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定积分第六章1一、曲边梯形的面积第一节定积分的概念与性质

由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yo2abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）3观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放4曲边梯形如图所示，分割近似5曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限（1）分割（3）求和（4）极限（2）近似6二、定积分的定义定义7被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和8说明：1.2.

有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；

3.可积的充分条件：

94.规定:10三、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数yoyo11若要求阴影部分的面积,则为12例1利用定义计算定积分解xyo1113假设下面涉及到的函数均是可积的．四、定积分的基本性质性质1由定义可直接得出.14性质2此性质可以推广到有限多个函数的情形.(k为常数)这个性质称为定积分的线性性.

综合(1)、(2)，可得证略.15说明：不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.例如,这个性质称为定积分的区间可加性.则性质3证略.16证性质4由极限的保号性可知,

证略.17推论1证18推论2证即19性质5（估值定理）证由性质1和性质2，有再由性质4推论1，得mM20性质6（定积分中值定理）证由闭区间上连续函数的介值定理知，即估值定理21积分中值公式的几何解释：上的平均值.

22解例2于是23证例3即

f

(x)

单调下降，24

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