中厚板的弯曲问题（上）

中厚板的弯曲问题（上）长沙理工大学杨雨晨您的标题123古典薄板理论的局限性赖斯纳关于中厚板的基本假定考虑剪切变形板的基本方程古典薄板理论的局限性一、古典薄板理论的局限性克希霍夫-勒夫假设平行于板中面的各层互不挤压。即认为垂直于中面的法向正应力σz很小，可以忽略不计。由该假设可知板内各点的法向应力为0。1直法线假设（此假设是根据横向剪切变形对挠度的影响极小而提出的）变形前垂直于中面的直线段，在变形后仍保持是直线，并仍垂直于变形后的中面。2挠度ω沿着板厚度的变化可以略去，因而可以认为在同一厚度各点的挠度都等于中面的挠度。3中面内无伸缩和剪切变形4这是薄板小挠度弯曲的属性，即板的中面是一个中性面。古典的薄板理论，对板进行分析的时候引入了克希霍夫假设，假定板的横向变形为零，形式上相当于假定垂直于板中面的各个面内剪切模量无穷大，而板的其他各个方向的弹性常数仍是真是材料的弹性常数。或者说，在古典薄板理论中，用这种各向异性材料代替了真实的各向同性材料。在如今大量由板壳组成的工程结构中，根据Kirchhoff假设建立的薄板近似理论的计算结果虽然已经满足工程计算的精度，但如果板比较厚，或者在集中力作用点附近以及薄板边界周围，近似理论不仅不能取得满意的结果，甚至会导致错误的结论。近似理论的这些缺点要求研究者提出一些新的假定，它既能避免数学方面的困难，又能克服采用Kirchhoff假定忽略横向剪切应变所引起的误差。为解决上述问题，在二十世纪中期，以赖斯纳（Reissner）为代表的一批学者，提出了考虑剪切变形的板的理论，一般称为中等厚度板（中厚板）理论。古典薄板理论的局限性古论典的薄局板限理性在板的边界附近，用古典板理论分析所得结果是不精确的。对于板中开孔、板中裂纹的情况，古典板理论分析孔附近的应力集中现象在很多情况下是不合适的。板厚h/尺寸l大约超过1/5时，采用古典板理论分析问题将会出现较大的误差。对于某些复合材料板，抗剪性能本身较差，运用克希霍夫假定是不合适的。01020304古典薄板理论的局限性二、赖斯纳关于中厚板的基本假定假定1：与薄板理论相同，应力σx、σy、τxy沿板厚仍是线性分布的。图1：板受力示意图赖斯纳关于中厚板的基本假定考虑厚度为h、受面载荷p(x,y)的弯曲板，取一微元体，其受力如图所示。建立平衡方程：式中：Mx，My—作用在中面上每单位长度的弯矩；

Mxy

，Myx—作用在中面上每单位长度的扭矩；Qx，Qy—作用在单位长度板截面上的横向剪力。赖斯纳关于中厚板的基本假定瑞斯纳首先假设，沿平板的厚度方向，应力分量按照线性规律分布。与薄板理论相同，应力和内矩之间的关系为内力和内矩的平衡条件仍是赖斯纳关于中厚板的基本假定由三维弹性体的力学平衡微分方程前两式可以得出横向剪切应力沿厚按抛物线规律分布（设体力为0）至于正应力σx沿板厚的分布规律可从平衡微分方程第三式及上下底面的边界条件（假定p做用于上表面，下表面自由）赖斯纳关于中厚板的基本假定根据应力沿板厚呈线性分布的假设及相关推导得到应力分量和内力的关系：赖斯纳关于中厚板的基本假定假定2：横向剪力引起的变形不能忽略。图2：板的平均挠度和转角设板的平均挠度为ω，板中面法线绕-y轴及绕x轴的平均转角分别为βx，βy。ω,βx，βy按能量观点来定义，即令弯矩、扭矩和横向剪力在平均转角和平均挠度上所做的功等于应力在位移Ux，Uy及W上所做的功。即赖斯纳关于中厚板的基本假定推导得到：由于位移Ux,Uy与边界上法向位移Un,切向位移Us满足式中:θ—x轴与边界法向n的夹角。赖斯纳关于中厚板的基本假定引入上述板中面法线平均转角的概念,实际上就是认为板中面的法线在变形后仍保持直线,转动了角度βx、βy,但此时的法线己不再垂直于板的中面,即若定义边界上n，s方向的平均转角βn，βs为则01OPTIONS02OPTIONS03OPTIONS04OPTIONS从三维弹性力学方程出发，推导考虑剪切变形板的方程用广义余能的变分原理推导考虑剪切变形板的方程由基本方程建立挠度与横剪力的方程边界条件中厚板的基本方程中厚板的基本方程中厚板的基本方程1.从三维弹性力学方程出发，推导中厚板的方程由几何方程及胡克定律由上式，并注意到σz的分布规律，则三、中厚板的基本方程（式3-1）（式3-2）中厚板的基本方程上式乘以z后沿板厚积分，并注意到βx、βy及平均位移ω的定义式，得：由此得到：（式3-3）（式3-5）（式3-4）中厚板的基本方程又根据对上式求积分，得（式3-6）（式3-8）（式3-7）中厚板的基本方程平衡方程式及内力与位移的关系式共计八个方程，即为考虑剪切变形板的全部方程组。（式3-10）（式3-9）中厚板的基本方程2.用广义余能的变分原理推导考虑剪切变形板的方程

三维弹性体的余能表达式为

其中第一部分的积分为在体积V上的积分,第二部分的积分为在边界上表面Fu的积分。将这些关系式结合上式，使应力用内力素表示，则考虑剪切变形板的余能表达式为（式3-11）中厚板的基本方程考虑剪切形板的余能表达式中，前一部分面积分是板的余变形能；其中第一，第二项是薄板理论的余变形能表达式所共有的，它们是由弯矩、扭矩引起的余变形能；第三项是横剪力引起的余变形能；第四项是正应力σx、σy与沿板厚方向的变形相互影响引起的余变形能；第三，第四项都是薄板理论所不考虑的。第五项是沿板厚的挤压应力σz引起的余变形能，由于σz相之较小，故此项在今后的计算中仍略去。（式3-12）中厚板的基本方程第二部分线积分是边界上的广义力在广义位移上所做的功；注意到此处广义位移和边界广义力是三个，而薄板理论中则是二个。在每条边上直接应用3个边界条件，消除了将边界条件等效成两个所造成的影响。这些差别决定了考虑剪切变形板的基本方程与薄板理论的差别。中厚板的基本方程真实解应满足使上式表达的余能的变分为零。对上式取变分，得：因此解得：（式3-13）（式3-14）中厚板的基本方程3.由基本方程建立挠度与横剪力的方程也可写作考虑剪切变形的板，弯矩不仅与挠度的导数有关，还与横剪力有关，因此不能仅以挠度为基本未知量，而必须以挠度、剪力为基本未知量。将基本方程后二式代入前三式，并利用平衡方程，得到弯矩，扭矩，通过挠度、剪力的表达式：平衡方程中厚板的基本方程再次利用平衡方程（式3-15）（式3-16）中厚