柯西中值定理的证明及应用

摘要本论文首先讨论了柯西中值定理的四种证明方法；其次对柯西中值定理的应用进行初步探索，列举了其在求极限、不等式与等式的证明等方面的应用.关键词：柯西中值定理；罗尔定理；达布定理；闭区间套定理ABSTRACTThisthesisdiscussedthefirstcauchyvalueofthelawofthefourtypesofprooftothesecondmethod；cauchyvalueofthelawoftheinitialapplicationtoexploreandtoitslimit,inequalitiesandtheequalitythattheapplication.Keywords:Cauchymeanvaluetheorem；Rolletheorem；Daabtheorem；Closeofthetheorem.目录第一章前言………1第二章柯西中值定理的证明……22.1利用罗尔定理证明柯西中值定理……22.2利用闭区间套定理证明柯西中值定理………………32.3利用反证法证明柯西中值定理………62.4利用达布定理证明柯西中值定理……7第三章柯西中值定理的应用……103.1柯西中值定理在求极限中的应用……103.2柯西中值定理在证明题中的应用……11柯西中值定理在证明不等式中的应用…………11柯西中值定理在证明等式中的应用……………12柯西中值定理在证明连续性中的应用…………14第四章总结………16参考文献…………17致谢…………………18第一章前言微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔〔Rolle〕定理、拉格朗日〔Larange〕中值定理和柯西〔Cauchy〕中值定理.而柯西中值定理较前两者更具有一般性，其表达如下：柯西中值定理[1]假设与在上可导，且，那么在内至少存在一点，使其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题.本文主要讲解了证明柯西中值定理的四种方法及其应用，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分学知识，熟练的运用相关的知识解决实际问题.第二章柯西中值定理的证明本章主要讲解了柯西中值定理的四种证明方法：利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布定理和反证法证明.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理[2]设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，而且在两端点处函数的值相等，那么在开区间上至少有一点，使得在这点的导数等于零.证明设和分别是在区间上的最大值和最小值.由于在上是连续的，所以的最大值和最小值是存在的.如果等式成立，那么对于一切都有.如果和不能同时成立，那么这两个数中间至少有一个不等于数，为了确切起见，设是这样的数.于是，在开区间的某点，函数到达闭区间上的最大值，因而在这点同时有局部极大值。因为在点的导数存在，所以根据费尔马定理，它等于零.的情况可以类似的讨论.下面证明柯西中值定理证明引入函数这个函数在上显然是连续的，而且在开区间上有导数.此外，.因此根据罗尔定理可以找到这样的点，使得，，即数，否那么的话，由于，就应该有.但是根据条件.不同时等于零，因此，积，用它除等式的右边，即得所证.2.2利用闭区间套定理证明柯西中值定理证明思路由图1，假设、分别表示点，由柯西中值定理条件，应有一族平行于的弦它们运动的极限位置就是曲线在点的切线首先介绍三个引理引理1设函数在上有定义，且在处可导，又为一闭区间套，且，那么.证明由于在上连续，在处可导，且,故即等式成立[2].引理2[3]设函数在上连续，那么存在，且，使得.证明作辅助函数，显然在上连续.假设;假设;假设,那么以上两种情况中任取其一确定.假设，那么由连续函数的介值定理，在内至少存在一点使，此时，设以上这些情况皆有现在把引理2推广为引理3设，在上连续，且是单射，那么存在，且使.下面证明柯西中值定理：证明首先证明，当，且时，有.假设，由引理2，存在，且使，从而，在上再次应用引理2有，存在，且，使，从而又有.反复利用引理2，最终可得一个闭区间套，满足，且，由闭区间套定理，存在使.根据引理1得：，这与条件相矛盾.于是，当，且时，有再根据引理3有，存在，且，使得.反复利用引理3，类似与前面的证明，可得闭区间套，满足且.由闭区间套定理存在，使，再由引理1有：.2.3利用反证法证明柯西中值定理由2.2引理3，我们易得：引理4设与在闭区间上连续，在开区间内可导，且，那么存在，使得下面证明柯西中值定理证明不断地运用引理1，我们得到闭区满足〔=1\*romani〕；〔=2\*romanii〕；〔=3\*romaniii〕由闭区间套定理知存在下面用反证法证明式假设由于，所以存在，当时，有由知，存在正整数,使，且有由式得，。因为，不妨>0,又，所以，从而不等式与变为.将〔6〕，〔7〕两式两边相加，得即.这与〔3〕式矛盾.同理可证不成立.又由于存在，所以利用达布〔Darboux〕定理证明柯西中值定理达布定理[4]设上连续可导，，那么.，那么存在点介于与之间，使得，其中为介于与间的某一数.引理5设函数内可导，且，对一切那么在内严格单增.证明任取中的两点，那么由可得.由导数的定义和极限的保号性定理可知，存在，使得当时；当时，。现因，总可以找到较小的正数，使得，且，如果，现取其交集的一，从而有.否那么有中任一点,因，从而均可找到该点的某，使得在其左邻域，在其右邻域的内的均有.易知邻域族覆盖了利用闭区间的有限覆盖定理知，存在的有限覆盖，不妨设其分别为且，通过删除多余的邻域后，可使其两两相交，而互不包含，取，.那么由前述邻域选取的规那么可得,从而也有.综上知，对中的任意两点所以函数在内严格单增.由上已证得的结论易知当内严格单减，只要用代替已证结论中的即可推知[8].下面证明柯西中值定理证明构造函数.这个函数在上显然是连续的，而且在开区间上有导数，此外，.现在要证明存在.假设，那么由布达定理知，要么，要么，，那么由引理5易知内严格单调，从而在上严格单增.从而与定理中的条件成立.在上述介绍的证明方法中有许多证明方法在微分中值定理的其他定理证明中也有一定的借鉴作用.第三章柯西中值定理的应用柯西中值定理在解题方面有很多的应用，本章通过例题主要讲解了柯西中值定理在求极限、证明不等式、证明等式这三个方面的应用.3.1利用中值定理求极限例1设函数在点处具有二阶导数，证明：思路构造辅助函数证明令，那么可验证与满足柯西中值定理成立的条件，于是由柯西中值定理，存在，使得而于是例2假设在内可导，证明由式出发，考虑引入辅助函数显然，由当时，有对在上应用柯西中值定理，得即或由于有，即3.2柯西中值定理在证明题中的应用利用柯西中值定理能够解决很多证明题，这方面的文献已经很多.下面仅仅介绍柯西中值定理在证明不等式、等式及单调性这三个方面的应用.3.2.1柯西中值定理在证明不等式中的应用例1设函数在内可微，证明：在内，.证明引入辅助函数在应用柯西中值定理，得因为例2[3]证明不等式证明令那么上式转化为由于上应用柯西中值定理，得于是而当所以即例3[5]假设，求证：证明证明实际上只需证，设上，满足柯西中值定理条件，所以.即。.其中用到是单调增加函数.柯西中值定理在证明等式中的应用例1[6]设函数证明：存在证明引入辅助函数所以在上不含的点.显然，满足柯西中值定理条件，故，使即于是引入辅助函数的方法通常是：将所证结论〔等式或不等式〕变形，分析变形后的等式或不等式找出恰当的函数.较简单的情形，可直接选等式或不等式的一局部作为辅助函数，或将式子的一边移到另一边作为辅助函数.本例就是将欲证等式左边变形为从而找出辅助函数例2[5]设函数在上连续，在内可导，证明：，使证明因为在上满足拉格朗日中值定理条件，故使又令对分别在上应用柯西中值定理，得，，比拟式，式，式知，使例3[3]设函数内可导，证明：，使得.证明只须证.令，那么满足柯西中值定理条件，所以，使由此可知，原结论成立.从以上的例子中，我们可以看到，在用柯西中值定理解题时，关键是要对结果进行整理变形的根底上，找出满足柯西中值定理的那两个函数.综上可知，柯西中值定理是借助于导数这个局部性概念来研究函数在区间上的整体形态的重要根本定理，且它有着广泛的应用性，因此我们应该好好地理解它.3.2.3柯西中值定理在证明连续性中的应用例[7]设在上可导,且存在且有限,试证在上一致连续.证明只要证存在且有限.,设,那么,有,即有由柯西中值定理其中在与之间,因此由存在且有极限知,对于有,于是有其中在与之间,由柯西收敛原理知,存在且有限,令易知在上连续,在内可导.故在上一致连续,从而在上一致连续,即在上一致连续.第四章总结柯西中值定理的证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题，本文主要讲解了微分中值定理柯西中值定理的证明及其应用，在柯西中值定理的证明方面，从多角度全方位的介绍了柯西中值定理的四种证明方法，其中有利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布定理和反证法证明，使柯西中值定理更好的被认识、学习在柯西中值定理的应用方面主要列举了柯西中值定理在四个方面的应用，其中有求极限、证明不等式、证明等式以及证明连续性，通过柯西中值定理的应用，使大家能够利用柯西中值定理定理解决实际问题.证明柯西中值定理的证明方法中有很多的证明方法在微分中值定理的其它定理证明中也有一定的借鉴作用.参考文献[1]华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M],北京:高等教育出版社.[2]张树义.Cauchy中值定理的又一证明[J],南都:南都学坛〔自然科学版〕.1997,17:23-26.[3]葛健牙,张跃平,沈利红.再探柯西中值定理[J],浙江:金华职业技术学院学报.2007,4:81-85.[4]钟朝艳，Cauchy中值定理与Taylor定理得新证明[J]，云南:曲靖师专学报，1998,3:83-86.[5]高崚峰.应用微分中值定理时构造辅助函数的三种方法[J],四川:成都纺织高等专科学校学报，2007,2:65-69.[6]张太忠，黄星，朱建国.微分中值定理应用的新研究[J],江苏:南京工业职业技术学院学报.2007,4:76-78.[7]荆天.柯西中值定理的证明及应用[J],北京:科技信息(学术版).2008,27:91-93.[8]姚正安，瞿连林.数学分析方法论[M],北京:北京农业大学出版社.1992.致谢从论文选题到搜集资料，从提纲的完成到正文的反复修改，我经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中，心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。论文的顺利完成首先最需要感谢我的指导老师吕胜祥老师．本文从开题到定稿都倾注了老师的心血，消耗了大量的时间与精力．本论文自始至终都是在老师的悉心指导下完成的．老师时时关心我所写论文的进程，不仅为我提供了许多珍贵