2024年中考数学二轮专题 压轴题培优练习05（含答案）

2024年中考数学二轮专题压轴题培优练习05LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线y=eq\f(3,5)x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，点P为抛物线y＝eq\f(1,4)x2上一动点．(1)若抛物线y＝eq\f(1,4)x2是由抛物线y＝eq\f(1,4)(x＋2)2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，﹣1)，过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系中，抛物线y=x2＋(k－1)x－k与直线y=kx＋1交于A，B两点，点A在点B的左侧.(1)如图1，当k=1时，求A，B两点的坐标；(2)如图2，抛物线y=x2＋(k－1)x－k(k＞0)与x轴交于点C，D两点(点C在点D的左侧)，在直线y=kx＋1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(﹣1，0)、B(3，0)、点C三点．(1)试求抛物线的解析式；(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？LISTNUMOutlineDefault\l3如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2＋6ax＋6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；(3)如图3，在(2)的条件下，当m＝eq\f(4,3)时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．LISTNUMOutlineDefault\l3如图，关于y=﹣x2+bx+c的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)在图中求一点G，使以G、A、E、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；(3)在抛物线A、C两点之间有一点F，使△FAC的面积最大，求该点坐标；(4)直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？(3)若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标.LISTNUMOutlineDefault\l3如图，抛物线M：y＝ax2＋bx＋b﹣a经过点(1，﹣3)和(﹣4，12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．(1)求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；(2)若抛物线N：y＝﹣eq\f(1,2)(x﹣h)2＋与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0,25a＋5b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5),b＝－\f(18,5)))，∴该抛物线对应的函数解析式为y=eq\f(3,5)x2－eq\f(18,5)x＋3；(2)∵点P是抛物线上的动点，且位于x轴下方，∴可设点P(t，eq\f(3,5)t2－eq\f(18,5)t＋3)(1＜t＜5)，∵PM∥y轴，分别与x轴和直线CD相交于点M、N，∴M(t，0)，N(t，eq\f(3,5)t＋3)．①∵点C，D是直线与抛物线的交点，∴令eq\f(3,5)x2－eq\f(18,5)x＋3=eq\f(3,5)x＋3，解得x1=0，x2=7.当x=0时，y=eq\f(3,5)x＋3=3，当x=7时，y=eq\f(3,5)x＋3=eq\f(36,5).∴点C(0，3)，D(7，eq\f(36,5))．如图，分别过点C和点D作直线PN的垂线，垂足分别为E，F，则CE=t，DF=7－t，SΔPCD=SΔPCN＋SΔPDN=eq\f(1,2)PN·CE＋eq\f(1,2)PN·DF=eq\f(1,2)PN(CE＋DF)=eq\f(7,2)PN，当PN最大时，△PCD的面积最大．∵PN=eq\f(3,5)t＋3－(eq\f(3,5)t2－eq\f(18,5)t＋3)=－eq\f(3,5)(t－eq\f(7,2))2＋eq\f(147,20)，∴当t=eq\f(7,2)时，PN取最大值为eq\f(147,20)，此时△PCD的面积最大，最大值为eq\f(1,2)×7×eq\f(147,20)=eq\f(1029,40)；②存在.∵∠CQN=∠PMB=90°，∴当eq\f(NQ,CQ)=eq\f(PM,BM)或eq\f(NQ,CQ)=eq\f(BM,PM)时，△CNQ与△PBM相似．∵CQ⊥PM，垂足为点Q，∴Q(t，3)．且C(0，3)，N(t，eq\f(3,5)t＋3)，∴CQ=t，NQ=(eq\f(3,5)t＋3)－3=eq\f(3,5)t.∴eq\f(NQ,CQ)=eq\f(3,5).∵P(t，eq\f(3,5)t2－eq\f(18,5)t＋3)，M(t，0)，B(5，0)．∴BM=5－t，PM=－eq\f(3,5)t2＋eq\f(18,5)t－3.情况1：当eq\f(NQ,CQ)=eq\f(PM,BM)时，PM=eq\f(3,5)BM，即－eq\f(3,5)t2＋eq\f(18,5)t－3=eq\f(3,5)(5－t)，解得t1=2，t2=5(舍去)，此时，P(2，－eq\f(9,5))；情况2：当eq\f(NQ,CQ)=eq\f(BM,PM)时，BM=eq\f(3,5)PM，即5－t=eq\f(3,5)(－eq\f(3,5)t2＋eq\f(18,5)t－3)，解得t1=eq\f(34,9)，t2=5(舍去)．此时，P(eq\f(34,9)，－eq\f(55,27))．综上所述，存在点P(2，－eq\f(9,5))或者P(eq\f(34,9)，－eq\f(55,27))，使得△CNQ与△PBM相似．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵抛物线y＝eq\f(1,4)(x＋2)2﹣1的顶点为(﹣2，﹣1)，∴抛物线y＝eq\f(1,4)(x＋2)2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y＝eq\f(1,4)x2的图象．(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，设点P坐标为(a，eq\f(1,4)a2)，∴PM＝PF＝eq\f(1,4)a2＋1，∵PB＝|a|，∴Rt△PBF中，BF＝|eq\f(1,4)a2﹣1|，∵BF＝|eq\f(1,4)a2﹣1|，OB＝eq\f(1,4)a2，∴OF＝1，∴点F坐标为(0，1)．②如图二中，由①，PM＝PF，QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，QP＋PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP＋PF的最小值为6．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)A(－1，0)，B(2，3)(2)设直线AB：y=kx＋1与x轴，y轴分别交于点E，F，则E(－eq\f(1,k)，0)，F(0，1)，OE=eq\f(1,k)，OF=1.在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF=eq\r(（\f(1,k)）2＋1)=eq\f(\r(1＋k2),k).令y=x2＋(k－1)x－k=0，得：x=－k或x=1.∴C(－k，0)，OC=k.①假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，如图，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，此时∠OQC=90°.设点N为OC中点，连结NQ，则NQ⊥EF，NQ=CN=ON=eq\f(k,2).∴EN=OE－ON=eq\f(1,k)－eq\f(k,2).∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，∴eq\f(NQ,OF)=eq\f(EN,EF)，即：eq\f(\f(k,2),1)=eq\f(\f(1,k)－\f(k,2),\f(\r(1＋k2),k))，解得：k=±eq\f(2\r(5),5)，∵k>0，∴k=eq\f(2\r(5),5).∴存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=eq\f(2\r(5),5).②若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，将C(－k，0)代入y=kx＋1中，可得k=1，k=－1(舍去)，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，此时k=1.综上所述，k=eq\f(2\r(5),5)或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)将A(﹣1，0)、B(3，0)代入抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)，，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2＋2x＋3．(2)存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D(2，3)，令x=0，y=3，∴C(0，3)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如图，设BP交y轴于点G，∵CD∥x轴，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB中：∵∠∴△CDB≌△CGB(ASA)，∴CG=CD=2，∴OG=1，∴点G(0，1)，设直线BP：y=kx＋1，代入点B(3，0)，∴k=﹣eq\f(1,3)，∴直线BP：y=﹣eq\f(1,3)x＋1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或(舍)，∴P(﹣eq\f(2,3)，eq\f(11,9))．(3)直线BC：y=﹣x＋3，直线BD：y=﹣3x＋9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣(x﹣t)＋3联立直线BD求得F(3﹣eq\f(1,2)t，eq\f(3,2)t)，S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=eq\f(1,2)×2×3﹣eq\f(1,2)×t×t﹣eq\f(1,2)×(2﹣t)(3﹣eq\f(3,2)t)整理得：S=﹣eq\f(5,4)t2＋3t(0≤t≤2)．当2＜t≤3时，如图：H(t，﹣3t＋9)，I(t，﹣t＋3)S=S△HIB=eq\f(1,2)[(﹣3t＋9)﹣(﹣t＋3)]×(3﹣t)整理得：S=t2﹣6t＋9(2＜t≤3)综上所述：S=．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)令x＝0，则y＝6，∴B(0，6)，令y＝0，则﹣ax2＋6ax＋6＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝﹣，∴|x1﹣x2|＝，∵S△ABC＝30＝6×，解得a＝eq\f(3,8)，∴y＝﹣eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＋6；(2)∵P点横坐标为t，∴P(t，﹣eq\f(3,8)t2＋eq\f(9,4)t＋6)，∵PD⊥x轴，∴PD＝﹣eq\f(3,8)t2＋eq\f(9,4)t＋6，令y＝0，则﹣eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＋6，解得x＝﹣2或x＝8，∴A(﹣2，0)，C(8，0)，∴AD＝t＋2，∵tan∠PAD＝m，∴＝m，整理得，m＝﹣eq\f(3,8)(t﹣8)(0＜t＜8)；(3)连接BC与AP交于点E，∵A(﹣2，0)，B(0，6)，C(8，0)，∴AC＝10，BC＝10，∴AC＝BC，∴∠BAO＝∠ABE，∵OB＝6，OC＝8，∴tan∠OCB＝eq\f(4,3)，∵m＝eq\f(4,3)，∴∠PAD＝∠OBC，∴∠BCO＝∠APD，∴∠PAD＋∠BCO＝90°，∴BC⊥AP，∴∠BEA＝90°，∴△ABO≌△EAB(AAS)，∴∠BAE＝∠ABO，∵AN平分∠PAC，∴∠EAN＝∠NAC，∴2∠OAE＋2∠EAN＝90°，∴∠BAN＝45°，∴△ABN是等腰直角三角形，∴BN＝AB＝2eq\r(10)，在Rt△APD中，设AN与PD交于Z，过Z作ZY⊥AP交于Y，∵AZ是∠PAD的平分线，∴YZ＝ZD，∵tan∠PAD＝eq\f(4,3)，设PD＝4，ZD＝y，则AD＝3，AP＝5，YZ＝y，在Rt△PYZ中，(4﹣y)2＝y2＋22，∴y＝eq\f(3,2)，∴tan∠ZAD＝eq\f(1,2)，设N(m，n)，则＝，∵2eq\r(10)＝，解得m＝6，n＝4，∴N(6，4)，过A作AL⊥AB交于HM的延长线于L，过B作BS∥HL交AL于点S，交KN于点Q，∵MT⊥KN，∴∠NHT＝90°﹣∠HNT，∠BKN＝90°﹣∠HNT，∵∠MKN＝2∠BNK，∴∠AKM＝180°﹣(∠BKN＋∠NKM)＝90°﹣∠HNT，∴∠AKM＝∠HTN，∵∠BAN＝∠BNA＝45°，∴∠HMN＝∠KMA，∵∠HMN＝∠AML，∴∠KMA＝∠AML，∵AL⊥AB，∠PAN＝∠CAN，∴∠CAL＝∠BAE，∴∠KAM＝∠MAL，∴△AKM≌△ALM(ASA)，∴AK＝AL，∠ALM＝∠AKN，∵BN⊥AB，AL⊥AB，∴BN∥AL，∵BS∥HL，∴四边形BHLS是平行四边形，∴∠ALM＝∠BSA，∴∠BKN＝∠BSA，∵AB＝BN，∠ABN＝∠BAS＝90°，∴△NBK≌△BAS(ASA)，∴BK＝AS，∴HL＝KN，∵NH＝4BH，设BH＝a，KB＝b，则NH＝4a，AB＝5a，∵AK＝AL，∴5a﹣b＝a＋b，∴b＝2a，∴BK：AB＝2：5，过K作KG⊥x轴交于G，∴△ABO∽△AKG，∴＝＝＝，∴KG＝eq\f(18,5)，AG＝eq\f(6,5)，∴K(﹣eq\f(4,5)，eq\f(18,5))，设直线KN的解析式为y＝sx＋h，∴，解得，∴y＝x＋．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)把A(﹣3，0)，C(0，3)代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，∴D(﹣1，4)；(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则E(﹣1，0)，如图1，∴AE=2，当把C点向右平移2个单位得到G点，则四边形AEGC为平行四边形，此时G(2，3)；当把C点向左平移2个单位得到G′点，则四边形AECG′为平行四边形，此时G(﹣2，3)；由于点C向下平移3个单位，向左平移1个单位得到E点，则点A向下平移3个单位，向左平移1个单位得到G″点，则四边形ACEG″为平行四边形，此时G″(﹣4，﹣3)，综上所述，G点坐标为(﹣2，3)或(2，3)或(﹣4，﹣3)；(3)如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A(﹣3，0)，C(0，3)代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+3，设F(x，﹣x2﹣2x+3)，则Q(x，x+3)，∴FQ=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x，∴S△FAC=eq\f(1,2)×3×FQ=eq\f(3,2)×(﹣x2﹣3x)=﹣eq\f(3,2)x2﹣eq\f(9,2)x=﹣eq\f(3,2)(x+eq\f(3,2))2+，当x=﹣eq\f(3,2)时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为(﹣eq\f(3,2)，eq\f(15,4)；(4)存在．∵D(﹣1，4)，A(﹣3，0)，E(﹣1，0)，∴AD=2eq\r(5)，设P(﹣1，t)，则PE=PH=|t|，DP=4﹣t，∵∠HDP=∠EDA，∴Rt△DHP∽Rt△DEA，∴PH：AE=DP：DA，即|t|：2=(4﹣t)：2eq\r(5)，当t＞0时，t：2=(4﹣t)：2eq\r(5)，解得t=eq\r(5)﹣1；当t＜0时，﹣t：2=(4﹣t)：2eq\r(5)，解得t=﹣eq\r(5)﹣1，综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣1，eq\r(5)﹣1)或(﹣1，﹣eq\r(5)﹣1)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)，∴，解得，∴抛物线解析式为y=eq\f(1,2)x2+x﹣4；(2)∵点M的横坐标为m，∴点M的纵坐标为eq\f(1,2)m2+m﹣4，又∵A(﹣4，0)，∴AO=0﹣(﹣4)=4，∴S=eq\f(1,2)×4×|eq\f(1,2)m2+m﹣4|=﹣(m2+2m﹣8)=﹣m2﹣2m+8，∵S=﹣(m2+2m﹣8)=﹣(m+1)2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；故答案为：S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；(3)∵点Q是直线y=﹣x上的动点，∴设点Q的坐标为(a，﹣a)，∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，∴点P的坐标为(a，eq\f(1,2)a2