山东省临沂市高三数学上学期期中试题

山东省临沂市2021届高三数学上学期期中试题(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A＝{x∈Z|－1≤x≤2}，B＝{x|x2＜1}，则A∩B＝()A.{－1，0，1}B.{0}C.{－1，0}D.{－1，0，1，2}2.若复数z满足2z＋|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设a，b∈R，则“lna＞lnb”是“lneq\f(a,b)＞0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知命题p：“∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是增函数”，则p的否定为()A.∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是减函数B.∀m∈R，f(x)＝3x－mlog2x是增函数C.∃m∈R，f(x)＝3x－mlog2x不是增函数D.∀m∈R，f(x)＝3x－mlog2x不是增函数5.若a＝(eq\r(2))eq\s\up6(\f(2,3))，b＝log3e，c＝(eq\f(1,e))－eq\f(1,3)，则()A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.a＞c＞bD.c＞b＞a6.如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.1B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3,2)D.eq\r(3)7.标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E”形视标，，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的eq\r(10,10)，则视力5.1的视标边长为()A.10－eq\f(9,10)aB.10－eq\f(4,5)aC.10eq\s\up6(\f(4,5))aD.10eq\s\up6(\f(9,10))a8.定义在R上的偶函数f(x)在[0，1]上单调递减，且满足f(x＋1)＝－f(x)，f(π)＝1，f(2π)＝2，则不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤2，,1≤f（x）≤2))的解集为()A.[1，eq\f(π,2)]B.[2π－6，4－π]C.[π－2，eq\f(π,2)]D.[π－2，8－2π]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9.下列结论正确的是()A.若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＜0，则△ABC是钝角三角形B.若a∈R，则a＋eq\f(3,a)≥2eq\r(3)C.∀x∈R，x2－2x＋1＞0D.若P，A，B三点满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，则P，A，B三点共线10.在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境(如图)．假设行李包所受重力为G，两个拉力分别为F1，F2.若|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，则下列结论正确的是()A.|F1|的最小值为eq\f(1,2)|G|B.θ的范围是[0，π]C.当θ＝eq\f(π,2)时，|F1|＝eq\f(\r(2),2)|G|D.当θ＝eq\f(2π,3)时，|F1|＝|G|11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝p，2Sn－Sn－1＝2p(n≥2，p为非零常数)，则下列结论正确的是()A.{an}是等比数列B.当p＝1时，S4＝eq\f(15,8)C.当p＝eq\f(1,2)时，am·an＝am＋nD.|a3|＋|a8|＝|a5|＋|a6|12.记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I，若存在x0∈I，使得对任意x∈I，不等式[f(x)－g(x)](x－x0)≥0恒成立，则称(f(x)，g(x))构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有()A.f(x)＝ex，g(x)＝x＋1B.f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,x)C.f(x)＝x，g(x)＝x2D.f(x)＝eq\r(x)，g(x)＝(eq\f(1,2))x第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a＝(1，2)，b＝(4，－7)．若a∥c，a⊥(b＋c)，则|c|＝________．14.已知函数f(x)＝acosx，g(x)＝x2＋bx＋2.若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________．15.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为Rt△ABC的斜边AB、直角边BC，AC，点N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，sin∠DAB＝eq\f(3,5)，则cos∠DNC＝________．16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，当an为偶函数时，,3an＋1，当an为奇数时.))当m＝13时，试确定使得an＝1需要________步雹程；若a7＝1，则m所有可能的取值所构成的集合M＝__________．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)在①sinB＋eq\r(3)cosB＝2，②cos2B＋eq\r(3)cosB－2＝0，③b2－a2＝c2－eq\r(3)ac这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若a＝4，c＝eq\r(3)b，________，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(eq\r(3)sinωx＋cosωx)cosωx－a(ω＞0)的最小正周期为4π，最大值为1.(1)求ω，a的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)将f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq\f(1,2)倍，再将得到的图象上所有点向右平移eq\f(π,4)个单位长度，得到g(x)的图象．若x∈(0，π)，求满足g(x)≥eq\f(\r(3),2)的x的取值范围．19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx＋ab.(1)若f(x)是奇函数，且有3个零点，求b的取值范围；(2)若f(x)在x＝1处有极大值－eq\f(22,3)，求当x∈[－1，2]时f(x)的值域．20.(本小题满分12分)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且v∈(0]时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1，2])．阶段时间t0t1t2t3距离d0＝10米d1d2d3＝eq\f(v2,20k)米(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d(v)，并求当k＝1，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？

21.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.(1)求{an}的通项公式；(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－mx＋1，g(x)＝x(ex－2)．(1)若f(x)的最大值是0，求m的值；(2)若对其定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围.2021届高三年级第一学期期中考试(临沂)数学参考答案及评分标准1.B2.B3.A4.D5.B6.C7.A8.D9.AD10.ACD11.ABC12.BD13.2eq\r(5)14.215.eq\f(7＋24\r(3),50)16.9{1，8，10，64}17.解：选①：由sinB＋eq\r(3)cosB＝2得sin(B＋eq\f(π,3))＝1，所以B＝eq\f(π,6).(2分)选②：由cos2B＋eq\r(3)cosB－2＝0得2cos2B＋eq\r(3)cosB－3＝0，解得cosB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,6).(2分)选③：由b2－a2＝c2－eq\r(3)ac得c2＋a2－b2＝eq\r(3)ac，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3)ac,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,6).(2分)因为eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(c,b)＝eq\r(3)，所以sinC＝eq\f(\r(3),2).(4分)所以C＝eq\f(π,3)或C＝eq\f(2π,3).(6分)当C＝eq\f(π,3)时，A＝eq\f(π,2).又a＝4，所以b＝2，c＝2eq\r(3).(7分)所以面积S＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).(8分)当C＝eq\f(2π,3)时，A＝eq\f(π,6)，所以A＝B.又a＝4，所以b＝4.(9分)所以面积S＝eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).(10分)18.解：(1)由题意f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)－a＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)－a，(2分)∴eq\f(2π,2ω)＝4π，1＋eq\f(1,2)－a＝1，解得ω＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2)，(3分)∴f(x)＝sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))．令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴4kπ－eq\f(4π,3)≤x≤4kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为[4kπ－eq\f(4π,3)，4kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)．(6分)(2)由题意得g(x)＝sin(x－eq\f(π,12))．(8分)∵sin(x－eq\f(π,12))≥eq\f(\r(3),2)，∴2kπ＋eq\f(π,3)≤x－eq\f(π,12)≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴2kπ＋eq\f(5π,12)≤x≤2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.(10分)∵x∈(0，π)，∴eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(3π,4)，故x的取值范围是[eq\f(5π,12)，eq\f(3π,4)]．(12分)19.解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴a＝0，且f(0)＝0.∴f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋bx，∴f′(x)＝－x2＋b.(2分)当b≤0时，f′(x)＝－x2＋b≤0，此时f(x)在R上单调递减，f(x)在R上只有1个零点，不合题意．(3分)当b＞0时，令f′(x)＝－x2＋b＞0，解得－eq\r(b)＜x＜eq\r(b)，∴f(x)在(－∞，－eq\r(b))，(eq\r(b)＋∞)上单调递减，在(－eq\r(b)，eq\r(b))上单调递增．(4分)∵f(x)在R上有3个零点，∴f(eq\r(b))＞0且f(－eq\r(b))＜0，即f(eq\r(b))＝－eq\f(1,3)(eq\r(b))3＋beq\r(b)＞0，即beq\r(b)＞0.而beq\r(b)＞0恒成立，∴b＞0.∴实数b的取值范围是(0，＋∞)．(6分)(2)f′(x)＝－x2＋2ax＋b，由已知可得f′(1)＝－1＋2a＋b＝0，且f(1)＝－eq\f(1,3)＋a＋b＋ab＝－eq\f(22,3)，(8分)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝5.))当a＝2，b＝－3时，f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2－3x－6，f′(x)＝－x2＋4x－3.令f′(x)≥0，即－x2＋4x－3≥0，解得1≤x≤3，易知x＝1是f(x)的极小值点，与题意不符．当a＝－2，b＝5时，f(x)＝－eq\f(1,3)x3－2x2＋5x－10，f′(x)＝－x2－4x＋5.令f′(x)≥0，即－x2－4x＋5≥0，解得－5≤x≤1，易知x＝1是f(x)的极大值点，符合题意，故a＝－2，b＝5.(10分)∵x∈[－1，2]，∴f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．又f(－1)＝－eq\f(50,3)，f(1)＝－eq\f(22,3)，f(2)＝－eq\f(32,3).∴f(x)在[－1，2]上的值域为[－eq\f(50,3)，－eq\f(22,3)]．(12分)20.解：(1)由题意得d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3，所以d(v)＝10＋0.8v＋0.2v＋eq\f(v2,20k)＝10＋v＋eq\f(v2,20k).(2分)当k＝1时，d(v)＝10＋v＋eq\f(v2,20)，t(v)＝eq\f(10,v)＋eq\f(v,20)＋1≥1＋2eq\r(\f(10,v)×\f(v,20))＝1＋2×eq\f(\r(2),2)≈(秒)．即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2.4秒．(6分)(2)根据题意要求对于任意k∈[1，2]，d(v)<50恒成立．即对于任意k∈[1，2]，10＋v＋eq\f(v2,20k)<50，即eq\f(1,20k)<eq\f(40,v2)－eq\f(1,v)恒成立．(8分)由k∈[1，2]，得eq\f(1,20k)∈[eq\f(1,40)，eq\f(1,20)]．所以eq\f(1,20)<eq\f(40,v2)－eq\f(1,v)，即v2＋20v－800<0，解得－40<v<20.(10分)所以0<v<20，20×eq\f(3600,1000)＝72(千米/小时)．(11分)即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下．(12分)21.解：(1)由Sn＝2an－2可得Sn＋1＝2an＋1－2，两式相减可得an＋1＝2an，故数列{an}是以2为公比的等比数列．(2分)又a1＝2a1－2，得a1＝2，∴an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n.(4分)(2)由(1)知an＝2n，an＋1＝2n＋1.由题意an＋1＝an＋(n＋2－1)dn，即2n＋1＝2n＋(n＋1)dn，∴dn＝eq\f(2n,n＋1).(6分)假设在数列{dn}中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列，则(dk)2＝dm·dp，即(eq\f(2k,k＋1))2＝eq\f(2m,m＋1)·eq\f(2p,p＋1).(8分)化简得eq\f(4k,（k＋1）2)＝eq\f(2m＋p,（m＋1）（p＋1）).∵m，k，p成等差数列，∴m＋p＝2k，∴eq\f(4k,（k＋1）2)＝eq\f(22k,mp＋m＋p＋1)＝eq\f(4k,mp＋2k＋1)，得(k＋1)2＝mp＋m＋p＋1，∴k2＝mp.∵m＋p＝2k，∴(eq\f(m＋p,2))2＝mp，即(m－p)2＝0，∴m＝p，即得m＝p＝k，这与题设矛盾．(11分)∴在{dn}中不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成