)<J(0J[_+oo)_.

【分析】由函数的解析式可得x#。，且了+3>0,由此求得函数『=：+log式x+3)的定义

域.

解：•.•函数j=1+log式x+3),

x

r*0,J.X+3>0.

解得-3<x<0,或0<x<+8,

故答案为(-3,0)U(0,+8).

14.若三点收3,1),颐-2,b),式8,11)在同一直线上，则实数匕等于_-9一

【分析】三点题3,1),5(-2,b),0(8,11)在同一直线上，可得小加=勾「利用斜率计算公式

即可得出.

解：•.•三点式3,1),夙-2曾,C(8,11)在同一直线上，

,,凡IfHE一=I儿fTU，

.d-111-1

三F'

即红?=普，化为5-1=-10.

—55

解得b=-9.

故答案为-9.

15.已知正六棱锥底面边长为。，体积为立厘，则侧棱与底面所成的角为45°.

2一一

【分析】由已知条件推导出棱锥的高A=a,侧棱长为6a,由此能求出侧棱与底面所成的

角的大小.

解：•.•正六棱锥的底面边长为a,

♦.•体积为正"，

2

/.棱锥的高h=a,

侧棱长为0a

-，侧棱与底面所成的角为45。，

故答案为：45°.

16.将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中加=BD=M，

ZB4C=30°,若它们的斜边重合，让三角板45D以壁为轴转动，则下列说法正确

的是①③.

①当平面R5D1平面为BC时，C、D两点间的距离为尤；

②在三角板月ED转动过程中，总有西1CD；

③在三角板曲）转动过程中，三棱锥D-RBC体积的最大值为由.

【分析】①结合图象，利用面面垂直的性质及直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一

半求解；

②用反证法，假设垂直，根据线面垂直的判定与性质推到是否可能，从而得出结论；

③根据棱锥的体积公式，在底面积不变的情况下，体积的大小取决于高，当平面血）1平

面RBC时，高最大，求出即可.

解：①取抽中点。，连接D。、CO,

AD=BD=V5，;DO=1,AB=2,OC=1

•••平面平面月BC,二DO_L平面火BC,DO^OC,O

DC=42,①正确；

②若则超1平面8。，ABLOC,:。为中点，二47=BC,4&4。=45°与

NR4C=30°矛盾，二②错误；

③当DO_L平面ABC时，棱锥的高最大，此时

=Lxlx>lCxBCxDO=lx^xlxl=^.③正确.

故答案是①③

三、本题共六道题，17题10分，其余各题每题12分，共70分)

17.如图，圆柱的底面半径为2,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点

为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面.

(I)计算圆柱的表面积；

(II)计算图中圆锥、球、圆柱的体积比.

【分析】(I)根据圆柱的几何特征求出底面积和侧面积，即可求出表面积.

(II)根据圆柱、圆锥、球的体积公式，表示相应的体积，即可求出体积之比.

解：(I)1•圆柱的底面半径为y=2,球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等,

圆柱和圆锥的高为h=2r=4,圆柱和圆锥的底面半径y=2,

圆柱的表面积为：

区住体=2X^X22+4XJTX22=24万.

(II)由(I)知/邂=；x万x2/x4=与方，

2

VBfi=>7X2X2X2=16>7,

"4„32

心=—x>7x23=—0,

月33

圆锥、球、圆柱的体积比为：

——>r:l6>r=1:2:3.

33

18.设集合力={n-14<3),B={x|2r-4>r-2),C=(r|x><7-1).

(1)求R0|B;

(2)若B(JC=。，求实数a的取值范围.

【分析】(1)化简集合8,然后求集合的交集.(2)利用B|JC=C，得到&U。，然后

求实数a的取值范围.

解:(1)由题意知，B={r|2r-4^r-2)={x|r^2)...

所以J4nB={灯24x<3}…

(2)因为B|JC=C，

所以BQC…

所以a-l42,即a43…

19.三棱柱月FC-44G中，平面的,41BC是边长为4的等边三角形，D为逆AB

的中点，且鹃=2度.

(1)求证：平面&CD_L平面加G；

(2)求证：为6”平面。叫；

(3)求三棱锥D-C44的体积.

。冰

【分析】(1)推导出%_1壁，CD1四，从而花，平面QCD,由此能证明平面GCD_L

平面加q.

(2)连结8G，交4。于点。，连结DO.则DO//RG，由此能证明力弓〃平面C%.

(3)三棱锥D-C44的体积分_「何=以产收，由此能求出结果.

【解答】证明：(1)•.•cq_L平面的,又花(=平面刎7,二

♦.•胡&。是等边三角形，⑵为＞15边上的中线，

CDLAB,

CDp|CG=..AB1平面q。。，

•••RBu平面为Dq,

：.平面C;CDJ_平面＞wq.

(2)连结gq,交4c于点。，连结DO.

则。是gq的中点，DO是A&4G的中位线.

DO/ZAC[.

♦.•0。＜=平面。％,月qa平面。阳，

：.月q”平面。羽.

解：(3)•••CqJL平面展C,B^f/CC,,

：.J•平面AFC.

:.B线为三棱锥D-CB4的高.

■.三棱锥D-C44的体积:

"171C211第〃2。16力

=XX-X

唯…=^S,-CBD=qS4se♦蚂324-^x8=——

二三棱锥D-C44的体积为幽.…

20.如图，在三棱锥F-HB。中，PC工底面ABC,AB1BC,D,E分别是AB,PB的

中点.

(1)求证：DE"平面以。；

(2)求证：AB1PB;

(3)若R7=BC,求二面角P-四一。的大小.

【分析】(1)由D,E分别是壁，的中点，结合三角形中位线定理和线面平行的判

定定理可得DE//平面R4C;

(2)由线面垂直的性质，可得汽结合4F1B。和线面垂直的判定定理可得超1

平面阳C,再由线面垂直的性质可得儿51阳；

(3)由(2)知，AB1PB,ABLBC,故NPBC即为二面角F-工3-。的平面角，解APBC

可得答案.

【解答】证明：(1)-.-D,E分别是"，的中点

DEHPA

又•.•以匚平面F4C,DEct平面PAC

DE”斗面PAC;

(2)YPCL底面ABC,ABu底面ABC,

:.PCIAB

又•••ASJ.B。，PC[\BC=C,PC,BCU平面PBC

RBJL平面R5。

文；PBu平面PBC

:.AB1PB;

解：(3)由(2)知，AB1PB,ABIBC,

NPB。即为二面角P-JIB-C的平面角

-：PC=BC,ZR7B=90°

:.ZPBC=45°

二面角P-JlB-。的大小为45°

21.已知定义域为R的函数士是奇函数，

2+a

(1)求a,b的值；

(2)若对任意的於R,不等式了(产-2。+/(2产-储〈。恒成立，求k的取值范围.

【分析】(1)根据奇函数的性质，定义域包括0,则有K0)=0,定义域为R,7(-1)=-/

(1)即可求得a,匕的值.

(2)将/(产-2t)+/(2F-%)0变形为：/(t2-2f)+-k),因为/(x)是奇函数，

-/(2t2-k)=-f(k-2t2),在利用/⑶减函数解不等式即可

解：(1)因为/(X)是奇函数，所以『(0)=0,

即.二+=0=3=1；

2+a

“、-2,+l

fW=—；

2+a

又•.•定义域为R,则有7(-1)=--(1),

_11

可得：2=_£na=2；

4+a\+a

经检验：六目是奇函数，满足题意.

所以a,b的值分别为2,1.

(II)由(I)知/(x)=_2：+1」+—L

'2l+1+222'+l

易知/(x)在(-8,+8)上为减函数；

又因了(X)是奇函数，

从而不等式：fit1-2t)+/(2f-k)<0等价于/(t2-2t)<-/(2t2-fc)=f(k-2t2),

因/(x)为减函数，</(Ar-2t2),

得：产-2O2T?

即对一切teR有：3t2-2t-*>0,开口向上，

从而判别式△=4+12k<0=>k

3

即出的取值范围是(-8,-；)

22.如图所示，正四棱锥P-AB如中，。为底面正方形的中心，侧