2019-2020学年广东省深圳某中学九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年广东省深圳高级中学九年级（上）期末数学试卷

选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）

1.（3分）（2015•绿园区一模）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图

2.（3分）（2019秋•福田区校级期末）已知三上，则下列式子一定正确的是（）

y3

A.x=2,y=3B.2x=3yC.三上」D.史工莫

y3y3

3.（3分）（2018秋•炎陵县期末）如果点P（-2,m）在双曲线上，那么机的值

x

是（）

A.5B.-5C.10D.-10

4.（3分）（2019秋•福田区校级期末）用配方法解一元二次方程x2-6x-2=0,配方后得到

的方程是（）

A.（尤-3）2=2B.（%-3）2=8C.（%-3）2=11D.（x+3）2=9

5.（3分）（2018秋•永寿县期末）把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面

朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（）

A.AB.工C」D.2

9323

6.（3分）（2015•槐荫区二模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin/A4c的

7.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如果要证明平行四边形ABC。为正方形，那么我们

需要在四边形A8CD是平行四边形的基础上，进一步证明（）

A.AC与2。互相垂直平分B.且

C.AB=ADS.AC=BDD.AB=AD5.ACA.BD

8.（3分）（2018秋•老河口市期末）对于二次函数y=（x-2）2-3,下列说法正确的

是（）

A.当x>2时，y随x的增大而增大

B.当尤=2时，y有最大值-3

C.图象的顶点坐标为（-2,-3）

D.图象与尤轴有两个交点

9.（3分）（2020•农安县一模）如图，点A,8分别在反比例函数>=工（x>0）,y=^~（尤

XX

<0）的图象上.若。4LO8,更>=2,则a的值为（）

0A

10.(3分)(2019秋•瑞安市期末)已知点4(-2,a),B(2,b),C(4,c)是抛物线y

=f-4x上的三点，则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

H.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，在△ABC与△ADE中，ZACB=ZAED=90°,

ZABC=AADE,连接5。、CE,若AC：BC=3：4,贝I5。：CE为()

B

,D

E

A.5：3B.4：3C.泥：2D.2：A/3

12.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，已知E,尸分别为正方形ABC。的边A8,BC

的中点，AF与DE交于点M,。为8。的中点，则下列结论：90°,②/

二.填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）

13.（3分）（2019秋•建邺区期末）方程/=2020x的解是

14.（3分）（2019秋•福田区校级期末）若关于x的方程（a-1）xa±+l-7=0是一元二次

方程，则。=.

15.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，4。是△A2C的中线，点E是线段上的

一点，且CE交AB于点F.若A尸=2cm,贝！IA8=cm.

3

16.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，A为反比例函数y=K（其中x>0）图象上

X

的一点，在x轴正半轴上有一点8,08=4.连接。4,AB,>OA=AB.过点B作5C

1OB,交反比例函数y=K（其中x>0）的图象于点C,连接。C交于点。，则坦的

xDB

值为

三.解答题（共7小题，17题5分，18题6分，19题7分，20、21题每题8分，22、23

题每题9分）

17.（5分）（2019秋•福田区校级期末）计算：|1-cos30°l+,.Q工-（-A）1-（5-Tt）0

2

18.（6分）（2019秋•福田区校级期末）“校园读诗词诵经典比赛”结束后，评委刘老师将此

次所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频

数直方图，部分信息如图：

扇形统计图

（1）参加本次比赛的选手共有人，参赛选手比赛成绩的中位数在分数段;

补全频数直方图.

（2）若此次比赛的前五名成绩中有2名男生和3名女生，如果从他们中任选2人作为获

奖代表发言，请利用表格或画树状图求恰好选中1男1女的概率.

19.（7分）（2019秋•肥城市期末）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30\历切?至

8港，然后再沿北偏西40。方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，

求（1）NC的度数.

（2）A,C两港之间的距离为多少切2.

20.（8分）（2016•石景山区一模）如图，在△ABC中，ZABC=90°,过点8作AC的平

行线交NCA2的平分线于点£>,过点D作AB的平行线交AC于点E,交BC于点凡连

接BE,交4。于点G.

（1）求证：四边形ABOE是菱形；

（2）若BD=14,cosNGBH=工,求G8的长.

21.（8分）（2019秋•福田区校级期末）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地

游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊

猫纪念品.已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件，

售价每上涨1元，销量下降10件.

（1）求每天的销售量y（件）与销售单价无（元）之间的函数关系式；

（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每

天获取的利润最大？最大利润是多少？

（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后

这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围.

22.（9分）（2019秋•福田区校级期末）（1）如图1,在△ABC中，AB>AC,点。，E分别

在边42,AC上，KDE//BC,若A£>=2,则毁的值是；

2CE

（2）如图2,在（1）的条件下，将△AOE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE

和毁的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；

CE

(3)如图3,在四边形ABC。中，AC_L2C于点C,ZBAC^ZADC^G,且tanB=3,

4

当CD=6,AD=3时,请直接写出线段3。的长度

图3

图1

23.(9分)(2019秋•福田区校级期末)如图①，抛物线y=-/+(a+1)x-a与x轴交于

A,B两点(点A位于点8的左侧)，与y轴交于点C.己知△ABC的面积是6.

(1)求a的值；

(2)在AABC内是否存在一点M,使得点M到点A、点8和点C的距离相等，若存在,

请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图②，尸是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且产、。两点均在第三象限内,

。、A是位于直线3尸同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,△QPB的面积为2d,

且NB4Q=NAQB,求点。的坐标.

2019-2020学年广东省深圳高级中学九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）

1.（3分）（2015•绿园区一模）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图

c田D.士

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形,

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

2.（3分）（2019秋•福田区校级期末）已知三上，则下列式子一定正确的是（）

y3

A.x=2,y=3B.2x=3yC.D.

y3y3

【考点】SI：比例的性质.

【专题】513：分式；66：运算能力.

【分析】依据比例的基本性质以及等式的基本性质，即可得到成立的式子.

【解答】解：A.由三上，可得3尤=2y,故x=2,y=3不一定成立，本选项不合题意;

y3

B.由区上，可得3x=2y,故2x=3y不成立，本选项不合题意；

Y3

c.由三上，可得三即卫=-工，故2二上=_1不成立，本选项不合题意;

y3y3y3y3

D.由三上，可得三+i=2+i,故包=反，本选项符合题意；

y3y3y3

故选：D.

【点评】本题主要考查了比例的基本性质的运用，解题时注意：内项之积等于外项之积.

3.（3分）（2018秋•炎陵县期末）如果点尸（-2,m）在双曲线y=-独上，那么根的值

是（）

A.5B.-5C.10D.-10

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用；66：运算能力.

【分析】直接把点P（-2,m）代入反比例函数丫=-也_,求出根的值即可.

【解答】解：：点P（-2,m）在双曲线y=-」史上，

..m->5-

故选：A.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的

坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

4.（3分）（2019秋•福田区校级期末）用配方法解一元二次方程x2-6x-2=0,配方后得到

的方程是（）

A.（%-3）2=2B.（x-3）2=8C.（%-3）2=11D.（x+3）2=9

【考点】A6：解一元二次方程-配方法.

【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力.

【分析】根据配方法即可求出答案.

【解答】解：•••/-6x-2=0,

••x~-6龙=2,

（X-3）2=11,

故选：C.

【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属

于基础题型.

5.（3分）（2018秋•永寿县期末）把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面

朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（）

A.AB.工C.AD.2

9323

【考点】X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用；67：推理能力.

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽

取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解:根据题意画树状图如下:

•••共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况,

.•・从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：9=2；

63

故选：D.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

6.（3分）（2015•槐荫区二模）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin4BAC的

值为（）

【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义.

【专题】24：网格型.

【分析】sin/瓦1C的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点C作C。垂直

于AB的延长线于点D.在RtAADC中根据三角函数的定义求解.

【解答】解：设小正方形的边长为1,作CD±AB的延长线于点D.

•.•在RtZkACD中，ZADC=90°,C£）=3,AC=Jg2+42=5

；.sinNBAC=^=国

AC5

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余

弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边.也考查了勾股定理.

7.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如果要证明平行四边形ABC。为正方形，那么我们

需要在四边形ABC。是平行四边形的基础上，进一步证明（）

A.AC与互相垂直平分B.且AC=8D

C.AB^ADS.AC^BDD.AB^AD>AC±BD

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L5：平行四边形的性质；LF：正方形的判定.

【专题】556：矩形菱形正方形；67：推理能力.

【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案.

【解答】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形

ABCD是正方形；

8、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明

四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；

C、根据对角线相等的平行四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形为正方形，所以能判断

四边形ABC。是正方形；

“根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形,

所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；

故选：C.

【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概

念，途经有两种：

①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；

②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角或对角线相等.

8.（3分）（2018秋•老河口市期末）对于二次函数y=-1（尤-2）2-3,下列说法正确的

是（）

A.当x>2时，y随x的增大而增大

B.当尤=2时，y有最大值-3

C.图象的顶点坐标为（-2,-3）

D.图象与尤轴有两个交点

【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力；69：应用意识.

【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否

正确，从而可以解答本题.

【解答】解：•••二次函数y=-1（x-2）2-3,

当尤>2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；

当x=2时，该函数取得最大值，最大值是-3,故选项8正确；

图象的顶点坐标为（2,-3）,故选项C错误；

当y=0时，0=-［（钎2）2-3无解，故选项。错误；

故选：B.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题

的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

9.（3分）（2020•农安县一模）如图，点A,8分别在反比例函数丫=工（x>0）,y=^~（x

XX

<0）的图象上.若。强=2,则a的值为（）

0A

A.-4B.4C.-2D.2

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】1：常规题型.

【分析】过点A作AM，1轴于点过点8作BNJ_x轴于点N,利用相似三角形的判

定定理得出△A0Afs/\05N,再由反比例函数系数上的几何意义得出S”OM：S^BON=1：

(-〃)，进而可得出结论.

【解答】解：过点A作轴于点M,过点8作轴于点N,

AZAMO=ZBNO=90°,

ZAOM+ZOAM=90°,

'：OA±OB.

：.ZAOM+ZBON=90°,

：.ZOAM=ZBONf

：.AAOMsAOBN,

•・•点A,B分别在反比例函数>=上(x>0),y=—(x<0)的图象上，

xx

S^AOM：S^BON=1：(-〃)，

A(9：BO=1：7-a，

'：0B：0A=2,

・・。=-4,

故选：A.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数k的几何

意义是解答此题的关键.

10.(3分)(2019秋•瑞安市期末)已知点A(-2,a),B(2,b),C(4,c)是抛物线y

=7-4x上的三点，则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】根据二次函数的性质，可以判断出a、b、c的大小关系，本题得以解决.

【解答】解：：抛物线y=/-4x=(x-2)2-4,

该抛物线的对称轴是直线尤=2,当尤>2时，y随x的增大而增大，当x<2时，y随x

的增大而减小，

:点A(-2,a),B(2,b),C(4,c)是抛物线y=/-4尤的三点，

V2-(-2)=4,2-2=0,4-2=2,

：・a>c>b,

故选：D.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二

次函数的性质解答.

11.(3分)(2019秋•福田区校级期末)如图，在△A8C与△&£>£中，ZACB=ZAED=90°,

ZABC=AADE,连接8。、CE,若AC：BC=3：4,贝UBD：CE为()

A.5：3B.4：3C.泥：2D.2：如

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55：几何图形.

【分析】根据相似三角形的判定得出△A8C与△AOE相似，利用相似三角形的性质得出

/BAC=/DAE,进而证明△AEC与△A3。相似，利用相似三角形的性质解答即可.

【解答】解：VZACB=ZAED^90°,/ABC=/ADE,

：.AABCSAADE,

J.ZBAC^ZDAE,旦_再_,

ABAD

ZBAC+ZBAE=ZDAE+ZBAE,

即NCAE=NR4。，

.•.-A-C-=-A--E，

ABAD

，AACEsAABD,

•-•---•BD-A-B--,

CEAC

VAC：BC=3：4,ZACB^ZAED^90°,

：.AC：BC：AB=3：4：5,

：.BD：CE=5：3,

故选：A.

【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC

与△AOE相似.

12.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，已知E,尸分别为正方形ABCD的边AB,BC

的中点，AF与。E交于点。为3D的中点，则下列结论：®ZAME=90°,②/

BAF=NEDB,（3）AM^^-MF,0）ME+MF=J^1B.其中正确结论的有（）

3

4D

C

B.3个C.2个D.1个

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【专题】553：图形的全等；556：矩形菱形正方形.

【分析】根据正方形的性质可得AB^BC^AD,ZABC^ZBAD^90°,再根据中点定

义求出AE=8R然后利用“边角边”证明和△D4E全等，根据全等三角形对应

角相等可得然后求出/4。£；+/。4月=/区4。=90°,从而求出/AM。

=90°,再根据邻补角的定义可得NAME=90°,得出①正确；根据中线的定义判断出

ZADE^ZEDB,然后求出NBA尸W/瓦出，判断出②错误；设正方形ABCZ）的边长为

2a,利用勾股定理列式求出AR再根据似三角形对应边成比例求出AM,然后求出MF,

消掉。即可得到判断出③正确；如图，过点M作MMLAB于N,于是得到

3

MN=AN=AM（得至|jNB=AB-AN=2a-*根据勾股定理得到BA/=JRKI2MKJ2

BFABAF55YBN+MN

于是得到结论.

5

【解答】解：在正方形A2CD中，AB=BC=AD,ZABC=ZBAD^90°,

；E、厂分别为边AB,8c的中点，

.*.A£=BF=ABC,

2

'AE=BF

在AAB尸和△ZME中，，ZABC=ZBAD-

LAB=AD

/.AABF^ADAE(SAS),

ZBAF=ZADE,

'：ZBAF+ZDAF=ZBAD=90°,

ZADE+ZDAF=ZBAD=90°,

AZAMD=180°-CZADE+ZDAF)=180°-90°=90°

/.ZAME=180°-ZAMD=180°-90°=90°,

故①正确；

；DE是AABD的中线，

/.ZADE^ZEDB,

：.ZBAF^ZEDB,

故②错误；

设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,

在尸中，

Rt^ABAF=JAB2+BF2=V5A>

VZBAF=ZMAE,ZABC=ZAME=90°,

AAMEs^ABF,

•AM_AE即AM=a

"ABAF"2a辰a'

解得：AM=2区，

5__

J.MF^AF-

55

：.AM=^MF,

3

故③正确；

如图，过点M作加ALL48于N,

则幽=细=幽

'BFABAF?

2V5

即典=期_=飞二

a2a

解得MN=2,AN=—a,

55

:・NB=AB-AN=2a-^-a=—a,

55

根据勾股定理，BM—«BM+0及2=a，

L"5J"

,/ME+MF=^3-a+^^a=Xa=^^-a,

55555

:.ME+MF^42MB.

综上所述，正确的结论有①③④共3个.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形

并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键.

二.填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）

13.（3分）（2019秋•建邺区期末）方程/=2020x的解是xi=0,x2=2020.

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力.

【分析】利用因式分解法求解可得.

【解答】解：-2020x=0,

（x-2020）=0,

贝iJx=0或x-2020=0,

解得无1=0,尤2=2020,

故答案为：xi=0,X2=2020.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

14.（3分）（2019秋•福田区校级期末）若关于x的方程（a-1）xa'+l-7=0是一元二次

方程，则尸7.

【考点】A1：一元二次方程的定义.

【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力.

【分析】根据一元二次方程的定义列式计算，得到答案.

【解答】解：方程（a-1）犬2+1一7=0是一元二次方程，

a2+l=2,a-IWO,

解得，a=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应抓住5

个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；

“整式方程”.

15.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，是△ABC的中线，点E是线段AO上的

一点，且CE交A8于点?若AP=2a〃，则43=10cm.

3

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【专题】55D：图形的相似；64：几何直观.

【分析】过A作AG〃BC,交CT的延长线于G,依据相似三角形的对应边成比例，即可

得到幽=坐=上，进而得出8P=4AP=8C7W,可得A8的长度.

DCDE2

【解答】解：如图所示，过A作AG〃BC,交CP的延长线于G,

•：AE^^-AD,AG//BC,

3

...AAEGsADEC,

.AG=AE=1

"DCDE5，

又是△ABC的中线，

：.BC=2CD,

.AG=1

"BC1

'：AG//BC,

：.△AFGs^BFC,

.AF=AG=1

"BFBCT

：.BF=4AF=Scm,

：.AB=AF+BF=lQcm,

故答案为：10.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，过A作AG〃BC,构造相似三角

形是解决此题的关键.

16.（3分）（2019秋•福田区校级期末）如图，A为反比例函数y=K（其中x>0）图象上

X

的一点，在I轴正半轴上有一点5,05=4.连接。4,AB,且。4=A3.过点5作

LOB,交反比例函数y=K（其中％>0）的图象于点C,连接。。交48于点。，则改的

xDB

值为3.

一2一

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用；554：等腰三角形与直角三角形；68：模型思想；

69：应用意识.

【分析】过点A作尤轴，由等腰三角形的性质可得。反=加，设OH=HB=a,进

而表示点A、C的坐标，再根据中位线定理表示M”，进而表示AM,最后利用相似三角

形的性质可得答案.

【解答】解：过点A作轴，垂足为H,A7/交。C于点M,如图,

"：OA=AB,AHLOB,

:.OH=BH=LOB,

2

设OH=BH=a,则A(a,K),C(2a,上),

a2a

,:AH〃BC,

24a

：.AM=AH-MH=^--A_=至，

a4a4a

'：AM//BC,

：./\ADM^/\BDC,

/>AD=AM=3_.

【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形、相似三角形的性质，将点

的坐标转化为线段的长，是常用的方法.

三.解答题（共7小题，17题5分，18题6分，19题7分，20、21题每题8分，22、23

题每题9分）

17.（5分）（2019秋•福田区校级期末）计算：|1-cos30°I+J1反-（-A）-1-（5-IT）0

2

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数塞；6F：负整数指数累；T5：特殊角的三角函数

值.

【专题】511：实数；66：运算能力.

【分析】直接利用负指数塞的性质以及零指数幕的性质和绝对值的性质、特殊角的三角

函数值分别化简得出答案.

【解答】解：原式=1-零+2«+2-1

=2+2焉

2

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.（6分）（2019秋•福田区校级期末）“校园读诗词诵经典比赛”结束后，评委刘老师将此

次所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频

数直方图，部分信息如图：

（1）参加本次比赛的选手共有50人,参赛选手比赛成绩的中位数在79.5〜84.5分

数段；补全频数直方图.

（2）若此次比赛的前五名成绩中有2名男生和3名女生，如果从他们中任选2人作为获

奖代表发言，请利用表格或画树状图求恰好选中1男1女的概率.

【考点】V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图；W4：中位数；X6：列表法与

树状图法.

【专题】543：概率及其应用；66：运算能力.

【分析】（1）用前两组的人数和除以它们所占的百分比得到调查的总人数，再计算出

“79.5〜89.5”这两组的人数，然后计算“69.5〜74.5”和“84.5〜89.5”的人数，从而补

全统计图，再根据中位数的定义即可得出参赛选手比赛成绩的中位数在哪个分数段；

（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出恰好选中1男1女的结果数，然后

根据概率公式计算.

【解答】解：（1）（2+3）4-10%=50,

所以参加本次比赛的选手共有50人，

频数直方图中“79.5〜89.5”这两组的人数为50X36%=18人，

所以频数直方图中“69.5〜74.5”这一组的人数为50-5-8-18-8-4=7（人）；

“84.5〜89.5”这一组的人数为18-10=8（人），补图如下：

中位数是第25和第26位选手成绩的平均数，即在79.5-84.5分数段;

故答案为：50,79.5-84.5；

（2）画树状图为:

共有20种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为12,

所以恰好选中1男1女的概率=」2=3.

205

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求

出〃，再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件

2的概率.也考查了统计图.

19.（7分）（2019秋•肥城市期末）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至

8港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，

求（1）NC的度数.

（2）4C两港之间的距离为多少粒.

【考点】TB：解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55E：解直角三角形及其应用；67：推理能力.

【分析】（1）由由题意即可得出答案；

（2）由题意得，ZCAB=65°-20°=45°,ZACB=40°+20°=60°,AB=30版,

过8作8ELAC于E,解直角三角形即可得到答案.

【解答】解：（1）由题意得：ZACB=20°+40°=60°；

（2）由题意得，ZCAB=65°-20°=45°,ZACB=40°+20°=60°,AB=30瓶,

过B作8E_LAC于E,如图所示：

:.NAEB=/CEB=9Q°,

在中，VZABE=45°,

AABE是等腰直角三角形,

：AB=30注,

；.AE=BE=返A8=30,

2

在中，VZACB=60°,tan/AC8=理,

CE

二”,

.,.AC=A£+C£=30+10M，

.'.A,C两港之间的距离为（30+10M）km.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质

等知识；熟练掌握解直角三角形，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

20.（8分）（2016•石景山区一模）如图，在△ABC中，ZABC=90°,过点8作AC的平

行线交NCAB的平分线于点。，过点D作的平行线交AC于点E,交BC于点F,连

接BE,交AD于点G.

（1）求证：四边形ABDE是菱形；

（2）若2。=14,cosNGBH=L求GH的长.

【考点】LA：菱形的判定与性质.

【分析】（1）首先证明四边形ABDE是平行四边形，再根据角平分线和平行线的性质证

明然后可得从而可得结论；

（2）首先证明/G4B=NG8H,根据cos工可得cosNGAB=工，根据余弦定义

88

可得3殳=幽=工，再由菱形的性质可得AB=8£）=14,从而可得AH、AG的长，进而

AHAB8

可得G8的长.

【解答】（1）证明：AB//ED,

...四边形ABDE是平行四边形，

平分/CAB,

：.ZCAD^ZBAD,

'：AC//BD,

J.ZCAD^ZADB,

：.ZBAD=ZADB,

：.AB=BD,

四边形ABOE是菱形；

（2）解:VZABC=90°,

：.ZGBH+ZABG=90°,

'：AD1BE,

：.ZGAB+ZABG^90°,

：.NGAB=/GBH,

VcosZGBH=2,,

8

/.cosZGAB=—,

8

.AB=AG=Z

"AHABT

:四边形ABOE是菱形，BD=14,

：.AB=BD=14,

：.AH=16,47=里

4

：.GH=AH-AG^—.

4

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，以及余弦定义，关键是掌握一组邻边相等

的平行四边形是菱形，菱形四边相等，对角线互相垂直.

21.（8分）（2019秋•福田区校级期末）四川是闻名天下的“熊猫之乡”，每年到大熊猫基地

游玩的游客络绎不绝，大学生小张加入创业项目，项目帮助她在基地附近租店卖创意熊

猫纪念品.已知某款熊猫纪念物成本为30元/件，当售价为45元/件时，每天销售250件,

售价每上涨1元，销量下降10件.

（1）求每天的销售量y（件）与销售单价无（元）之间的函数关系式；

（2）若每天该熊猫纪念物的销售量不低于240件的情况下，当销售单价为多少元时，每

天获取的利润最大？最大利润是多少？

（3）小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后

这款纪念品每天剩余利润不低于3600元，试确定该熊猫纪念物销售单价的范围.

【考点】AD：一元二次方程的应用；HE：二次函数的应用.

【专题】12：应用题；536：二次函数的应用；67：推理能力.

【分析】（1）根据每上涨1元，销量下降10件即可求解；

（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量列出二次函数，再根据二次函数的性质

即可求解；

（3）根据每天剩余利润不低于3600元和二次函数图象即可求解.

【解答】解：（1）根据题意，得

y=250-10（x-45）=-10x+700.

答：每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-10x+700.

（2）销售量不低于240件，得-10x+700,240

解得尤W46,

；.30<xW46.

设销售单价为x元时，每天获取的利润是w元，根据题意，得

w—（尤-30）（-lOx+700）

=-lOAlOOOx-21000

=-10（X-50）2+4000

V-10<0,

所以尤<50时，w随尤的增大而增大，

所以当x=46时，w有最大值，

w的最大值为-10（46-50）2+4000=3840.

答：销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元.

（3）根据题意，得

w-150=-10?+1000.r-21000-150=3600

即-10（%-50）2=-250

解得尤1=55,X2—45,

根据图象得，当45WxW55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元.

【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程应用，解决本题的关键是从实际问

题中抽象出二次函数模型.

22.（9分）（2019秋•福田区校级期末）（1）如图1,在△ABC中，AB>AC,点。，E分别

在边AB,AC上，MDE//BC,若A£）=2,AE=^-,则毁的值是A；

2CE一厂

（2）如图2,在（1）的条件下，将△AOE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE

和BZ）,段的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；

CE

（3）如图3,在四边形A8CD中，AC_LBC于点C,ZBAC^ZADC^Q,且tan0=是，

4

当8=6,4。=3时，请直接写出线段3。的长度_则亟.

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题；55D：图形的相似；69：应用意识.

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可得出答案；

（2）证明得出曲=世=9.

CEAE3

（3）在A8上截取AM=AD=3,过M作MN〃BC交AC于N,把△AA/N绕A逆时针旋

转得AADE,连接CE,贝！JMN_LAC,DE=MN,ZDAE=ZBAC,证出8C：AC：AB=3-.

4：5,同（2）得出△ABOS/^ACE,得出毁=3殳=旦，证明△AMNS/\ABC,求出

CEAC4

MN=ECXAM=9,证出AE〃C。，得出NC£（E=90°,由勾股定理可得出答案.

AB5

【解答】解：（1）,：DE//BC,

.BD=AD=_1=^

"'CEAE1

2

故答案为：1.

3

(2)毁的值不变化，值为生；理由如下:

CE3

由(1)得：DE//B,

AADE^AABC,

.AD=AE

"AB而’

由旋转的性质得：NBAD=NCAE,

：.AABD^AACE,

.BD=AD__4

"CEAE~3'

（3）在AB上截取AM=AD=3,过M作MN〃BC交AC于N,把△AMN绕A逆时针旋

转得△ADE,连接CE,如图所示：

图3

贝UMNL4C,DE=MN,NDAE=/BAC,

：.ZAED=ZANM=90°,

：AC_LBC于点C,ZBAC=ZADC=B,且tanO=3=K

4AC

：.BC-.AC：AB