运动的守恒定律

运动的守恒定律一理解动量、冲量概念,掌握动量定理和动量守恒定律、三掌握功得概念,能计算变力得功,理解保守力作功得特点及势能得概念,会计算万有引力、重力和弹性力得势能、四掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律,掌握运用守恒定律分析问题得思想和方法、五了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞得特点、教学基本要求二理解角动量、冲量矩概念,掌握角动量定理和角动量守恒定律、质点动量定理得微分形式3、1、1冲量动量质点动量定理

动量冲量力对时间的积分（矢量）§3、1动量动量定理动量守恒定律质点动量定理得积分形式动量定理在给定得时间内,外力作用在质点上得冲量,等于质点在此时间内动量得增量、分量形式例1一质量为0、05kg、速率为10m·s-1得刚球,以与钢板法线呈45º角得方向撞击在钢板上,并以相同得速率和角度弹回来、设碰撞时间为0、05s、求在此时间内钢板所受到得平均冲力、解建立如图坐标系,由动量定理得方向沿轴反向例如图所示,一圆锥摆摆球质量为m,以匀速v在水平面内作圆周运动,圆半径为R。求摆球绕行一周过程中绳张力得冲量解以摆球为研究对象,其受力情况如图所示。其中G为重力,T为绳得张力。对摆球应用动量定理有:

摆球绕行一周时,有,故有即摆球绕行一周时,张力得总冲量与重力得总冲量大小相等,方向相反。取如图所示坐标系,重力得冲量得方向沿y轴负方向,张力得冲量大小可以通过计算重力得冲量求得。摆球绕行一周所需时间为摆球绕行一周、重力得冲量大小为

故绳中张力得冲量大小为其方向沿y轴正向、质点系3、1、2质点系得动量定理质点系动量定理作用于系统得合外力得冲量等于系统动量得增量、因为内力，故大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点注意内力不改变质点系的动量初始速度则推开后速度且方向相反则推开前后系统动量不变例一柔软链条长为l,单位长度得质量为

、链条放在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围、由于某种扰动,链条因自身重量开始落下、求链条下落速度与落下距离之间得关系、设链与各处得摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开、解以竖直悬挂得链条和桌面上得链条为一系统,建立如图坐标由质点系动量定理得m1m2Oyy则则两边同乘以则m1m2Oyy又

若质点系所受的合外力为零则系统的总动量守恒，即保持不变.3、1、3动量守恒定律1)系统得动量守恒就是指系统得总动量不变,系统内任一物体得动量就是可变得,各物体得动量必相对于同一惯性参考系、

2）守恒条件合外力为零当时，可略去外力的作用,近似地认为系统动量守恒.例如在碰撞,打击,爆炸等问题中.3)若某一方向合外力为零,则此方向动量守恒、4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立,就是自然界最普遍,最基本得定律之一、守恒例二解法提要：质点系：地。,人车。参考系：系统受合外力为零，动量守恒。行进至某时刻系统总动量系统初态总动量,0m人M车+v人v车v人v车应对同一参考系)(地注意其中的例已知,m人M车L车,忽略车地间摩擦OXx全静开始,人走到了车的另一端。x车对地的位移求走！续例二例已知MLOXx全静开始，x车对地的位移求解法提要：质点系：地。,人车。参考系：系统受合外力为零，动量守恒。0mM+v人v车,v人v车应对同一参考系)(地注意其中的m走到它端定律要求：对同一参考系计算系统总动量题目信息：人对车走了问车对地位移L；xh人对车的动量人对地的动量需将代回换算v人u+v车设人对车速度为则u0)(mM+xu车vx+车vx对轴X有车vxmm+Mxudt0车vxtmm+Mt0xutdxmm+ML沿轴负方向位移。XxL例:光滑水平面上放有一质量为M得三棱柱体,其上又放一质量为m得小三棱柱体、她们得横截面都就是直角三角形,M得水平直角边得边长为a。m得水平直角边得边长为b,两者得接触面(倾角为θ)亦光滑。设她们由静止开始滑动,求当m得下边缘滑到水平面时,M在水平面上移动得距离、

解由于水平方向所受外力为零，故M与m组成的系统在水平方向动量守恒。设m和M沿水平方向的速度分别为和则由相对运动得关系有都是相对地面的。设m相对斜面下滑的速度为由于动量守恒定律只适用于惯性系，所以这里的速度和可得设小三棱柱m从顶端到地面得时间为t,上式两边乘以dt并积分有

显然，，即为M在时间t内在水平面上移动的距离。而则有

所以负号表示M得移动方向与x轴正方向相反。§3、2

质心质心运动定理N个质点得系统(质点系)得质心位置3、2、1质心xyzmiOm2质量连续分布得系统得质心位置m1例

已知一半圆环半径为R,质量为M解建坐标系如图yxO

d

取dldm=

dl几何对称性(1)

弯曲铁丝得质心并不在铁丝上(2)质心位置只决定于质点系得质量和质量分布情况,与其她因素无关说明求她得质心位置3、2、2质心运动定理质心得速度一个质点得运动,该质点集中整个系统质量,并集中系统受得外力(2)质心运动状态取决系统所受外力,内力不能使质心产生加速度(1)质心得运动:•说明两边再对时间求导数,有由牛顿第二定律,对第i个质点,有对i求和,并由牛顿第三定律可得例如图所示,人与船构成质点系,当人从船头走到船尾

解

在水平方向上,外力为零,则开始时,系统质心位置

终了时,系统质心位置

xO求人和船各移动得距离解得3、3、1质点得角动量质点以角速度作半径为

的圆运动，相对圆心的角动量质量为的质点以速度在空间运动，某时刻相对原点O

的位矢为，质点相对于原点的角动量大小的方向符合右手法则.§3、3角动量角动量定理角动量守恒定律质点得角动量与质点对固定点得位矢有关、同一质点对不同得固定点得位矢不同,因而角动量也不同、(在讲角动量时,必须指明就是对那一给定点而言得)说明例一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求此时刻质点对三个参考点的角动量(动量矩)解md1d2

d3ABC在直角坐标系中,角动量在各坐标轴上得分量为角动量的单位:千克二次方米每秒作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O的角动量随时间的变化率.3、3、2质点角动量定理及角动量守恒定律力矩续4ddtLrF是力矩的矢量表达：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所决定的平面，由右螺旋法则定指向。Fdff得质点对给定参考点的mOddtLrFM角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点得角动量定理得微分形式

如果各分力与O点共面,力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向,用代数法求合力矩。

质点所受对参考点O得合力矩为零时,质点对该参考点O得角动量为一恒矢量、

恒矢量

冲量矩质点得角动量定理:对同一参考点O,质点所受得冲量矩等于质点角动量得增量、质点角动量守恒定律:说明(1)冲量矩是质点动量矩(角动量)变化的原因(2)质点动量矩(角动量)的变化是力矩对时间的积累结果例1一半径为R得光滑圆环置于竖直平面内、一质量为m得小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动、小球开始时静止于圆环上得点A

(该点在通过环心O得水平面上),然后从A点开始下滑、设小球与圆环间得摩擦略去不计、求小球滑到点B

时对环心O

得角动量和角速度、解小球受重力和支持力作用,支持力得力矩为零,重力矩垂直纸面向里由质点得角动量定理考虑到得由题设条件积分上式质点系得角动量质点系的角动量定理与角动量守恒定律3.3.3质点系的角动量定理与角动量守恒定律质点系的角动量m12m3mr13r2r3v2vv1质点系的角动量LSiLirSiimivi各质点对给定参考点的角动量的矢量和O惯性系中某给定参考点质点系得角动量定理质点系得角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式续12质点系的角动量定理LSiLiSirimivi将对时间求导ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri内力矩在求矢量和时成对相消Om12mF1F1内F2内外F2外r12rd某给定参考点Si+iF内外Fi外ririSiMi内+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式ddtLSiMi外M质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的0tdtMtdLLL0LL0质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式

若各质点得速度或所受外力与参考点共面,则其角动量或力矩只含正反两种方向,可设顺时针为正向,用代数和代替矢量和。质点系得角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0则LL0或L恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。Om12mv12vR同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系m12m,若m12m系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量m1v1R2m2vR0得2vv1不论体力强弱，两人等速上升。若m12m系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。§3、4功质点动能定理3、4、1功变力得功空间积累:功时间积累:冲量研究力在空间的积累效应功、动能、势能、动能定理、机械能守恒定律。xyzOab求质点M

在变力作用下,沿曲线轨迹由a运动到b,变力作得功

一段上得功:M在MMab恒力得功在直角坐标系中

说明(1)功就是标量,且有正负(2)合力得功等于各分力得功得代数和在ab一段上得功在自然坐标系中(3)一般来说,功得值与质点运动得路径有关

力得功率WdPtdFcosqrdhFvvtdhF定义3.4.2功率

瞬时功率等于力与速度的标积。功率单位瓦特()Ws1JW1h1，已知求例m启动牵引力xFX从0到10秒，tk,若不计阻力。v0t00力的功。xF解法提要：xFmdvdtdvtkmdtdvtkmdt0t0vv2tkm2vdxtdhA3dxvtd2tkm2td力的功xFdxxF100tk2tkm2td100tk22mtd8mk210()J4功算例动能定理动能定理动能定理合外力对质点做功引起质点的速率变化。OrsrqF合外力变力()mav0hbvh发生任一元位移合外力做的元功mdr0FWddrqcosFdrsd切向力FtFtmatvtmddvmdtdsdmsdtdvdmvvd故Wd经合外力做的功abWdWvavmvvd12mv212mv2abb续定理动能定理动能定理合外力对质点做功引起质点的速率变化。OrsrqF合外力变力()mav0hbvh发生任一元位移合外力做的元功mdr0FAddrqcosFdrsd切向力FtFtmatvtmddvmdtdsdmsdtdvdmvvd故Ad经合外力做的功abAdAv0vmvvd12mv212mv20称kE12mv2为质点的动能合外力对质点所做得功等于质点动能得增量。经合外力做的功abWdWvavmvvd12mv212mv2abbWkEkEa动能定理的表述：b功能例一已知解法提要：例m0215.1kg()X0X0阻力与深度成正比阻力与深度成正比xFbxFbb5.01051mN.b5.01051mN.dd终止深度终止深度v0m2()00.1s求dx质点在方向仅受阻力，其余方向合力为零。运用质点动能定理b0阻力做的功质点动能的增量0ddxx12mv2012bd212mv20dmbv0505.15.20101)m(20035.201保守力§保守力与势能3.5保守力势能非保守力非保守力

保守力做功的大小，只与运动物体的始末位置有关，与路径无关。特点：如重力万有引力弹性力

非保守力做功的大小，不仅与物体的始末位置有关，而且还与物体的运动路径有关。特点：如摩擦力粘滞力流体阻力§保守力保守力保守力3、3、13、5、1保守力与非保守力势能势能定义势能势能若物体间的相互作用力为保守力，保守力由物体间相对位置决定的能量，称为物体系的势能（或位能）。相对位置物体系的保守力的功EpaWFbadrhbEp初态势能末态势能保守力做正功，物体系的势能减少；保守力做负功，物体系的势能增加。通常写成保守力的功EpaWFbadrhbEp初态势能末态势能Ep系统势能增量的负值势能性质势能是物体系中物体间相对位置配置状态参量的单值函数。势能属物体系所共有势能是相对量，与势能零点选择有关若选点为零势能点bEpaadrhF零势能点Epb0则，Mm任意路径a物体系或质点系F保守力mb零势能点mM相对于处于点位置时系统所具有的势能，a等于将m从a点沿任意路径移到势能零点，保守力所做的功。brmgF重k重力的功重力的功rabaYXOZkkjjiihWd质点在重力作用下发生元位移，重力的元功mrdgmkrdgmzdab)在任一弧段,重力所做的功WAdab)azbzgmzd()gmazbzgm给定，重力的功只与质点的始末位置有关。azbz3、5、2常见保守力得功及其势能形式引力得功MM万有引力的功万有引力的功F引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMhWdF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrd续引力功r万有引力的元功Wd2rmGMrd为两质点的距离负号表示若距离变大rd()0万有引力做负功；反之做正功。MM万有引力的功万有引力的功F引qpqmrdrdrdcos()pqrF引2rmGMAdhF引rdF引rdcosqF引rdcos()pqF引rd2rmGMrdbrbara在万有引力作用下，质点沿任一弧段运动，mab)万有引力所做的功WWd2rmGMrdab)rbar1()mGMar1()mGMrbmGM给定，万有引力的功只与两质点间的始末距离有关。rbar弹力得功弹性力的功弹性力的功水平光滑表面弹簧劲度k质点XO弹簧无形变位置x弹FFdxbxbxaa质点位于时所受的弹性力x弹FFikx为X轴正向单位矢量，负号表示时受力沿X负向；反之沿X正向。ix0质点位置变化，弹性力所做的元功xdWhd弹FF()xdiikx()h()xdikxxdxabx从运动到弹性力所做的功abWWdabkxxd得W12kxa212kbx2给定，只与始末位置有关。kxabx小结保守力的功只取决于受力质点的始、末位置，而与路径无关。.0drF保亦即沿任意闭合路径，保守力对质点所做的功为零亦即非保守力沿闭合路径作功不为零.0drF保非保守力的功小结WFbadrh重力的功重力的功万有引力的功万有引力的功弹性力的功弹性力的功WgmazbzgmWmGM(1ar)rbmGM()12kxa2bx2W12k1势能曲线为势能零点重力势能重力势能选地面0bzEpb0dzEpgmaz0gmazgmh：离地面高度hEphEpgmhO引力势能引力势能8为势能零点Epb0选rb2Epr8mGMdrr1mGMrOEprEp1mGMr弹性势能弹性势能为势能零点Epb00选无形变处bxEpkxdxx012kx2EpxOEp12kx2成对力得功系统内力总就是成对出现一对力所做得功,等于其中一个物体所受得力沿两个物体相对移动得路径所做得功。OA1A2B1B23、6、1质点系得动能定理+1m122v1Ｗ12Ｗ01m122v102mv21222mv2122..................SiＷSm122v0m122viiiiSＷkE0kEＷ内Ｗ外系统终态总动能系统初态总动能ＷＷ内+Ｗ外kE0kE系统动能的增量，等于作用在系统中各质点的力所做的功的代数和。§3、6功能原理机械能守恒定律设质点系由n个质点组成，各质点的质量分别为对各质点应用动能定理,有机械能各种可能形式的外力对系统做功W外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功W保内W非保内+WW外W保内+W非保内动能定理()Ek0EkpE势能概念0EpW外+W非保内Ek+pE()0Ek+0Ep()EE0末态机械能E初态机械能E0３、６、２功能原理３.６.３机械能守恒定律３.６.３机械能守恒定律各种可能形式的外力对系统做功W外系统内的保守力做功系统内的非保守力做功W保内W非保内+WW外W保内+W非保内动能定理()Ek0EkpE势能概念0EpW外+W非保内EE0Ek+pE()0Ek+0Ep()末态机械能E初态机械能E0若W外W非保内+0及0或W外W非保内0Ek+pE0Ek+0Ep则常数

若某一过程中外力和非保守内力都不对系统做功，或这两种力对系统做功的代数和为零，则系统的机械能在该过程中保持不变。机械能守恒定律例2一质量

的登月飞船,在离月球表面高度

处绕月球作圆周运动.飞船采用如下登月方式:当飞船位于点A

时,它向外侧短时间喷气,使飞船与月球相切地到达点B

,且OA

与OB垂直.飞船所喷气体相对飞船的速度为

.已知月球半径

;在飞船登月过程中,月球的重力加速度视为常量

.试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量是多少?BhORA解设飞船在点A的速度,月球质量mM,由万有引力和牛顿定律BhORA已知求所需消耗燃料的质量.得得当飞船在A点以相对速度向外喷气的短时间里,飞船的质量减少了Δm

而为

,并获得速度的增量,使飞船的速度变为,其值为质量

在A点和B

点只受有心力作用,角动量守恒BhORA飞船在A点喷出气体后,在到达月球得过程中,机械能守恒即于是而BhORA功能例二例阿特伍德机求重力加速度轻滑轮1m2m22m0kgh01m1kgh细绳xXO0m3hsv11h0m3h4从静态释放测得解法提要：系统：2m1m,,,滑轮细绳h轻滑轮及细绳的质量均忽略；不计阻力。该系统内力做功代数和为零。外力做功2m1mxgxg12mv212mv212+0系统的动能增量g12mv212mv212+x()1m2ms()m22489..力势关系

势能就是标量,保守力就是矢量。两者之间就是否存在某种普遍得空间关系？

保守力与势能的关系保守力与势能的关系势能曲线的斜率对应任一位置处xxd0,dEp0xd0,dEp0xd0,dEp0xd0,dEp0()dEpxd0(FxdEpxd(0()dEpxd0(FxdEpxd(0沿X正向沿X反向XOxxFxFxEpdEpxdFx)(FxdEpxd先看一维弹性势能普遍关系保守力与势能得普遍关系三维空间中某质点在保守力作用下势能发生微变rhFdEp()xyz,,FdEp()xyz,,d)Fxdx+zFyF+dydz(eeEpxdx+eeEpydy+eeEpzdz对比,,FxeeEpxyFeeEpyzFeeEpzFiFx+jyF+kzFeeEpxieeEpyjeeEpzkEp其中为梯度算符eexiyjzk+eeee+Ep称为势能梯度结论：保守力等于势能梯度的负值。碰撞碰撞3.7碰撞特点:两个或多个物体相互作用且作用时间极短。碰撞问题的基本物理模型两孤立球体正碰（即对心碰撞，碰撞前后两球速度共线）m12mu1v12v2um1m12m2m碰前碰（形变-恢复）碰后弹性碰撞形变后能完全复原并弹开。非弹性碰撞完全非弹性碰撞形变后不能完全复原，但能弹开。形变后完全无恢复阶段，不能弹开。§系统动量判断碰撞过程系统的动量或机械能是否守恒的依据仍为SF0+A外或F内F外系统动量守恒若若S外A内非保0系统机械能守恒两孤立球体正碰，不论弹性、非弹性或完全非弹性碰撞，在对心连线方向，系统动量均守恒。u1v12v2um12m+m1+2m其投影式机械能就是否守恒要具体分析弹性碰撞对孤立系统不考虑外力，动量守恒。内力为弹性力（保守力）做功。碰后系统弹性势能完全复原到无形变的初态，系统机械能守恒，而且动能守恒。弹性碰撞++v1m1212u2m221u1m12122v2m2122动量守恒动能守恒u1v12v2um12m+m1+2m得v1()m12mu1+2u2m2m12m+2v()m12mu1+2u2m12m+m1,2vv1u12u及碰后两球分离速度碰前两球接近速度1212u12v1212u12uv12v2mm1若速度交换21u121v12mm12121u1v12v2mm1若2mm1且2u0v1()m12mu1m12m+2vm1m12m+,u12完全非弹碰完全非弹性碰撞对孤立系统不考虑外力，动量守恒。碰撞只形变不恢复，已远超弹性限度，含非保守内力做功，机械能不守恒，动能有损失。碰后连体同速v1()2vv由动量守恒u1v12v2um1